习题六样本及抽样分布解答doc.docx
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习题六样本及抽样分布解答doc
样本及抽样分布
一、填空题
1.设来自总体X的一个样本观察值为:
,,,,,则样本均值=,样本方差
=2.7162;
2.在总体X~N(5,16)中随机地抽取一个容量为36的样本,则均值X落在4
与6之间的概率=;
3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N(1000,2)(单位:
小时),抽取一容量为
9的样本,得到x940,s100,则P(X940);
7
4.设X1,X2,...,X7为总体X~N(0,0.52)的一个样本,则P(Xi24);
i1
5.设X1,X2,...,X6为总体X~N(0,1)的一个样本,且cY服从2分布,这里,
Y(X1X2X3)2(X4X5X6)2,则c1/3;
6.设随机变量X,Y相互独立,均服从N(0,32)分布且X1,X2,...,X9与Y1,Y2,...,Y9分
别是来自总体X,Y的简单随机样本,则统计量UX1...X9服从参数为9
Y12...Y92
的t分布。
7.设X1,X2,X3,X4是取自X~N(0,22)正态总体的简单随机样本且
Ya(X!
2X2)2
b(3X3
4X4)2,,则a
,b
时,统计量Y服从
2分布,
其自由度为2
;
8.设总体X服从正态分布X~N(0,22),而X1,X2,...,X15是来自总体的简单随机
样本,则随机变量Y
X12
...
X
102
F分布,参数为
10,5
;
...
服从
2(X112
X152)
9.设随机变量X~t(n)(n
1),Y
1
则Y~
F(n,1)
;
X2
1)
10.设随机变量X~F(n,n)且P(X
A)
0.3
,A为常数,则P(X
A
11若1,,n是取自正态总体N(,2)的一个样本,则1
n
n
i服从。
i1
12样本(X1,
Xn)的函数f(X1,
Xn)称为
,其中f(X1,
Xn)不含未
知参数。
13设总体X服从N(
2),X和S2
分别为来自总体
X的样本容量为
n的样本均值和方
n
X)2
(Xi
(n1)S
2
差,则
i1
~
,
。
2
2
~
14
设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布
N(0,32),而X1,
X9和Y1,
Y9分别
是来自总体X和Y简单随机样本,则统计量
U
X1
X9
服从
分布。
t(9)
Y12
Y92
15
设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布
N(0,32),而X1,
X9和Y1,
Y9分别
是来自总体
X和Y的简单随机样本,则统计量
V
X12
X92
服从
分布。
Y12
Y92
F(9,9)
二、选择题
1.设总体X服从正态分布N(,
2),其中
为未知参数,(X1,X2,X3)是取自总体X的
一个容量为
3的样本,下列不是统计量的是
(
)
A.X1
X2
X3B.max{X1,X2,X3}C.
1(X1
X2
X3)
D.
1(X
1
X2
X3)
4
2.设X1,X2,L
X16是来自正态总体
N(2,
2)的一个样本,
X
116
Xi,则4X
8~
16i1
(
).
A.
t(15)
B.t(16)
C.
2(15)
D.
N(0,1)
3.设X1,X2,L,Xn是取自正态总体X~N(,
2)的一个样本,X
1n
Xi,
ni
1
2
1
n
(Xi
2
n
1(X
)
服从的分布是(
).
Sn
ni
X)
则Y
Sn
1
A.
t(n
1)
B.
t(n)
C.
2(n
1)
D.
4.设X1,X2,...,Xn是来自总体N(
2)的简单随机样本,X是样本均值,
记S12
1
n
(Xi
X)2,S22
1n
(Xi
X)2,S32
1
n
(Xi
)2,
n1i1
ni1
n1i1
S42
1
n
(Xi
)2,则服从自由度n
1的t分布的随机变量是T(
A
);
ni
1
A.
X
B.
X
C.
X
D.
X
S1
n1
S2
n1
S3
n1
S4
n
1
5.设Fn(x)是经验分布函数,基于来自总体
X的样本,而F(x)是
X总体的
分布函数,则下列命题错误的为,对于每个给定的
x,Fn(x)(
B
)
A.是分布函数
B.依概率收敛于F(x)
C.是一个统计量
D.其数学期望是F(x)
6.设总体X服从0-1分布,X1,X2,...,X5
是来自总体X的样本,X是样本
均值,则下列各选项中的量不是统计量的是(
B
)
A.min{X1,X2,X3,X4,X5}
B.X1
(1p)X
C.max{X1,X2,X3,X4,X5}
D.X5
5X
7.设X1,X2,...,Xn是正态总体N(,
2)的一个样本,其中
已知而
2未知,
则下列各选项中的量不是统计量的是(
C)。
n
2
B.
1n
2
A.(Xi
)
(Xi
X)
i
1
ni
1
n
Xi)2
C.
(
D.min{Xi}
i
1
8.设X1,X2,...,Xn和Y1,Y2,...,Yn分别来自两个正态总体N(
1,22)和N(2,5)的
样本,且相互独立,S12,S22分别为两个样本的样本方差,则服从
F(7,9)的统计量
是(B
)
A.S12
2
B.
5S12
2
C.4S12
2
D.
5S12
2
S2
4S2
5S2
2S2
9.设X1,X2,...,Xn是正态总体N(,
2)的一个样本,X和S2分别为样本均值
和样本方差,则下面结论不成立的有(
D
)
A.X,S相互独立;
B.X与(n
1)S2相互独立;
1
n
2
相互独立D.
X
1
n
2
.
与
与
相互独立。
CX
2
(XiX)
2
(Xi
)
i1
i
1
2)的一个样本,S2
1
n
(XiX)2,
10.设X1,X2,...,Xn是正态总体N(
1i1
n
则D(S2)等于(
)
A.4
B.24
C.
4
D.24
n
n
n
1
n
1
11.设X1,X2,...,Xn是正态总体N(
2)的一个样本,X和S2分别为样本均
值和样本方差,则服从自由度为
n1的t
-分布的随机变量是(
C
)
A.nX
B.
nX
C.nX
D.nX
S
S2
S
S2
12.设X1,X2,...,Xn
是正态总体N(
2)的一个样本,X和S2分别为样本均
值和样本方差,则(C)
X
2
(n
1)X
2
A.
~F(1,n
1)
B.
~F(1,n
1)
S
2
2
S
2
(n
1)X
2
C.
nX
~F(1,n
1)
D.
~F(1,n
1)
2
2
S
S
13.设随机变量X,Y都服从标准正态分布,则(
)。
(A)X+Y服从正态分布。
(B)
X2+Y2服从
2分布。
(C)X2和Y2都服从
2分布。
(D)X2/Y2服从F分布。
14.设总体X服从N(1,9),X1,
X9为
X的样本,则有(
)。
(A)X
1
1~N(0,1)
(B)X
1~N(0,1)
3
(C).X
1~N(0,1)
(D)X
1~N(0,1)
9
3
15.设X1,
Xn是来自正态总体
N(0,1)
的简单随机样本,
X和S分别为样本的均值和标
准差,则有(
)。
X~t(n-1)
n
(A)nX~N(0,1)
(B)X~N(0,1)
(C)
(D)
Xi2
~
2(n)
S
i
1
16.设
X
,
Y
相互独立,
X
~N
(1,1
2
),Y~N(
2,
2
2),X1
Xn为X的样本,
1
Y1,Yn2为Y的样本,则有(
)。
2
2
2
2
(A)X-Y~N(1
2,1
2)(B)X-Y~N(1
2,1
2)
n1
n2
n1
n2
2
2
(C)
X
-Y
~N
(12
1
2
)
(
D)
X-Y~
n1
n2
2
2
N(1
2,
1
2
)
n1
n2
三、解答题
1.设X1,X2,X3是总体N(,
2)的一个样本,其中
已知而
0未知,则以下
的函数中哪些为统计量为什么
(1)X1
X2
X3;是
(2)X3
3
;是
(3)X1;是
(4)X22;
是
3
(5)i1
Xi
2
;不是
(6)max{Xi};是
(7)X3;不是
2.在总体N(52,6.32)中随机地抽取一个容量为36的样本,求样本均值X落在
与之间的概率。
解:
X~N(52,6.32
)
36
P50.8X
53.8P
X
52
1.142
1.714
6.3/6
(1.714)
(1.142)
0.8293
3.对下列两种情形中的样本观测值,分别求出样本均值的观测值x与样本方差
的观测值s2,由此你能得到什么结论
(1)5,2,3,5,8:
x=
s2
2.0592
(2)105,102,103,105,108
x=s2
2.0592
4.设X1,X2,...,Xn是取自总体X的一个样本.在下列三种情形下,分别写出样
本X1,X2,...,Xn的概率函数或密度函数:
(1)X~B(1,p);
(2)X~Exp();
(3)X~U(0,),
0。
解:
(1)
P(X
xi)
pxi(1
p)1xi,i
0,1
n
n
n
pxi(1p)1xi
xi
n
xi
P(X1
x1,X2
x2,,KXn
xn)
pi1(1p)i1
i
i1
(2)
f(x)
e
x
x
0
0,x
0
n
n
n
xi
n
f(x1,x2,K,xn)
f(xi)
e
xi
ne
i1
xi
0(i1,2,K,n)
i1
i1
i
1
0,
0,xi
0(i
1,2,K
n)
(3)
f(x)
1,
0
0,
0
n
1
f(x1,x2,K,xn)
f(xi)
n
0xi
(i
1,2K,n)
i1
0,o.w
5.设X1,X2,...,Xn是取自总体X的一个样本.在下列三种情形下,分别求出
E(X),D(X),E(S2).
(1)X~B(1,p);E(X)p,D(X)
p(1p),E(S2)p(1p)
n
(2)X~Exp(
);
1
1
2
)
1
E(X)
D(X)
2,E(S
2
n
2
2
(3)X~U(0,
),
0。
E(X)
D(X)
E(S2)
12
2
12n
6.设X1,X2,...,Xn
是独立同分布的随机变量,且都服从
N(0,
2),试证:
1
n
2
2
(n);
(1)2
i
1
Xi~
(2)1
n
2
(
Xi)2
~
2
(1)
n
i
1
解:
(1)X1,X2,...,Xn
是独立同分布的随机变量,且都服从
N(0,
2)
Xi
~N(0,1),Xi(i
1,2Kn)独立,
1
n
2
n
Xi
2
2
~
(n)
2
Xi
(
)
i
1
i
1
n
n
2),i
Xi
(2)
Xi
~N(0,n
1
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