圆的一般方程及标准方程的转换.docx
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圆的一般方程及标准方程的转换
圆的标准方程与一般方程的转换
1.已知方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程,则其标准方程为答案:
(x+D)2+(y+E)2=DE4F
224提示①:
将原方程配方并整理x2+Dx+(D)2+y2+Ex+(E)2-(D)2-(E)2+F=0
2222
22
(x+D)2+(y+E)2-DE4F=0
224提示②:
将常数项移至方程右边。
22
DED2E24F
(x+)2+(y+)2=
224
2.将圆的方程(x-a)2+(x-b)2=r2化为一般方程的形式,结果为答案:
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0提示①:
将原方程去掉括号并整理
x2+y2-2ax-2by+a2+b2=r2
提示②:
将方程右边化为0
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
3.已知圆的一般方程为x2+y2+6x-8y=0,则其标准方程为
A、(x-3)2+(y-4)2=25B、(x-3)2+(y-4)2=5
C、(x+3)2+(y-4)2=25D、(x-3)2+(y-4)2=5
答案:
C提示①:
将原方程配方x2+6x+32+y2-8y+42-32-42=0
(x+3)2+(y-4)2-25=0
提示②:
将常数项移至方程右边
(x+3)2+(y-4)2=25
4.方程2(x+5)2+2y2=3表示一个圆,则这个圆的一般方程为A、2x2+2y2+20x+47=0B、2x2+2y2+20x=-47
4747
C、x2+y2+10x+47=0D、2x2+2y2+20x=-4722
答案:
C提示①:
将原方程去括号并整理
2x2+2y2+20x+50=3提示②:
将方程右边化为0
2x2+2y2+20x+47=0提示③:
将x2、y2系数化为1
47x2+y2+10x+47=0
2
5.圆C的方程为:
x2+y2+4x-4y+4=0,则圆C的圆心坐标为_
A、(-4,4)B、(4,-4)
C、(2,-2)D、(-2,2)
答案:
D提示①:
将原方程配方并整理
x2+4x+22+y2-4y+22-22-22+4=0(x+2)2+(y-2)2-4=0提示②:
将常数项移至方程右边
(x+2)2+(y-2)2=4
提示③:
根据标准方程(x-a)2+(x-b)2=r2的圆心坐标为(a,b),题中圆的圆心坐标为(-2,2),选D。
6.已知圆的方程为x2+y2-6x-16=0,那么该圆的半径为。
答案:
5
提示①:
将原方程配方并整理
x2-6x+32+y2-32-16=0
(x-3)2+y2-25=0提示②:
将常数项移至方程右边
(x-3)2+y2=25提示③:
根据圆的标准方程(x-a)2+(x-b)2=r2的半径为r,所以r2=25,r=5.
7.已知圆的标准方程为x2+(y+4)2=1,那么圆的一般方程形式为答案:
x2+y2+8y+15=0提示①:
将原方程括号散开并整理
x2+y2+8y+16=1
提示②:
将方程右边化为0x2+y2+8y+15=0
8.圆心坐标为(1,-2),半径为3的圆的一般方程为
A、x2+y2+2x-4y+2=0B、x2+y2-2x+4y+2=0
C、x2+y2+2x-4y-4=0D、x2+y2-2x+4y-4=0
答案:
D
提示①:
根据题意圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=32
提示②:
将方程去掉括号并整理x2+y2-2y+4y+5=9
提示③:
将方程右边化为0x2+y2-2x+4y-4=0
9.若下列方程在直角坐标系中对应的曲线为一个圆,那么圆心在x轴上的是___。
A、x2+y2+2x+1=0B、x2+y2+2x-1=0
C、x2+y2+2x+2y+1=0D、x2+y2+2y-1=0
答案:
B
提示①:
圆心在x轴上,则圆心的纵坐标为0,所以圆的一般方程的y的一次系数为0,排除C、D两项。
提示②:
将A、B配方后化成标准方程的形式分别为A:
(x+1)2+y2=0,B:
(x+1)2+y2=2
提示③:
A方程所表示的不是圆,选B。
10.已知方程x2+y2+mx+ny=0是一个圆的方程,且圆心为(-1,-2),则m=___,n=___。
答案:
2,4
提示①:
将方程配方并整理
x2+mx+(m)2+y2+ny+(n)2-(m)2-(n)2=0
2222
n2
2
x+m)2+(y+n)2=m
224
提示②:
根据标准方程(x-a)2+(x-b)2=r2的圆心为(a,b),-m=-1,
2
-n=-2,所以m=2,n=4.
2
11.已知圆C的方程为x2+y2+4mx-(2m-2)y-n2=0,其圆心在直
线x+y=3上,则m=___。
答案:
-4提示①:
将方程配方并整理x2+4mx+(2m)2+y2-(2m-2)y+(m-1)2-(2m)2-(m-1)2-n2=0(x+2m)2+[y-(m-1)]2=(2m)2+(m-1)2+n2提示②:
根据标准方程(x-a)2+(x-b)2=r2的圆心为(a,b),可知题中圆C的圆心坐标为(-2m,m-1)
提示③:
圆心过直线x+y=3,将圆心坐标代入直线方程
-2m+m-1=3
解得m=-4.
12.若圆x2+y2+2kx-2y+2=0与两坐标轴无公共点,那么k的取值范围是。
A、-2 C、k≤-2或k≥2D、k<-2或k>2 答案: D 提示①: 将圆的方程配方并写成标准方程形式x2+2kx+k2+y2-2y+12-k2-12+2=0(x+k)2+(y-1)2=k2-1 提示②: 根据标准方程(x-a)2+(x-b)2=r2的圆心为(a,b),可知题中圆心坐标为(-k,1)提示③: 圆与坐标周无公共点,圆心的横坐标和纵坐标的绝对值都小于半径。 (-k)2 k<-2或k>2,选D。 13.圆C1的方程为x2+y2-4x+6y+4=0,圆C2与圆C1关于坐标原点对称,则圆C2一般方程为___。 A、x2+y2+4x-6y+4=0B、x2+y2-4x-6y+4=0 C、x2+y2+4x+6y+4=0D、x2+y2-4x+6y+4=0 答案: 提示①: 将圆C1的方程配方并化为标准方程形式x2-4x+4+y2+6y+9-4-9+4=0 (x-2)2+(y+3)2=32 提示②: 圆C1的圆心坐标为(2,-3),圆C2与圆C1关于原点对称,圆C2的圆心坐标为(-2,3),半径与圆C1相同为3。 圆C2的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=32 提示③: 将标准方程化为一般方程为x2+y2+4x-6y+4=0,选A。 14.若方程x2+y2+4kx-2y+5=0表示一个圆,那么k的取值范围是 ___。 、-1≤k≤1 A、k<-1或k>1 、-1 C、k≤-1或k≥1答案: A提示①: 将方程配方并化成标准方程的形式x2+4kx+(2k)2+y2-2y+12-(2k)2-12+5=0 (x+2k)2+(y-1)2=4k2-4提示②: 圆标准方程右边表示半径平方,需大于0,4k2-4>0解得k<-1或k>1,选A。 15.圆心坐标为(3,4)且过原点的圆的一般方程为。 答案: x2+y2-6x-8y=0 提示①: 圆心的坐标(3,4),原点的坐标(0,0),其距离为3242=5,圆的半径为5 提示②: 圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=52提示③: 去掉括号并化为一般方程为x2+y2-6x-8y=0 16.已知圆的方程为(3x+1)2+(3y-1)2=11,那么圆的一般方程为。 答案: x2+y2+2x-2y-1=0 33 提示①: 将方程去掉括号9x2+6x+1+9y2-6y+1=11提示②: 将方程右边常数移到左边并整理9x2+9y2+6x-6y-9=0提示③: 将二次项系数化为1,x2+y2+2x-2y-1=0 33 17. 如果下面各方程能对应的曲线是圆,那么原点在圆内的是__。 A、x2+y2-4x-4y=0B、x2+y2-4x-5=0 答案: B提示①: 选项A的方程不含常数项,将原点坐标(0,0)代入后方程成立,则原点在A所示的曲线上,A不满足。 提示②: 将B、C、D的方程分别配方并写成圆标准方程的形式B: (x-2)2+y2=9,C: x2+(y-2)2=-1,D: (x-2)2+(y-2)2=3提示③: C右边小于0,方程表示的不是圆,C排除。 将原点坐标(0,0)分别代入B、D方程。 B左边=4<9,原点在圆内;D左边=8>3,原点在圆外。 选B。 18.下列圆中,必过原点的是___。 A、x2+y2=1B、x2+y2+x+y=1 C、x2+y2+x+y=0D、(x+1)2+(y+1)2=1 答案: C 提示①: 将原点的坐标(0,0)分别代入A、B、C、D个方程中,只有C成立,选C。 19.圆心坐标为(-1,2),且与x轴相切的圆是___。 A、x2+y2+2x-4y+1=0B、x2+y2+2x-4y+4=0 C、x2+y2-2x+4y+1=0D、x2+y2-2x+4y+4=0 答案: A 提示①: 圆与x轴相切,则圆的半径为圆心纵坐标的绝对值,圆心坐标为(-1,2),r=2. 提示②: 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=22提示③: 将方程去掉括号并化为一般方程的形式x2+y2+2x-4y+1=0,选A。 20.圆心坐标为(3,4),且与y轴相切的圆是___。 A、x2+y2+6x+8y+16=0B、x2+y2+6x+8y+9=0 C、x2+y2-6x-8y+16=0D、x2+y2-6x-8y+9=0 答案: C 提示①: 圆与y轴相切,则圆的半径为圆心横坐标的绝对值,圆心坐标为(3,4),r=3. 提示②: 圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=32提示③: 将方程去掉括号并化为一般方程的形式x2+y2-6x-8y+16=0,选C。 21.与圆(x+a)2+(y+b)2=r2是同心圆的是___。 A、x2+y2+2ax-2by=0B、x2+y2-2ax-2by=0 C、x2+y2-2ax-2by=0D、x2+y2+2ax+2by=0 答案: D 提示①: 将(x+a)2+(y+b)2=r2散开并化为一般方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2-r2=0 提示②: 只有D项的一次系数和一般方程相同,选D. 22.与圆x2+y2-6x-4y=0半径相同的圆是___。 A、x2+y2-8x-2y=0B、x2+y2-2x-12=0 C、x2+y2-4x-4y=0D、x2+y2=169 答案: B 提示①: 将原方程配方并化为标准方程(x-3)2+(y-2)2=13,半径 r=13 提示②: 将A、B、C、D分别配方并化为标准方程 A: (x-4)2+(y-1)2=17,B: (x-1)2+y2=13,C: (x-2)2+(y-2)2=8,D: x2+y2=169只有B所示的圆的半径为13,选B. 23.圆x2+y2+2mx-2ny-1=0的圆心为(1,1),则m=__,n=__。 答案: -1,1 提示①: 将方程配方并化为标准方程(x+m)2+(y-n)2=m2+n2+1提示②: 圆的坐标为(-m,n),-m=1,n=1. 所以m=-1,n=1 24.圆x2+y2+ax+b=0的圆心必在___轴上。 答案: x 提示①: 将方程配方化为标准方程的形式(x+a)2+y2=-b+(a)2, 22圆心坐标为(-a,0),必在x轴上。 2 提示②: 圆的一般方程不含y的一次项,则圆心的纵坐标为0,圆心在x轴上。 25.圆x2+y2+ay+b=0的圆心必在___轴上。 答案: y 提示①: 将方程配方化为标准方程的形式x2+(y+a)2=-b+(a)2, 22圆心坐标为(0,-a),必在y轴上。 2 提示②: 圆的一般方程不含x的一次项,则圆心的横坐标为0,圆心在y轴上。 26.圆x2+y2+b=0的圆心必为___。 答案: 原点 提示①: 题中圆的标准方程为x2+y2=-b,根据标准方程(x-a)2+(x-b)2=r2的圆心为(a,b),圆心为原点(0,0) 27.圆x2+y2+ay+by=0必过___。 答案: 原点 提示①: 题中圆的一般方程不含常数项,将(0,0)代入方程,方程成立,圆必过原点。
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