解析几何习题及答案.docx
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解析几何习题及答案.docx
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解析几何习题及答案
解析几何习题
、选择题(本大题共12个小题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
B.21
x2
6.已知△ABC的顶点B,C在椭圆-+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外
一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()
D.12
A.23B.6C.4,3
7.已知双曲线粤一£=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:
x2+y2—6x+5=0相切,且双
ab
()
Dx2±A八2y2彳,x2忙彳
B.——=1C.——=1D.——=1
453663
F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线().
曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为
x2y“,
A_—=1I
54
8.设双曲线的一个焦点为垂直,那么此双曲线的离心率为
A..2B.3D普
9.若不论k为何值,直线y=k(x—2)+b与曲线x2—y2=1总有公共点,贝Vb的取值范围是
5x2y2
12.
22
D.22
3x-2y=0,Fi、F2分别是
A(xi,yi),B22,3,C(X2,y2)为椭圆9+話=1上三点,若F(0,4)与三点A、B、C的距离为等差数列,则yi+y2的值为()
A4c10J6
A・3B・3CP
二、填空题(本大题共4小题,将正确的答案填在题中横线上)
13.设P是双曲线X2-y?
=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为a9
双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于.
14.平行线11:
3x-2y-5=0与I2:
6x-4y+3=0之间的距离为
15.在Rt△ABC中,AB=AC=1,如果一个椭圆通过A,B两点,它的一个焦点为点C,另一个焦点在AB上,则这个椭圆的离心率为.
x2
16•点P是双曲线-—y2=1上的一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的
轨迹方程是
、解答题(本大题共5个小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知直线
I过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,如右图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线I的方程.
18.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围.
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
122
19.已知直线y=-1x+2和椭圆X2+^2=1(a>b>0)相交于A、B两点,M为线段AB的中点,
2ab
1
若|AB|=25,直线OM的斜率为㊁,求椭圆的方程.
1
20.在面积为1的厶PMN中,tan/PMN=§,tan/MNP=—2,建立适当的坐标系,求以M,N为焦点且过点P的双曲线方程.
21.设抛物线C:
y2=4x,F为C的焦点,过F的直线L与C相交于A、B两点.
(1)设L的斜率为1,求|AB|的大小;
(2)求证:
OAOB是一个定值.
解析几何习题答案
、选择题
1.解析
2.解析
当|PA|—|PB|=|AB|时,点P的轨迹是一条射线,故甲?
/乙,而乙?
甲,故选B.1
§x—y=入将点(6,.3)代入求出入即可.答案C.
y'—b
x—1=—1,
x—a
1
设双曲线方程为孑+y
3.解析
设对称点为(x‘,y',)则
解得:
x'=—b—1)y'=—a—1.
宁+甲+1=0'
答案B
2
4.解析设直线的斜率为k,则直线方程为y—2=k(x—1),直线在x轴上的截距为1—R,
令—3V1—2v3,解不等式可得•也可以利用数形结合•答案
k
4得.19;
3=5,得k=—25,
5.
6.
解析若a2=9,b2=4+k,贝Vc=5—k,由c
a
a2=4+k,b2=9,贝Uc=k—5,由c=£,即予一5=4,解得k=21.答案C
a5V4+k5
由椭圆的定义知:
|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,
4a=4,3(F是椭圆的另外一个焦点).答案C圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是a2+b2=2,即晋=2,
解析
•••周长为
7.解析
得3b
8.解析设双曲线方程为
渐近线方程为y=±x,•a,
5+1又e>1,…e=_2~.
9.解析由直线过点(2,
3].答案B
bx±ay=0,根据已知解得b=2,则a2=5,故所求的双曲线方程是7—y=1.答案A
54
笃一占=1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),则kBF=—-,双曲线的abc
—-•=—1,即b2=ac,c2—a2=ac,•e2—e—1=0,解得e=1±5
ca2
答案D
b),因为x=2时,y2=x2—1=3,所以y=±,3,所以b€[—,3)
10.解析由抛物线的定义知,点P到该抛物线的距离等于点P到其焦点的距离,因此点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点P到点(0,2)的距离与点P到焦点
的距离之和,显然,当P、F、(0,2)三点共线时,距离之和取得最小值,最小值等于
",0—22+2—02=于.答案A
11.解析在椭圆中,号^=(a+c);(a_c)=a,而a2=b2+c2,所以短轴端点(0,±5)与F的距离为a.
…一|AF|c—"l,l4|CF|l4__/4911
12.解析a2=a,即|AF|=5―5yi,a2=a,即|CF|=5—5y2,|BF|=8+"9=亍
—y1—y2
cc
442210
由题意知2|BF|=|AF|+|CF|,所以5—詳+5—評=■,所以屮+件亍[答案]B
二、填空题
3
|PF2|—|PF1|=4,又
—5—3
2_V13
—32+22=〒
13•解析由渐近线方程y=|x,且b=3,得a=2,由双曲线的定义,得
|PF1|=3,a|PF2|=7.答案7
3
14•解析直线12变为:
3x—2y+2=0,由平行线间的距离公式得:
d=
设另一个焦点为F,如图所示,T|AB|=|AC|=1,△ABC为直角三角形,
•••1+1+2=4a,则a=2:
2,设|FA|=x,
x+1=2a,
1—x+2=2a,
•-x=乎,.・.1+22=4c2,•c=严,e=~=6—”订3.答案6一3.
224a
16.解析设P(X0,y0),M(x,y),由中点坐标公式可得
警—牛=1,即x2—4y2=1.[答案x2—4y2=1
X0=2x,y0=2y,代入双曲线方程得
、解答题(本大题共6个小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
xy
17.解设A(a,0),B(0,b),(a>0,b>0),则直线I的方程为;+=1,
ab
32
•门过点P(3,2),•3+孑1
,即ab>24.
d32
•1=一+"ab
132
•Saabo=^ab>12当且仅当;=,即a=6,
△ABO的面积最小,最小值为12.
b=4.
此时直线l的方程为:
6+4=1.
即2x+3y—12=0.
4x2+y2=1
18.解
(1)联立
y=x+m
因为直线与椭圆有公共点.
得5x2+2mx+m2—1=0.
5x2+2mx+m2—1=0,
所以△=4m2—20(m2—1)>0解得—
⑵设直线与椭圆交于A(X1,y1),B(X2,y2),由
(1)知,
2m1
由韦达定理,得X1+x2=--5-,X1x2=5(m2-1).
所以|AB|=(x1—X2)2+(y1-y2)2
=:
2(X1—x2)2
=:
2[(X1+X2)2—4X1X2]
=\l2[第-4(m2-1)]
=510-8m2,
|AB|最大,此时直线方程为y=x.
B(X2,y2),M(X0,yo).
所以当m=0时,
19.解设A(x1,y1),x2y2a2+汁1,
2=1,②
2
b2X1+X2
则2x2亠ya2b
①-②得:
y-—1=-2.
X2—X1ay1+y2
二kAB=-%孵=-2.③
ayo2
又koM="=了,④
xo2由③④得a2=4b2.
1
y=-2X+2,
由22得:
X2-4x+8-2b2=0,
红斗y_=1
4b2+b2=1
二X1+X2=4,X1X2=8—2b2.•••|AB|=\:
1+k2|x1—X2|
=~X1+X2~2—4X1X2
=25解得:
b2=4.
、Xv2
故所求椭圆方程为:
—+V=1.
164
20.解析以MN所在直线为x轴,
设双曲线的万程为2-y=1,
a232
-a2
4
•1WJ—— ■0IH寸——L十良寸十-寸——Hwala+L+(0A+--+4ALA-HHozala+(l+za±)(l+^tzala+zxlxh佶倨•••(M&x)"僭GA=x)"倨"寸——=nalacm寸=zA+lA••r『X寸H、OH寸——A乂寸——ZAe曲 L+◎Hx ^+^HX報M怒熬岸 (2)OOH寸——9乡^Hzxx寸——zzx+xZlA——Na+zLX——Sx ■LHZXLXC9H2X+X X寸H OHL+X9——Zxe丑・(ZAJx)8・(M・><<怒 £——Xha ・l——xha^^£^1報m..・ql)zi..<£•=
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