优化方案高中数学 第一章 算法初步 112第2课时循环结构学案 新人教A版必修3.docx
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优化方案高中数学第一章算法初步112第2课时循环结构学案新人教A版必修3
第2课时 循环结构
1.问题导航
(1)什么是循环结构、循环体?
(2)循环结构可细分为哪两类?
它们有什么相同点和不同点?
(3)什么情况下,可以使用循环结构?
(4)循环结构与条件结构有什么关系?
2.例题导读
通过对例6的学习,学会当算法过程中包含重复存在的步骤时,可以用循环结构表示,同时学会循环结构的两类表示:
一类是当型循环结构,另一类是直到型循环结构;
通过对例7的学习,学会按照“确定循环体”“初始化变量”“设定循环控制条件”的顺序来构造循环结构.
1.循环结构的概念及相关内容
(1)循环结构:
按照一定的条件反复执行某些步骤的情况.
(2)循环体:
反复执行的步骤.
2.循环结构的分类及特征
名称
直到型循环
当型循环
结构
特征
先执行循环体,后判断条件,若条件不满足,就继续执行循环体,直到条件满足时终止循环.
先判断条件,若条件满足,则执行循环体,否则终止循环.
1.判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)程序框图中的循环可以是无尽的循环;( )
(2)循环结构是在一些算法中从某处开始按照一定条件,反复执行某一处理步骤,故循环结构中一定包含条件结构;( )
(3)循环结构中不一定包含条件结构.( )
解析:
程序框图中的循环,必须是有限循环;循环结构一定包含条件结构.
答案:
(1)×
(2)√ (3)×
2.下面的框图是循环结构的是( )
A.①② B.②③
C.③④D.②④
解析:
选C.由循环结构的特点知③④是循环结构,其中①是顺序结构,②是条件结构.
3.运行如图所示的程序框图,输出的结果为________.
解析:
n=1;S=1+0=1,n=2;S=3,n=3;S=6,n=4;S=10,n=5;S=15,n=6;S=21,n=7;S=28,n=8.
答案:
28
4.举例说明循环结构适用哪些常见的计算?
解:
循环结构主要用在一些有规律的重复计算中,如累加求和,累乘求积等问题.
1.算法的基本逻辑结构有三种,即顺序结构、条件结构和循环结构.其中顺序结构是最简单的结构,也是最基本的结构,循环结构必然包含条件结构,所以这三种基本逻辑结构是相互支撑的,它们共同构成了算法的基本结构,无论怎样复杂的逻辑结构,都可以通过这三种结构来表达.
2.两种循环结构的相同点:
从两种不同形式的循环结构可以看出,循环结构中一定包含条件结构,用于确定何时终止执行循环体.
3.如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作,且先后参与运算的数之间有相同的规律,就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量),应用于循环结构.在循环结构中,要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量等,特别要求条件的表述要恰当、精确.
循环结构程序框图的设计
设计一个算法,求13+23+…+993+1003的值,并画出程序框图.
(链接教材P13例6)
[解] 算法如下:
第一步,使S=0.
第二步,使I=1.
第三步,使S=S+I3.
第四步,使I=I+1.
第五步,若I≤100,则返回第三步;否则,输出S,算法结束.
程序框图如图所示.
方法归纳
(1)如果算法问题中涉及的运算进行了多次重复的操作,且先后参与运算的数之间有相同的变化规律,就可以利用循环结构设计算法解决.
(2)本题易错点是初始值与计数变量的取值;在循环结构中,要注意根据条件设计合理的计数变量、累加变量和累乘变量等,条件的表述一定要恰当、精确,累加变量的初始值一般取0,而累乘变量的初始值一般取1.
1.
(1)如图所示程序框图输出的结果是( )
A.8B.9
C.10D.11
解析:
选D.当i=11时,不满足条件即输出.
(2)设计求1×2×3×4×…×2015的程序框图.
解:
程序框图如图所示:
利用循环结构求满足条件的数值
求满足1+
+
+
+…+
>2的最小正整数n,写出算法,并画出程序框图.
[解] 算法如下:
第一步,S=0;
第二步,i=1;
第三步,S=S+
;
第四步,i=i+1;
第五步,若S>2,则输出i-1,否则返回第三步,循环结束.
程序框图如图所示:
[互动探究] 若将本例中的
改为
,其他条件与结论都不变,那么,算法与程序框图需要怎样变化?
解:
算法与程序框图中,都将“S=S+
”改为“S=S+
”.
方法归纳
求满足条件的最值问题的实质及注意事项:
(1)实质:
利用计算机的快速运算功能,对所有满足条件的变量逐一测试,直到产生第一个(不)满足条件的值时结束循环.
(2)注意事项:
①要明确数字的结构特征,决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数.
②要注意要统计的数出现的次数与循环次数的区别.
③要特别注意判断框中循环变量的取值限制,是“>”“<”还是“≥”“≤”,它们的意义是不同的.
2.
(1)某程序框图如图所示,则该程序的算法功能是________.
解析:
由程序框图可知,输出的i是满足1×3×5×7×…×n>50000的最小正整数n.
答案:
求满足1×3×5×7×…×n>50000的最小正整数n
(2)已知1+2+3+4+…+i≤200,画出求i的最大值的程序框图.
解:
程序框图如图所示.
循环结构的实际应用
某工厂2014年生产小轿车200万辆,技术革新后预计每年的生产能力比上一年增加5%,问最早哪一年该厂生产的小轿车数量超过300万辆?
写出解决该问题的一个算法,并画出相应的程序框图.
[解] 算法如下:
第一步,令n=0,a=200,r=0.05;
第二步,T=ar(计算年增量);
第三步,a=a+T(计算年产量);
第四步,如果a≤300,那么n=n+1,返回第二步;否则执行第五步;
第五步,N=2014+n;
第六步,输出N.
程序框图如图所示:
方法归纳
(1)在解决实际问题时,关键是读懂题目,建立合适的模型,找到问题的计算公式.例如本题中T=200(1+5%)n.然后再去设计算法,画出程序框图.
(2)设计一个程序框图算法的一般步骤:
①用自然语言表述算法步骤;
②确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构,并用相应的程序框图表示,得到表示该步骤的程序框图;
③将所有步骤的程序框图用流程线连接起来,并加上终端框,得到表示整个算法的程序框图.
3.
(1)小红今年12岁,她父亲比她大25岁,设计程序框图,计算出几年后她父亲比她的年龄大一倍,那时他们两人的年龄各是多少?
解:
程序框图如图所示.
(2)某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题:
①写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;
②用流程图表示如下算法:
计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.
解:
①y=100(1+1.2%)x;
②程序框图如图:
易错警示
忽视初始值以及循环终止条件致误
画出求S=14+24+34+…+104的程序框图.
[解] 程序框图如图所示:
[错因与防范]
(1)本题易出现累加和S的初始值为1,循环终止条件为i<10的错误.
(2)循环结构中对循环次数的控制非常关键,它直接影响着运算的结果.
(3)控制循环次数要引入循环变量,其取值如何限制,要弄清两个问题:
一是需要运算的次数;二是循环结构的形式,是“当型”还是“直到型”.
4.
(1)(2014·高考重庆卷)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为( )
A.10B.17
C.19D.36
解析:
选C.开始s=0,k=2;
第一次循环s=2,k=3;
第二次循环s=5,k=5;
第三次循环s=10,k=9;
第四次循环s=19,k=17,
不满足条件,退出循环,输出s=19.故选C.
(2)给出30个数:
1,2,4,7,…,其规律是:
第1个数是1,第2个数比第1个数大1,第3个数比第2个数大2,第4个数比第3个数大3,以此类推,要计算这30个数的和,现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示),请在图中判断框①处和执行框②处填上合适的语句,使之能完成该题算法功能.
解:
该算法使用了当型循环结构.因为是求30个数的和,故循环体应执行30次,其中i是计数变量.因此判断框内的条件应该用来限制计数变量i,故应填写i≤30?
.算法中的变量p表示参与求和的各个数,由于它也是变化的,且满足第i个数比其前一个数大i-1,第i+1个数比其前一个数大i,故应有p=p+i.
即:
①处应填i≤30?
;②处应填p=p+i.
1.如图所示的程序框图中,语句“S=S×n”将被执行的次数是( )
A.4B.5
C.6D.7
解析:
选B.由程序框图知:
S=1×2×3×…×n.
又1×2×3×4×5=120<200,
1×2×3×4×5×6=720>200.
故语句“S=S×n”被执行了5次.
2.如图所示的程序框图表示的算法功能是( )
A.计算小于100的奇数的连乘积
B.计算从1开始的连续奇数的连乘积
C.从1开始的连续奇数的连乘积,当乘积大于或等于100时,计算奇数的个数
D.计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n值
解析:
选D.这是一个直到型循环结构,S=1×3×5×…,判断条件是S≥100?
,输出的是i,所以表示的是S=1×3×5×…×n≥100时的最小的n值,故选D.
3.如图所示的程序框图的输出结果为-18,那么在判断框中①表示的条件应该是( )
A.i≥9?
B.i≥8?
C.i≥7?
D.i≥6?
解析:
选A.当S=6,i=1时,m=-2×1+6=4,S=6+4=10;
当i=2时,m=-2×2+6=2,S=10+2=12;
当i=3时,m=-2×3+6=0,S=0+12=12;
当i=4时,m=-2×4+6=-2,S=-2+12=10;
当i=5时,m=-2×5+6=-4,S=-4+10=6;
当i=6时,m=-2×6+6=-6,S=-6+6=0;
当i=7时,m=-2×7+6=-8,S=-8+0=-8;
当i=8时,m=-2×8+6=-10,S=-10-8=-18.
故判断条件为:
i≥9?
,故选A.
4.(2014·高考江苏卷)如图是一个算法流程图,则输出的n的值是________.
解析:
由算法流程图可知:
第一次循环:
n=1,2n=2<20,不满足要求,进入下一次循环;
第二次循环:
n=2,2n=4<20,不满足要求,进入下一次循环;
第三次循环:
n=3,2n=8<20,不满足要求,进入下一次循环;
第四次循环:
n=4,2n=16<20,不满足要求,进入下一次循环;
第五次循环:
n=5,2n=32>20,满足要求,输出n=5.
答案:
5
[A.基础达标]
1.一个完整的程序框图至少包含( )
A.起止框和输入、输出框
B.起止框和处理框
C.起止框和判断框
D.起止框、处理框和输入、输出框
解析:
选A.一个完整的程序框图至少包括起止框和输入、输出框,故选A.
2.(2015·安徽巢湖检测)如图所示是一个循环结构的算法,下列说法不正确的是( )
A.①是循环变量初始化,循环就要开始
B.②为循环体
C.③是判断是否继续循环的终止条件
D.①可以省略不写
解析:
选D.①为循环变量初始化,必须先赋值才能有效控制循环,不可省略.故选D.
3.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A.2B.4
C.8D.16
解析:
选C.框图执行如下:
k=0,S=1;S=1,k=1;S=2,k=2;S=8,k=3.所以输出S的值为8.
4.(2014·高考安徽卷)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
A.34B.55
C.78D.89
解析:
选B.当输入x=1,y=1,执行z=x+y及z≤50,x=y,y=z后,
x,y,z的值依次对应如下:
x=1,y=1,z=2;
x=1,y=2,z=3;
x=2,y=3,z=5;
x=3,y=5,z=8;
x=5,y=8,z=13;
x=8,y=13,z=21;
x=13,y=21,z=34;
x=21,y=34,z=55.
由于55≤50不成立,故输出55.故选B.
5.执行如图所示的程序框图,若m=5,则输出的结果为( )
A.4 B.5
C.6 D.8
解析:
选B.由程序框图可知,k=0,P=1.
第一次循环:
因为k=0<5,所以P=1×30=1,k=0+1=1.
第二次循环:
因为k=1<5,所以P=1×31=3,k=1+1=2.
第三次循环:
因为k=2<5,所以P=3×32=33,k=2+1=3.
第四次循环:
因为k=3<5,所以P=33×33=36,k=3+1=4.
第五次循环:
因为k=4<5,所以P=36×34=310,k=4+1=5.
此时满足判断框内的条件,输出结果为z=log9310=5.故选B.
6.(2014·高考天津卷)阅读如图所示的框图,运行相应的程序,输出S的值为________.
解析:
S=0,n=3,S=0+(-2)3=-8,
n=3-1=2≤1不成立;
故S=-8+(-2)2=-4,
n=2-1=1≤1成立.
故输出S的值为-4.
答案:
-4
7.(2015·临沂调研)如果执行如图所示的程序框图,输入x=4.5,则输出的数i=________.
解析:
第一次执行循环体时,i=1,x=3.5;
第二次执行循环体时,i=2,x=2.5;
第三次执行循环体时,i=3,x=1.5;
第四次执行循环体时,i=4,x=0.5<1.
输出i=4,结束.
答案:
4
8.执行如图所示的程序框图,若输出的a值大于2015,那么判断框内的条件应为________.
解析:
第一次循环:
k=1,a=1,满足条件,所以a=4×1+3=7,k=1+1=2.
SGKS87第二次循环:
a=7<2015,故继续循环,所以a=4×7+3=31,k=2+1=3.
第三次循环:
a=31<2015,故继续循环,所以a=4×31+3=127,k=3+1=4.
第四次循环:
a=127<2015,故继续循环,所以a=4×127+3=511,k=4+1=5.
第五次循环:
k=511<2015,故继续循环,所以a=4×511+3=2047,k=5+1=6.
由于a=2047>2015,故不符合条件,输出a值.所以判断框内的条件是“k≤5?
”.
答案:
k≤5?
9.设计一个算法,求表达式12+22+32+…+102的值,并画出程序框图.
解:
算法如下:
第一步,令S=0,i=1.
第二步,判断i是否小于或等于10,若是,则执行第三步;若否,则输出S.
第三步,令S=S+i2,并令i=i+1,然后返回第二步.
程序框图如图:
10.有一列数1,1,2,3,5,8,…,其规律是从第3个数开始,后一个数等于前两个数的和,画出计算这列数前20个数的和的程序框图.
解:
程序框图如图所示:
[B.能力提升]
1.(2014·高考北京卷)执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A.1B.3
C.7D.15
解析:
选C.S=20+21+22=7.
2.(2014·高考福建卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选B.当n=1时,21>12满足条件,继续循环得n=2,22>22不成立,不满足条件,所以输出n=2.
3.(2014·高考湖北卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n的值为9,则输出S的值为________.
解析:
由题意,程序运行如下:
k=1<9,S=21+1=3,k=2<9;S=3+22+2=9,k=3<9;
S=9+23+3=20,k=4<9;S=20+24+4=40,k=5<9;
S=40+25+5=77,k=6<9;S=77+26+6=147,k=7<9;
S=147+27+7=282,k=8<9;S=282+28+8=546,k=9≤9;
S=546+29+9=1067,k=10>9,输出S=1067,程序结束.
答案:
1067
4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为________.
解析:
i=1,S=0.
第一次循环:
S=0+lg
=-lg3>-1,继续循环,i=3;
第二次循环:
S=-lg3+lg
=-lg5>-1,继续循环,i=5;
第三次循环:
S=-lg5+lg
=-lg7>-1,继续循环,i=7;
第四次循环:
S=-lg7+lg
=-lg9>-1,继续循环,i=9;
第五次循环:
S=-lg9+lg
=-lg11<-1,结束循环,输出i=9.
答案:
9
5.画出计算1+
+
+
+…+
的值的一个程序框图.
解:
相加各数的分子都是1,而分母是有规律递增的,每次增加2,引入变量S表示和,计数变量i,i的值每次增加2,则每次循环都有S=S+
,i=i+2,这样反复进行.
程序框图如图所示:
6.(选做题)设计一个求满足10 解: 可以从最小的正整数1开始进行判断,判断是否满足10 程序框图如图所示:
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