北京市人大附中届高三数学统练二试题含答案解析.docx
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北京市人大附中届高三数学统练二试题含答案解析
北京市人大附中2022届高三3月数学统练
(二)试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.已知集合
,
,则
为( )
A.
B.
C.
D.
2.在复平面内,复数
对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.二项式
的展开式中常数项为( )
A.
B.15C.
D.60
4.已知直线
平面
,直线
平面
,下面有三个命题:
①
;②
;③
.则真命题的个数为
A.0B.1C.2D.3
5.在同一平面直角坐标系中,函数
的图象与
的图象关于直线
对称.而函数
的图象与
的图象关于
轴对称,若
,则
的值是
A.
B.
C.
D.
6.已知向量
,
,
在正方形网格中的位置如图所示,用基底
表示
,则( )
A.
B.
C.
D.
7.第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B,运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐,如果第一天去A餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.7;如果第一天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为0.8.运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为( )
A.0.75B.0.7C.0.56D.0.38
8.已知函数
,则“函数
在
上单调递增”是“
”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要件
9.已知点P在抛物线
上,若以点P为圆心的圆与C的准线相切,且与x轴相交的弦长为6,则以
为直径的圆与准线l的位置关系为( )
A.相切B.相交C.相离D.不能确定
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰高的数学名著.书中有如下问题:
“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米(米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.22斛B.36斛C.42斛D.88斛
二、填空题
11.已知等差数列
的公差为2,若
,
,
成等比数列,则
___________.
12.已知椭圆
与双曲线
焦点重合,则该双曲线的离心率为___________.
13.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数填入如图所示3x3的正方形网格中,每个数填一次,每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右,每列从上到下,两条对角线从上到下这8个数列,给出下列四个结论:
①这8个数列有可能均为等差数列;
②这8个数列中最多有3个等比数列;
③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列,则中心数必为5;
④若第一行、第一列均为等比数列,则其余6个数列中至多有1个等差数列.
其中所有正确结论的序号是________.
三、双空题
14.一组数据:
7,6,3,2,8,3,5,6,9,7的中位数是___________;85%分位数是___________.
15.在
中,
,
,
,则
___________;
的面积为___________.
四、解答题
16.已知数
(
,
)的最小正周期为
,再从下列两个条件中选择一个:
条件①:
的图象关于点
对称;条件②:
的图象关于直线
对称.
(1)请写出你选择的条件,并求
的解析式;
(2)当
时,若
(1)中所求函数
的值域为
,求出m的一个合适数值.
17.如图,在正三棱柱
中,D为棱
上的点,E,F,G分别为
,
,
的中点,
.
(1)求证:
;
(2)若
平面
,试确定D点的位置,并求二面角
的余弦值.
18.自“新型冠状肺炎”疫情爆发以来,科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”.在科研人员不懈努力下,我国公民率先在
年年末开始使用安全的新冠疫苗,使我国的“防疫”工作获得更大的主动权.研发疫苗之初,为了测试疫苗的效果,科研人员以白兔为实验对象,进行了一些实验:
(1)实验一:
选取
只健康白兔,编号
至
号,注射一次新冠疫苗后,再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中,实验结果发现:
除
号、
号、
号和
号四只白兔仍然感染了新冠病毒,其他白兔未被感染.现从这
只白兔中随机抽取
只进行研究,将仍被感染的白兔只数记作
,求
的分布列和数学期望.
(2)实验二:
疫苗可以再次注射第二针、加强针,但两次疫苗注射时间间隔需大于三个月.科研人员对白兔多次注射疫苗后,每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响.试问:
若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率,那么一只白兔注射两次疫苗后的有效率能否保证达到
?
如若可以,请说明理由;若不可以,请你参考上述实验给出注射疫苗后有效率在
以上的建议.
19.已知椭圆
:
的右焦点为
,且经过点
.
(1)求椭圆
的方程以及离心率;
(2)若直线
与椭圆
相切于点
,与直线
相交于点
.在
轴是否存在定点
,使
?
若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
20.设函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程;
(2)若函数
有最大值并记为
,求
的最小值;
(3)当
时,求
零点的个数.
21.已知实数数列
满足:
.
(1)若
,
,求
,
的值;
(2)试判断:
的项是否可以全是正数,或者全是负数?
请说明理由;
(3)若数列
中的各项均不为0,记
前2022项中值为负数的项个数为m,求m所有可能的取值.
参考答案:
1.D
【解析】
【分析】
先化简出集合
,再根据补集运算直接求解即可.
【详解】
由集合
,即
,
所以
故选:
D
2.B
【解析】
【详解】
,
∴复数
对应的点位于第二象限
故选B
点睛:
复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把
的幂写成最简形式.
3.D
【解析】
【分析】
利用二项式的通项公式求解.
【详解】
解:
二项式
的通项公式为
,
令
,解得
所以展开式中常数项为
,
故选:
D
4.C
【解析】
【详解】
若直线
平面
,
,则直线
平面
,又因为直线
平面
,所以
,故①正确;
若直线
平面
,
,则
或直线
平面
,则
可能平行、相交或异面,故②错误;
若直线
平面
,
,则直线
平面
,又因为直线
平面
,所以
,故③正确;
故选C.
5.B
【解析】
【详解】
∵函数
的图象与
的图象关于直线
对称,∴函数
与
互为反函数,则
,又由
的图象与
的图象关于
轴对称,∴
,又∵
,∴
,
,故选B.
6.D
【解析】
【分析】
建立直角坐标系,用坐标表示出
、
和
,并设
,联立方程组求出
和
即可.
【详解】
如图建立直角坐标系,设正方形网格的边长为1,
则
所以
,
,
,设向量
,
则
则
,
所以
.
故选:
D
7.A
【解析】
【分析】
第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解.
【详解】
设
“第1天去A餐厅用餐”,
“第1天去B餐厅用餐”,
“第2天去A餐厅用餐”,则
,且
与
互斥,
根据题意得:
,
,
,
则
.
故选:
A.
8.A
【解析】
【分析】
由
得出
的取值范围,由正弦型函数的单调性列出不等式组可得
范围,即可判断出关系.
【详解】
∵
,∴
,
由于函数f(x)在
上单调递增,
∴
(
)解得
,(
)
故
只能取
,即
,
∴“函数f(x)在
上单调递增”是“
”的充分不必要条件.
故选:
A.
9.C
【解析】
【分析】
根据抛物线方程,求出焦点坐标与准线方程,根据抛物线的定义可知圆
过点
,再根据圆与
轴相交的弦长,即可得到
,从而得到
点坐标,最后求出
及
的中点,即可判断;
【详解】
解:
依题意抛物线的焦点为
,准线为
,根据抛物线的定义可知
即为圆
的半径,即圆
过点
,因为圆与
轴相交的弦长为6,所以
,又点
在抛物线上,所以
,即
或
,所以
,
的中点为
或
,点
或
到准线的距离
,所以以
为直径的圆与准线l相离;
故选:
C
10.A
【解析】
【分析】
由地面弧长求出圆锥底面半径,再利用体积公式求总体积,再代换为斛即可.
【详解】
解:
设圆锥的底面半径为
,则
,又取圆周率约为3
解得
,故米堆的体积
(立方尺).
因为1斛米的体积约为1.6立方尺,故总体积为
(斛)
故选:
A
11.
【解析】
【分析】
根据等差数列及
,
,
成等比数列建立等式,求得
即可求解.
【详解】
由题意可得,
成等比数列,
.
故答案为:
12.
【解析】
【分析】
由椭圆的性质得出半焦距,再由双曲线离心率公式求解即可.
【详解】
设椭圆的半焦距为
,则
,又
,故该双曲线的离心率为
.
故答案为:
13.①②③
【解析】
【分析】
①.由1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数依次填入网格中可判断;②.由1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数中,等比数列有:
1,2,4;1,3,9;2,4,8;4,6,9,从而可判断;③由
,可判断;④举反例即可判断.
【详解】
①.如图将1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数依次填入网格中,则这8个数列均为等差数列,故①正确.
②.1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数中,等比数列有:
1,2,4;1,3,9;2,4,8;4,6,9.
由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列,同一行或对角线上.
所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故②正确
③.若三个数
成等差数列,则
.
根据题意要有4组数成等差数列,且中间的数
相同.则只能是
由
则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为
时满足条件;
中心数为其他数时,不满足条件.故③正确.
④.若第一行为
;第一列为
,满足第一行、第一列均为等比数列.
第二行为
,第二列为
,则第二行,第二列为等差数列,此时有两个等差数列.故④不正确
故答案为:
①②③
14.
【解析】
【分析】
首先将数据从小到大排列,即可求出中位数与
分位数;
【详解】
解:
将数据从小到大排列为:
、
、
、
、
、
、
、
、
、
,
故中位数为
,又
,故这一组数据的
为第9个数为
;
故答案为:
;
;
15.
【解析】
【分析】
由正弦定理得出
,再由余弦定理和三角形面积公式计算即可.
【详解】
设
对应的边为
,
,由余弦定理可得
,即
,
故答案为:
;
16.
(1)
(2)
(答案不唯一)
【解析】
【分析】
先由函数的周期求出
的值,
(1)若选①,则由
,求出
,若选②,则
,从而可求出
,
(2)由
,得
,再由
的值域为
,可得
,从而可求出
的范围
(1)
因为
(
,
)的最小正周期为
,
所以
,得
,
所以
,
若选①,因为
的图象关于点
对称,则
,
所以
,所以
,得
,
因为
,所以
,
所以
,
若选②,因为
的图象关于直线
对称,
所以
,即
,
所以
,得
,
因为
,所以
,
所以
(2)
因为
,所以
,
因为当
,函数
的值域为
,
所以
,得
,
所以
,
所以
的一个值可以为
(答案不唯一)
17.
(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)由已知可得
,所以E、F、B、G四点共面,再证明
平面
即可证明;
(2)建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
,设
,
,由
平面
,则
,可得
,利用向量法即可求解.
(1)
证明:
在正三棱柱
中,
平面
,
因为E,F,G分别为
,
,
的中点,所以
,又
,
所以
,
平面
,所以E、F、B、G四点共面,
,
又因为
,且
,
所以
平面
,
所以
;
(2)
解:
建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
,设
,
,
,
,
,
设平面
的法向量为
,则
,即
,
取
,可得
,
因为
平面
,所以
,解得
,所以
,
易知平面
的法向量
,
所以
,
由图可知二面角
为钝二面角,
所以二面角
的余弦值为
.
18.
(1)分布列见解析;数学期望
;
(2)无法保证;建议:
需要将注射一次疫苗的有效率提高到
以上.
【解析】
【分析】
(1)首先确定
所有可能的取值,根据超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率,由此可得分布列;根据数学期望的公式可计算得到数学期望;
(2)根据注射一次疫苗的有效率为
,结合独立事件和对立事件概率公式可求得注射两次疫苗的有效率为
;设每支疫苗有效率至少达到
才能满足要求,则可构造方程求得
的取值范围,由此可给出建议.
(1)
由题意得:
所有可能的取值为
,
,
,
,
;
;
;
;
的分布列为:
数学期望
;
(2)
由已知数据知:
实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为
,则注射一次疫苗的有效率为
,
一只白兔注射两次疫苗的有效率为:
,
无法保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到
;
设每支疫苗有效率至少达到
才能满足要求,
,解得:
,
需要将注射一次疫苗的有效率提高到
以上才能保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到
.
19.
(1)
,
;
(2)存在定点
,
为
【解析】
(1)利用
,
,
求解方程
(2)设直线方程为
,与椭圆联立利用判别式等于0得
,并求得切点坐标
及
,假设存在点
,利用
化简求值
【详解】
(1)由已知得,
,
,
,椭圆的方程为
,离心率为
;
(2)在
轴存在定点
,
为
使
,证明:
设直线方程为
代入
得
,化简得
由
,得
,
,
设
,则
,
,
则
,设
,则
,则
假设存在点
解得
所以在
轴存在定点
使
.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系,考查切线的应用,利用判别式等于0得坐标是解决问题的关键,考查计算能力,是中档题
20.
(1)
(2)
取得最小值
(3)2个
【解析】
【分析】
(1)根据导数的几何意义,即可求得切线方程;
(2)首先利用导数判断函数的单调性,再根据函数的单调性求函数的最大值
,再利用导数求函数的最小值;
(3)首先利用导数求函数的单调性和最大值,再结合零点存在性定理,即可求解函数的零点个数.
(1)
,
,
,
所以函数
在
处的切线方程是
;
(2)
,
,
当
时,
,所以函数
在
单调递减,函数没有最大值,故舍去;
当
时,
,得
,
当
时,
,函数单调递增,
当
时,
,函数单调递减,
所以当
时,函数取得最大值
,
,得
,
当
时,
,函数
单调递减,
当
时,
,函数
单调递增,
所以当
时,函数
取得最小值,
.
(3)
当
时,
,
,得
,
当
时,
,函数单调递增,当
时,
,函数单调递减,当
时,函数取得最大值,
,
当
时,
,所以
时,必存在一个零点,
当
时,
,所以
时,必存在一个零点,
综上可知,函数
零点个数是2个.
21.
(1)
,
(2)
的项不可能全是正数,也不可能全是负数;
(3)
【解析】
【分析】
(1)根据递推公式计算可得;
(2)假设数列
的项都是正数,则
,
,与假设矛盾;假设数列
的项都是负数,则
,与假设矛盾,由此能证明
的项不可能全是正数,也不可能全是负数;
(3)存在最小的正整数
满足
,
(
),数列
是周期为
的数列,由此能求出结果。
(1)
解:
因为
,
,
,所以
,
所以
,
所以
,解得
,
所以
;
(2)
证明:
假设数列
的项都是正数,即
,
,
,
所以
,
,与假设矛盾,
故数列
的项不可能全是正数,
假设数列
的项都是负数,则
,而
,与假设矛盾,
故数列
的项不可能全是负数,
所以
的项不可能全是正数,也不可能全是负数;
(3)
解:
由
(2)可知数列
中项既有负数也有正数,
且最多连续两项都是负数,最多连续三项都是正数.
因此存在最小的正整数
满足
,
.
设
,
,
则
,
,
,
,
,
,
,
,
,
故有
,即数列
是周期为9的数列,
由上可知
,
,
,
这9项中,
,
为负数,
,
这两项中一个为正数,另一个为负数,其余项都是正数,
因为
,
所以当
时,即
或
;
记
,
,
,
这
项中负数项的个数
,
当
,3,4时,若
,则
,故
为负数,
此时
,
;
若
,则
,故
为负数.
此时
,
,
综上可知
的取值集合为
.
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