圆心角定理讲解.docx
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圆心角定理讲解.docx
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圆心角定理讲解
圆心角定理
(弧、弦、圆心角关系定理)
基本内容:
1、在同圆或等圆中,
相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
2、在同圆或等圆中,
如果两条弧相等,则它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。
3、在同圆或等圆中,
如果两条弦相等,则它们所对的圆心角相等,所对的弧相等。
在理解时要注意:
⑴前提:
在同圆或等圆中;
⑵条件与结论:
在①两条弧相等;②两条弦相等;③两个圆心角相等中,只要有一个成立,则有另外两个成立。
基本概念理解:
1.在同圆或等圆中,若的长度=的长度,则下列说法正确的个数是()
①的度数等于;②所对的圆心角等于所对的圆心角;③和是等弧;
3.下列语句中,正确的有()
(1)相等的圆心角所对的弧相等;
(2)平分弦的直径垂直于弦;
(3)长度相等的两条弧是等弧;(4)经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
4.已知弦AB把圆周分成1:
5的两部分,这弦AB所对应的圆心角的度数为
概念的延伸及其基本应用:
1.在同圆或等圆中,如果圆心角BOA等于另一圆心角COD的2倍,则下列式子中能
成立的是()
2.在同圆或等圆中,如果,则AB与CD的关系是()
A.AB2CDB.AB2CDC.AB2CDD.ABCD
3.在⊙O中,圆心角AOB90,点O到弦AB的距离为4,则⊙O的直径的长为()
A.42B.82C.24D.16
4.在⊙O中,
两弦ABCD,
OM,ON分别为这两条弦的弦心距,则
OM,ON的关
系是(
A.OMONB.OMONC.OMOND.无法确定1
5.已知:
⊙O的半径为4cm,弦AB所对的劣弧为圆的,则弦AB的长为
3
AB的弦心距为cm.
6.如图,在⊙O中,AB∥CD,的度数为45°,则∠COD的度数为.
典型例题精析:
例题1、如图,已知:
在⊙O中,OA⊥OB,∠A=35解:
连结OC,
在Rt△AOB中,∠A=35°
∴∠B=55°,又∵OC=OB,
∴∠COB=180°-2∠B=70°,∴的度数为70°,∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20∴的度数为20°.
说明:
连结OC,通过求圆心角的度数求解。
此题是基本题目,目的是巩固基础知识例题2、如图,已知:
在⊙O中,=2,试判断∠AOB与∠COD,AB与2CD之间的关系,并说明理由
AOB=2∠COD,AB<2CD,
分析:
根据条件确定图形,观察、分析、猜想,特别是解:
∠
理由如下:
如图,在⊙O上取一点C',使=.∴∠COD=∠DOC'
∵=2,∴,=+=.
∴AB=CC'.∠AOB=∠COC'=∠COD+∠DOC'=2∠COD又∵在△CDC'中,CD+D'C>CC',∴CC'<2CD,即AB<2CD.说明:
①证明两条线段的不等关系,常常把两条线段放到一个三角形中。
②此题进一步理解定理及其推论的应用条件,在“相等”问题中的不等量.由=2可得
∠AOB=2∠COD是正确的,但由=2得出AB=2CD,是错误的,培养学生在学习中的迁移能力.
例题3、如图,已知:
AB是⊙O直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥
AB,求证:
分析:
要证弧相等,可以证弧对应的弦相等,弧对应的圆心角相等
证法一:
连结AC、OC、OD、BD,
∵M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,∴AC=OC、OD=BD又∵OC=OD,∴AC=BD,∴=.
证法二:
连结OC、OD,
11
∵M、N分别是AO、BO的中点,∴OM=AO,ON=BO,
22
∵OA=OB,∴OM=ON,
∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴OC=OD,
∴Rt△COM≌Rt△DON,
∴∠COA=∠DOB,∴=.
证法三、如图,分别延长
∵M、N分别是AO、BO
CM、DN交⊙O于E、F,
11
的中点,∴OM=AO,ON=BO,
22
∵OA=OB,∴OM=ON,
B
又∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴CE=DF,∴=
∵=1,=1,∴=.
22
说明:
此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目,题目不难,但方法灵活,活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.
培养学生灵
例题4、如图,C是⊙O直径AB上一点,过C点作弦DE,使CD=CO,若的度数为
40°,
求的度数.
分折:
要求的度数,可求它所对的圆心角∠BOE的度数,如图作辅助线,通过等量转
换得出结果.
解:
连OE、OD并延长DO交⊙O于F.
∵的度数为
40°,∴∠AOD=40
∵CD=CO,
∵OD=OE,∴∠EOF=∠E+∠ODE=80
∴∠ODE=∠AOD=40°.
∴∠E=∠ODE=40°.
,∠BOF=∠AOD=40°,
则∠BOE=∠EOF+∠BOF=80°+40°=120°,∴的度数为
120°.
说明:
此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换.例题5、如图,在⊙O中,直径AB垂直于CD并交CD于E;直
径MN交CD于F,且FOFD2OE,求的度数.
解连结OD.
ABCD于E,且OF2OE.
例题4图)
B
EFO30,EOF60,又OFFD.
FDOFOD15
AOD75,
的度数是150.
例题6图)
说明:
由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,而我们对角是比较熟悉的,所以求弧的度数的问题往往转化为求它所对的圆心角度数的问题.例题6、已知:
如图,M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点,ABCD,求证:
AMNCNM.
分析:
由弦ABCD,想到利用弧,圆心角、弦、弦心距之间的关系定理,又M、N分别为AB、CD的中点,如连结OM,ON,则有OMON,OMAB,ONCD,故易得结论.
证明连结OM、ON,
O为圆心,M、N分别为弦AB、CD的中点,
OMAB,ONCD.
ABCD
OMON
OMNONM
AMN90OMN,CNM90ONM
AMNCNM说明:
有弦中点,常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题.
例题7、如图,已知⊙O中,,OB、OC分别交AC、
DB于点M,N,求证:
OMN是等腰三角形.
分析:
由,应得:
OMAC,ONBD,因此,只要证明ACBD就可以证明MON是等腰三角形.
说明:
在本题中,请注意垂径定理基本图形在证明中的作用.
例题8、如图,已知AB为⊙O的弦,从圆上任一点引弦CDAB,作OCD的平分线
交⊙O于P点,连接PA,PB.
求证:
PAPB.
证明:
连结OP.
∵COOP,∴OCPOPC.
∵CP是DCO的平分线,
∴DCPOCP.∴OP∥CD.
∵CDAB,∴OPAB.
∴∴PAPB.
PA=PB说明:
本题考查在同圆中等弧对等弦及垂径定理的综合应用,解题关键是连结OP,证OPAB.易错点是囿于用全等三角形的办法证明PA与PB相等而使思维受阻或证明繁
杂.
作业:
1.已知⊙O的半径为R,弦AB的长也为R,则AOB=,弦心距是
1
2.在⊙O中,弦AB所对的劣弧为圆的,圆的半径为2cm,则AB=
3
3.圆的一条弦把圆分为度数的比为1:
5的两条弧,如果圆的半径为R,则弦长为,
该弦的弦心距为
4.如图,直径
ABCD,垂足为E,
AOC130,则的度数为
,的度数为
5.在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中,只有
条对称轴的几何图形是
6.⊙O中弦AB是半径OC的垂直平分线,则的度数为
7.已知⊙O的半径为5cm,的度数是120,则弦AB的长是
8.如果一条弦将圆周分成两段弧,它们的度数之比为3:
1,那么此弦的弦心距的长度与此
弦的长度的比是
9.已知:
在直径是10的⊙O中,的度数是60°.求弦AB的弦心距.
10.已知:
如图,⊙O中,AB是直径,CO⊥AB,D是CO的中点,DE∥AB,求证:
=2.
11.如图,⊙O内两条相等的弦AB与CD相交于P,求证:
PBPD
12.如图,⊙O1和⊙O2是等圆,M是两圆心O1O2的中点,过M任作一直线分别交⊙O1
于A,B,交⊙O2于C,D,求证:
=
例如图,已知:
在⊙O中,=2,试判断∠AOB与∠COD,AB与2CD之间的关系,并说明理由.
A
C'
分析:
根据条件确定图形,观察、分析、猜想,特别是两条线段的不等
关系,常常把两条线段放到一个三角形中.解:
∠AOB=2∠COD,AB<2CD,理由如下:
如图,在⊙O上取一点C',使=.∴∠COD=∠DOC'∵=2,∴,=+=.
∴AB=CC'.∠AOB=∠COC'=∠COD+∠DOC'=2∠COD又∵在△CDC'中,CD+DC'>CC',∴CC'2 得∠AOB=2∠COD是正确的,但由=2得出AB=2CD,是错误的,培养学生在学习中的迁移能力. 例如图,已知: AB是⊙O直径,M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,求证: =. 分析: 要证弧相等,可以证弧对应的弦相等,弧对应的圆心角相等证法一: 连结AC、OC、OD、BD,∵M、N分别是AO、BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,∴AC=OC、OD=BD 又∵OC=OD,∴AC=BD,∴=. 证法二: 连结OC、OD, 11 ∵M、N分别是AO、BO的中点,∴OM=AO,ON=BO, 22∵OA=OB,∴OM=ON,∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴OC=OD, ∴Rt△COM≌Rt△DON,∴∠COA=∠DOB,∴=.证法三、如图,分别延长CM、DN交⊙O于E、F, 11 ∵M、N分别是AO、BO的中点,∴OM=AO,ON=BO, 22 ∵OA=OB,∴OM=ON, 又∵CM⊥AB,DN⊥AB,∴CE=DF,∴=∵=1,=1,∴=. 22 说明: 此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目,题目不难,但方法灵活,培养学生灵活 解决问题的能力和基本的辅助线的作法. 例如图,已知: 在⊙O中,OA⊥OB,∠A=35°,求和的度数. 分析: 连结OC,通过求圆心角的度数求解解: 连结OC, 在Rt△AOB中,∠A=35° ∴∠B=55°,又∵OC=OB, ∴∠COB=180°-2∠B=70°,∴的度数为70°, ∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°, ∴的度数为20°.说明: 此题是基本题目,目的是巩固基础知识. 例如图,C是⊙O直径AB上一点,过C点作弦DE,使CD=CO,若的度数为40 求的度数. 典型例题五 1)求EH和HF的长; 2)求BC的长. 解: 1)依题意,有一元二次方程根与系数关系,得 k1244k0,① EHHFk2,②EHHF4k0,③ 又EHHF2.④由②、③、④得k12.当k12时,①成立. 把k12代入原方程解得x18,x26 ∴EH8,HF6. 2)解法一: 连结BD,∴1. ∵AD是⊙O的直径,∴ABD90. ∵,∴ADEF.即AHEAHF90. ∴E1. AH3 在RtAEH中,tanEAHtan3,又EH8. EH4 ∴AH6.由勾股定理得AE10. 在RtAHF中,AHHF6,由勾股定理得AF62. AB3 在RtABD中,tan1tan. BD4 设AB3m,则BD4m,由勾股定理得AD5m. 3 ∵H是OD的中点,∴AHAD. 4 44∴ADAH68. 33 8 ∴5m8.解得m. 5 24 ∴AB3m.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分 5 ∴E,BACFAE, ∴ABC∽AFE. ∴BCAB EFAF. 解法二: 同解法一求出AE10,AD8. 连结CD. ∵AHHF,且AHHF, ∴HAFF45 ∵AD为⊙O直径, ∴ACD90,ADC45. ∴ACADsinADCADsin4542.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分 说明: 这是一道综合性较强的题目,主要考查一元二次方程的韦达定理和圆的一些知识。 典型例题六 例如图,在⊙O中,直径AB垂直于CD并交CD于E;直径MN交CD于F,且FOFD2OE,求的度数. 解连结OD. ABCD于E,且OF2OE. EFO30,EOF60,又OFFD. FDOFOD15 AOD75, 的度数是150. 说明: 由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,而我们对角是比较熟悉的,所以求弧的度数的问题往往转化为求它所对的圆心角度数的问题. 典型例题七 例如图,已知⊙O中,,OB、OC分别交AC、DB于点M,N, 求证: OMN是等腰三角形. 分析: 由,应得: OMAC,ONBD,因此,只要证明ACBD 就可以证明MON是等腰三角形. 说明: 在本题中,请注意垂径定理基本图形在证明中的作用. 典型例题八 例已知: 如图,M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点,ABCD,求证: AMNCNM. 分析: 由弦ABCD,想到利用弧,圆心角、弦、弦心距之间的关系定理,又M、N分别为AB、CD的中点,如连结OM,ON,则有OMON,OMAB,ONCD,故易得结论. AB、CD的中点, 证明连结OM、ON, O为圆心,M、N分别为弦 OMAB,ONCD. ABCD OMON OMNONM AMN90OMN,CNM90ONM AMNCNM说明: 有弦中点,常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题. 典型例题九 例如图,已知AB为⊙O的弦,从圆上任一点引弦CDAB,作OCD的平分线交⊙O 于P点,连接PA,PB. 求证: PAPB. 证明: 连结OP. ∵COOP,∴OCPOPC. ∵CP是DCO的平分线, ∴DCPOCP.∴OP∥CD. OP,证 PA与PB相等而使思维受阻或证明繁 说明: 本题考查在同圆中等弧对等弦及垂径定理的综合应用,解题关键是连结OPAB.易错点是囿于用全等三角形的办法证明杂. 典型例题十 例如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AB9,BC1,CDDA8. (1)若把和交换 了位置,DAB的大小是否变化? 为什么? (2)求证: DAB600。 DAB的大小不发生变 解 (1)由圆的旋转不变性知: 与交换位置后,它们的和仍等于,故化。 2)当交换位置以后(如图2),AB9,ADBC8,DC1, 则四边形 ABCD变为上 图2 图1 底为1,下底为9,两腰为8的等腰梯形。 作DEAB于E,CFAB于F。 91 则AEBF4。 2 AE 在RtAED中,cosA AD ∴A600。 即DAB600。 说明: 本题考查了圆的旋转不变性,解题关键是透彻理解题意并正确画出变化后的图形,易错点是画错或画不出变化后的图形。 选择题 3.在同圆或等圆中, 立的是() 如果圆心角BOA等于另一圆心角COD的2倍,则下列式子中能成 4.在同圆或等圆中,如果,则AB与CD的关系是() A.AB2CDB.AB2CD 5.在⊙O中,圆心角AOB90,点O到弦 C.AB2CDD.ABCD AB的距离为4,则⊙O的直径的长为() A.42B.82C.24D.16 6.在同圆或等圆中,若的长度=的长度, 则下列说法正确的个数是() ①的度数等于;②所对的圆心角等于所对的圆心角;③和是等弧;④ 所对的弦心距等于所对的弦心距。 7.在⊙O中,两弦ABCD,OM,ON分别为这两条弦的弦心距,则OM,ON的关系是() A.OMONB.OMONC.OMOND.无法确定8.如图,在两半径不同的同心圆中,AOBAOB60,则() A. B. 答案: 2、 在⊙O中,的度数240° ,则的长是圆周的 3、已知: ⊙O的半径为4cm, 1 AB所对的劣弧为圆的,则弦AB的长为 3 cm, AB的弦心距为 cm. 4、如图,在⊙O 为5、如图在△BOC=((A)140 ABC). (C)130° 6.已知⊙O的半径为 中,AB∥CD, B C 中, B) D) 的度数为45°,则∠COD的度数AO 1 7.在⊙O中,弦AB所对的劣弧为圆的,圆的半径为2cm,则AB= 3 1: 5的两条弧,如果圆的半径为R,则弦长为 8.圆的一条弦把圆分为度数的比为该弦的弦心距为 9.如图,直径ABCD,垂足为 E,AOC130,则的度数为 ,的 度数为 10.在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中,只有一条对称轴的几何图形是 11.⊙O中弦AB是半径OC的垂直平分线,则的度数为 12.已知⊙O的半径为5cm,的度数是120,则弦AB的长是 13.如果一条弦将圆周分成两段弧,它们的度数之比为3: 1,那么此弦的弦心距的长度与此 弦的长度的比是 答案: 13 1、60°;2、2/3;3、43,2;4、90°;5.60,3R6.237.R;R8. 22 130;1009.6010.等腰直角三角形11.12012.5313.1: 2. 解答题 4.如图,⊙O1和⊙O2是等圆,M是两圆心O1O2的中点,过M任作一直线分别交⊙O1于 A,B,交⊙O2于C,D,求证: 5.如图,已知⊙O的直径AC为20cm,的度数为60,求弦AB的弦心距的长。 参考答案: 1、 53; 2 2、提示: 连结 OE,则OE=2OD,sin∠OED=OD/OE=1/2,∴∠OED=30°,∠EOC=60°, 则∠AOE=30°,所以=2. 3.提示: 作AB、CD的弦心距 4.提示: 作AB、CD的弦心距 5.53cm OA为半径的一段圆弧。 保留作图痕迹,不写作法和证明 2.如图,有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心、⑴请你确定弧AB的中点;(要求: 用尺规作图,⑵若∠AOB=120°,OA=4米,请求出石拱桥的高度。 O 参考答案: 1.900;2. (1)略 (2)2米。
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