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磁路计算
第三章磁路和电感计算
不管是一个空心螺管线圈,还是带气隙的磁芯线圈,通电流后磁力线分布在它周围的整个空间。
对于静止或低频电磁场问题,可以根据电磁理论应用有限元分析软件进行求解,获得精确的结果,但是不能提供简单的、指导性的和直观的物理概念。
在开关电源中,为了用较小的磁化电流产生足够大的磁通(或磁通密度),或在较小的体积中存储较多的能量,经常采用一定形状规格的软磁材料磁芯作为磁通的通路。
因磁芯的磁导率比周围空气或其他非磁性物质磁导率大得多,把磁场限制在结构磁系统之内,即磁结构内磁场很强,外面很弱,磁通的绝大部分经过磁芯而形成一个固定的通路。
在这种情况下,工程上常常忽略次要因素,只考虑导磁体内磁场或同时考虑较强的外部磁场,使得分析计算简化。
通常引入磁路的概念,就可以将复杂的场的分析简化为我们熟知的路的计算。
3.1磁路的概念
从磁场基本原理知道,磁力线或磁通总是闭合的。
磁通和电路中电流一样,总是在低磁阻的通路流通,高磁阻通路磁通较少。
所谓磁路指凡是磁通(或磁力线)经过的闭合路径称为磁路。
3.2磁路的欧姆定律
以图3.1(a)为例,在一环形磁芯磁导率为μ的磁芯上,环的截面积A,平均磁路长度为l,绕有N匝线圈。
在线圈中通入电流I,在磁芯建立磁通,同时假定环的内径与外径相差很小,环的截面上磁通是均匀的。
根据式(1.7),考虑到式(1.1)和(1.3)有
(3.1)
或
=F/Rm(3.2)
式中F=NI是磁动势;而
表3.1磁电模拟对应关系
磁路
电路
磁动势F
电动势E
磁通
电流I
磁通密度B
电流密度J
磁阻Rm=l/A
电阻R=l/A
磁导Gm=A/l
电导G=A/l
磁压降Um=Hl
电压U=IR
Rm=
(3.3)
Rm—称为磁路的磁阻,与电阻的表达式相似,正比于路的长度l,反比于截面积A和材料的磁导率;其倒数称为磁导
(3.3a)
式(3.1)即为磁路的欧姆定律。
在形式上与电路欧姆定律相似,两者对应关系如表3.1所示。
磁阻的单位在SI制中为安/韦,或1/亨;在CGS制中为安/麦。
磁导的单位是磁阻单位的倒数。
同理,在磁阻两端的磁位差称为磁压降Um,即
Um=Rm=BA×
=Hl(安匝)(3.4)
引入磁路以后,磁路的计算服从于电路的克希荷夫两个基本定律。
根据磁路克希菏夫第一定律,磁路中任意节点的磁通之和等于零,即
(3.5)
根据安培环路定律得到磁路克希菏夫第二定律,沿某一方向的任意闭合回路的磁势的代数和等于磁压降的代数和
(3.6)
或
(3.6a)
Aφ
IlF=NIR
N
(a)(b)
图3.1环形磁芯线圈和等效磁路
式(3.5)对应磁场的高斯定理,即穿过任何闭合曲面的磁通之和为零。
而式(3.6)则为磁路的欧姆定律。
应当指出的是磁路仅在形式上将场的问题等效成路来考虑,它与电路根本不同:
(1)电路中,在电动势的驱动下,确实存在着电荷在电路中流动,并因此引起电阻的发热。
而磁路中磁通是伴随电流存在的,对于恒定电流,在磁导体中,并没有物质或能量在流动,因此不会在磁导体中产生损耗。
即使在交变磁场下,磁导体中的损耗也不是磁通‘流动’产生的。
(2)电路中电流限定在铜导线和其它导电元件内,这些元件的电导率高,比电路的周围材料的电导率一般要高1012倍以上(例如空气或环氧板)。
因为没有磁“绝缘”材料,周围介质(例如空气)磁导率只比组成磁路的材料的磁导率低几个数量级。
实际上,磁导体周围空气形成磁路的一部分,有相当部分磁通从磁芯材料路径中发散出来,并通过外部空气路径闭合,称为散磁通。
对于磁路中具有空气隙的磁路,没有磁芯的空心线圈更是如此。
一般情况下,在磁路中各个截面上的磁通是不等的。
附带说明:
这里所谓“散磁通”是指所有不经过整个磁芯磁路的磁通。
因为在上一章我们定义了漏磁通只在耦合磁路中存在。
散磁通也可能是互感的一部分,如果采用电磁电器中不经过主气隙的磁通(不产生力)就是漏磁,对应的电感称为漏感,就会在变压器中造成混淆,故引出散磁通。
(3)在电路中,导体的电导率与导体流过的电流无关。
而在磁路中,磁路中磁导率是与磁路中磁通密度有关的非线性参数。
即使磁通路径铁磁结构保证各处截面积相等,但由于有散磁通存在,在磁芯中各截面的磁通密度仍不相等。
磁芯材料非线性使得不同,导致相同磁路长度,不同的磁压降。
需要由磁通求磁阻,又由磁阻求磁通反复试探,作出系统的磁化曲线,这样工作量很大。
虽然空气的磁导率是常数,但气隙磁场与结构有关,很难准确计算。
(4)由于有散磁通的存在,即使均匀绕在环形磁芯上的两个线圈也不能做到全耦合,漏磁通一般很难用分析的方法求得,通常采用经验公式计算。
(5)直流(即恒定)磁场已经相当复杂,如果是交流激励的磁场,在其周围有导体,在导体中产生涡流效应,涡流对激励线圈来说相当于一个变压器的次级,涡流产生的磁通对主磁通产生影响,磁场分布更加复杂。
可见,磁路计算是近似的。
为了得到较精确的结果,首先应对静态磁场分布情况应当有较清晰的概念,才能作出合乎实际的等效磁路。
例3:
一个环形磁芯线圈的磁芯内径d=25mm,外径D=41mm,环高h=10mm(见图例3)。
磁芯相对磁导率μr=50。
线圈匝数N=50匝。
通入线圈电流为0.5A。
求磁芯中最大、最小以及平均磁场强度,磁通,磁链和磁通密度。
解:
磁芯的截面积
磁路平均长度
线圈产生的磁势
d
D
h
图例3
磁芯中最大磁场强度发生在内径处
最小磁场强度发生在外径处
平均磁场强度
磁芯中平均磁通密度
磁芯中磁通
或
磁芯线圈的磁链
从磁芯中最大和最小磁场强度可以看到,内外径相差很大,可见磁芯中磁通密度是不均匀的。
一般希望内径与外径比在0.8左右。
3.3磁芯磁场和磁路
3.3.1无气隙磁芯磁场
如果电路中两点之间有电位差,就可能在两点之间产生电流。
同理,在磁路中两点之间有磁位差,在两点之间就可能产生磁通。
图3.2(a)所示为一等截面环形磁芯,线圈均匀分布在磁芯上。
这种磁路系统完全对称,可以应用相似于电路中电位分析方法,作出磁位分布图。
根据磁位分布图,可以了解散磁场的分布,确定等效磁路。
(A)均匀绕线环形磁芯
首先在磁路的平均长度上选取一点(或一个截面)作为磁位的参考点(即x=0),并假定沿磁芯中磁通的正方向x取正值,然后求磁路中某x点相对于参考点的磁位差Ux。
根据磁路克希荷夫第二定律,沿图示虚线闭合回路得到
Fx=Ucx+Ux(3.7)
式中Fx-0x段磁路所匝链的线圈磁势,Ucx-0x段磁芯的磁阻压降。
由于线圈均匀绕,所以x段线圈匝数为Nx=Nx/l,x段磁势
(3.8)
F
NNIφ
0lxF=NIRm
xUcxNI
фUxlx
xI0lx
x=0(a)(b)(c)
图3.2等截面均匀绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路
磁芯中的磁场强度H=IN/l,应有
(3.9)
式中IN—线圈总磁势;l—磁路平均长度。
因此,沿磁路平均长度展开,Fx和Ucx的分布情况如图3.2(b)所示。
由图3.2(b)可见,Ucx的分布和Fx完全相同。
由式(3.7)得到x点与基准的磁位差
Ux=Fx-Ucx(3.10)
也就是说,将图形Fx减去Ucx图形,就得到Ux分布情况。
显然,Ux处处为零(式(3.8)~(3.9)。
即等截面均匀绕线的环形磁铁任意点间没有磁位差,即等磁位。
在环外不会有任何散磁通,磁力线局限于导磁体内。
根据式(3.1)和(3.3),因为磁场集中在线圈磁芯内,各截面磁通相等,故可将磁势和磁阻画成集中元件。
图3.2(a)的等效磁路如图3.2(c)所示。
(B)集中绕线的等截面环形磁芯
将图3.3(a)中磁芯线圈集中绕在一边。
如果线圈长度为lw,取其线圈中点为参考点。
应用相似的方法,得到磁势Fx分布图(图3.3(b))。
在x方向lw/2至l-lw/2段,没有增加匝链磁势,故为一水平线。
如果有散磁存在,磁芯各截面的磁通密度和Hx不再是常数,Ucx也就不能用式(3.9)来计算。
如果散磁通的比例很小,假设Hx为常数,可以作出Ucx分布图如图3.3(b)。
由上述两个图相减,就得到磁位差Ux分布图。
由图可见,除对称轴(x=0和l/2)外,磁路中Ux都不等于零,因此有散磁通分布于圆环周围空间,如图3.3(c)所示。
由于对称,通过x=0和x=l/2的平面定义为0等磁位面。
在磁芯中存在若干磁位相等的磁位面,简称
0等位面Flw/2φ
INRiφσφl
φsUcxlw/2lxRσRl
φlwINF
IUxlx
xx=0lw/2
lx
(a)(b)(c)
图3.3等截面集中绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路
等位面。
和电场一样,在周围空间也存在等磁位面,磁力线垂直于等位面,终止在电流上(图1.3~1.4和图3.3(a))。
由图3.3(a)可见,在磁芯中x=0处磁通最大,由于磁芯截面积是均匀的,x=0处的磁通密度也就最大;而x=l/2处,磁通最小,磁通密度最低。
在+lw/2和-lw/2之间磁位差最大,因此磁力线最密。
尽管散磁通是分布的,在画等效磁路时,可近似等效为散磁通是在最大磁位差的地方(±lw/2)流出的。
因此有
φ=φc+φs
式中φc-全部经过磁芯的磁通;φs-“散”磁通。
散磁通φs是部分通过磁芯经过周围空气路径闭合的磁通。
如果是电感线圈,它是电感磁通的一部分;如果是变压器,φs可能是主磁通的一部分,其余是漏磁通,也可能全部是漏磁通,即部分或全部不与次级耦合。
等效磁路如图3.3(c)所示。
图中Ri=lw/μA-lw段磁阻,相当于总磁势的内阻;而Rl=(l-lw)/μA-lk以外的磁芯磁阻。
Rs-散磁磁阻,则由经验决定。
(C)有气隙时环形磁芯磁场
图3.4(a)为线圈均匀绕,等截面环形有气隙为的磁芯线圈。
线圈磁势降落在磁芯和气隙两部分
式中Hc和H分别为磁芯和气隙的磁场强度。
虽然气隙不大,因空气磁导率比磁芯磁导率低得多,所以气隙磁场强度H比磁芯磁场强度Hc大得多。
因此,H占有总磁势的较大的比例。
仍然取线圈中心为参考。
F,Hcl和H的分布图如图3.4(b)中实线所示,磁芯的磁势图为线性增加。
如仍假设Hc为常数,与没有气隙一样,Ux不等于零,因此,也有散磁通s,所不同的是对称面左右两侧的磁位差比前者大,所以散磁通也大。
当磁芯有气隙时,集中绕线将对称线圈放置在气隙正对面(图3.4(c))时,磁位分布图如图3.4(b)中虚线所示,在大部分磁通路径上,磁位差很大,从图(c)看到,集中绕线比均匀分布绕线具有更大的散磁。
如果将集中对称线圈放置在气隙上,在绕线长度上磁势大部分降落在气隙上,在线圈以外的磁芯上磁位差很小,散磁也很小,如图(b)中虚线所示。
AFA
IN
IUcxlxlI
X=0l
INN
Uxlx
N
0lx
(a)(b)(c)
图3.4磁路中有气隙时磁位分布图
3.3.2E型磁芯磁场和等效磁路
E型磁芯是最常用的磁芯形状。
其它形状如C型(硅钢片),ETD型,EC型,RM型等等(铁氧体)的等效磁路与E型相似。
这些磁芯,为了便于装配线圈,通常是两个相同的“E”形状磁芯开口相对合成一个封闭磁芯。
根据等截面原理,E型磁芯(图3.5)的两个边柱的截面积之和等于中柱截面积。
线圈一般绕在中柱上。
(A)无气隙时等效磁路和磁位图
半个E型磁芯尺寸如图3.5所示。
中柱的截面积
A2
A1DEA
CF
B
图3.5E型磁芯尺寸图
边柱截面积
端部面积
将两个磁芯柱端相对合在一起,形成闭合磁路,称为变压器磁芯(图3.6(a))。
中柱上绕有激励线圈N。
假设忽略散磁通,则在磁芯整个截面上磁通密度是均匀的,磁通的平均路径如图中虚线所示。
因此
因此各磁路段磁阻为
R1
R2
R3
磁路总激励磁势F=NI,其等效磁路如图3.6(b)所示。
如果进行磁位分析,磁位分布图相似于图3.4。
因集中线圈占平均磁路长度的大部分,比环形磁路短,磁芯磁导率很高,散磁通很少,通常忽略周围空气中磁场。
因为两个边柱是对称的,可合并成一路,R2’=R2/2=l2/2μA2,R3’=R3/2=l3/2μA3。
简化的等效磁路如图3.6(c)所示。
中柱通过的磁通
(3.11)
因为A1=2A2=2A3,因此R=R1+R2’+2R3’=2(l1+l3)/μA1=1/G。
式(3.11)可简化为
=NIG(3.11a)
式中G-总磁导。
最后等效磁路如图3.6(d)所示。
l3R3R3R3
φ1φ2R1φ2R2R1φ
l2=l1R2φ1φR2F=INR(G)
F=NIF=IN
R3R3
(a)(b)(c)(d)
图3.6E型磁芯等效磁路
(B)带气隙E型磁芯
带气隙的E型磁芯线圈一般作为直流滤波电感或反激变压器。
如果线圈匝数为N,激磁磁势为F=NI。
它的磁位分布图类似集中线圈的带气隙环形磁芯磁位图。
当带有气隙时,一般可能有两种情况:
EE型磁芯中柱和边柱相同的空气隙,边柱气隙和中柱气隙相等,以及只有中柱气隙。
l2FF
l1ININ
A0x0x
UCINUCIN
xδ/20x0x
x=0UcxUcxδ
0x2l1+δx
δ/2δ/2
2l1+2l2+δ
(a)(b)(c)
图3.7E型磁芯中柱、边柱有气隙和只中柱有气隙磁位图
因磁芯磁导率远大于空气磁导率,尽管气隙长度很小,但磁阻很大(式3.3)。
两种情况磁位图3.7(b)和图3.7(c)所示。
比较图(b)和图(c)可见,图(b)在很长的磁路上磁位差较大,尤其在边柱部分较大,这样引起较大的散磁通。
如果磁场是脉动的,将对周围电路引起严重的干扰磁场。
而图(c)仅在中柱有较大的磁位差,在相同的磁势下,磁位差明显小于图(b)。
这说明仅中柱有气隙比三个芯柱都有气隙好。
3.3.3气隙磁导的计算
(A)气隙尺寸相对端面尺寸很小时磁导计算
在图3.4和图3.7中,如果气隙相对气隙端面尺寸很小(<5%),可以忽略散磁,认为磁芯气隙端面面积就是气隙截面积。
因此气隙磁导
(3.12)
对于E型磁芯,如果只是中柱带有气隙,同时气隙尺寸δ<<(C,D)时,气隙磁导
如果中柱和边柱都带有相同的气隙δ,则中柱(G1δ)和一个边柱(G2δ)磁导分别(尺寸参看图3.5)为
G1δ
和G2δ
总的气隙磁导
(3.13)
a
δ
φ
图3.8边缘磁通
(B)气隙较大时,气隙磁导计算
在大多数情况下,气隙相对端面尺寸较大,磁通不仅经过磁芯的端面,而且还通过气隙的边缘,尖角,气隙附近的磁芯侧表面流通(图3.8),这些磁通通常统称为边缘磁通。
端面磁导仍然可按式(3.12)计算。
边缘磁通计算十分复杂,有分析法,经验公式法,许多文献进行了讨论。
对于规则形状可按以下经验公式求得:
●相对正方形端面气隙磁导(图3.9)
端面G
(3.14)
δa
a
xx
图3.9正方形端面气隙
当
时,
由端面至x处的侧表面
G
(3.14a)
通常取x=2~3δ。
总磁导为式(3.14),(3.14a)之和。
如果正方形端面对一个比端面大得多的平板,式(3.14)和(3.14a)计算值放大一倍。
●相对圆形端面气隙磁导(图3.10)
端面G
(3.15)
xx
d
δ
图3.10圆形端面气隙
当
时,
由端面至x处的侧表面
G
(3.15a)
一般x=(2~3)。
●两个相等的矩形端面间气隙磁导
ab
2
m1
δ4
m2
图3.11矩形磁极之间的边缘磁导
用有限元以及电磁场相似原则分析磁场虽然准确,但使用的情况毕竟有限。
比较实用的方法是可以估计磁通可能的路径,把整个磁场分成几个简单的几何形状的磁通管。
然后用分析法求解,或用以下近似公式:
(3.16)
式中Abav—磁通管的平均截面积(米2);lbav—磁通管内力线的平均长度(m);Vb—磁通管的体积(m3);k—磁通管号码。
整个气隙磁导是这些磁导总和。
1-半圆柱
G1
δa
lbav
2-半圆筒
G2
a
δ
m
3-1/4球
G3
δ
4-1/4球壳
G4
m
δ
图3.12矩形端面分割的磁通管
(a)方形磁极
图3.11是一个正方形磁极。
将气隙磁通路径分成的几何形状如图3.11中1-半圆柱,2-半圆筒,3-1/4圆球,4-1/4圆球壳。
分割的各磁通管如图3.12所示。
以2号半圆筒为例,平均磁路长度lbav=π(δ+m)/2。
截面积Abav=m×a。
根据式(3.16)求得半圆筒磁导
(3.17)
式中m=(1~2)δ。
当<3m时,
(3.17a)
同理得到其它分割的磁导
半圆柱:
(3.18)
1/4球
(3.19)
1/4球壳
(3.20)
由式(3.12)得到端面间气隙磁导
(3.21)
总的气隙磁导为
如果端面是a×b的矩形。
取m=δ,则总磁导为
(3.22)
(b)圆柱形磁极
圆柱形磁极之间的气隙磁导也可用正方形的分割法计算,将边缘磁导分成圆环和圆环壳。
如柱的直径为d,气隙长度为δ,用分割法求得圆柱总气隙磁导为
(3.23)
(C)气隙磁导粗略估算
从图3.4和图3.7可见,在气隙附近磁位差很大,存在强烈的边缘磁通,向外扩展超过气隙的边界,有效的气隙截面积大于磁芯端面截面积,即等效的气隙截面积加大了。
为避免过大的误差,计算时必须根据有效截面积,而不是极端面积。
经验近似方法是加一个气隙长度到磁芯端面尺寸上。
对于边长a和b矩形极,有效气隙面积Ae近似为:
Ae=(a+δ)×(b+δ)(3.23a)
对于直径为D园端面截面:
(3.23b)
当δ=0.1D时,面积校正系数Ae/A为1.21。
A-磁极端面面积。
当校正系数低于20%以上的校正系数是有帮助的。
较精确计算用前面经验公式。
更加精确的校正需要用有限元求解,
例4:
磁极尺寸如图例5(a),磁芯中柱一边短3mm,即磁极气隙δ=3mm。
求中柱气隙磁导。
解:
从图例5(a)得到磁极的尺寸C=27mm,D=19.8mm,是一个矩形截面。
中柱边缘磁通扩展宽度m和边柱与中柱之间的距离(m<(E-d)/2)有关,这里选取m=1.5δ.由式(3.22)得到气隙总磁导
Gδ
=0.3062×10-6(H)
如果采用粗略估算公式(3.12)和(3.23a)计算
(H)
式中μ0=4π×10-7H/m。
上述两种方法计算结果相差小于10%。
例5:
图例5所示变压器磁芯为EE65。
标称尺寸A=65mm,B=32.6mm,C=27mm,D=19.8mm,E=44.2mm,F=22.6mm。
假定磁芯μ=μ0×2000,线圈绕在中柱上,匝数N1=25匝,N2=5匝。
初级加一个幅值为400V,脉冲宽度Ton=3.6μs。
次级电流峰值为I2p=30A的矩形波。
求:
1.作出等效磁路图;2.计算磁芯最大磁感应Bmax;3.计算次级电压u2;4.计算初级电流最大幅值。
如果在两半磁芯结合部有一个0.05mm的气隙,重复以上的计算。
解:
1.磁芯是由两半的一副组成。
上下两半是对称的。
平均磁路参考图3.7(a):
mm=2.76cm=l2
=2.24cm
R3R3
C
R2R1R2
F=IN
FB
R2R1R2
DR3R3
E
A
(a)(b)
图例5E型磁芯线圈
中柱截面积
边柱截面积
=2.81cm2
端部截面积
=2.7cm2
等效磁阻
R1
R2
R3
得到等效磁路中R1,R2,R3。
等效磁路如图例5(b)所示。
2.当输入电压为400V,持续时间Ton=3.5μS,由式(2.19)得到中柱中磁通
中柱中最大磁通密度
因中柱总磁通分成相等两部分通过边柱,边柱(端部)面积之和大于中柱面积,故磁通密度小于中柱。
3.根据式(2.21)得到
4.根据式(2.24)得到初级电流
次级反射电流
根据磁势平衡定律,由式(3.6)得到
因此得到
2.045+3.91+3.3)×104
=0.127(A)
输入峰值电流
如果两半磁芯结合处有0.05mm气隙,仅在每个磁路中增加一个气隙磁阻,因气隙相对端面尺寸很小,可忽略边缘磁通,两边柱气隙磁阻相等
Rδ2
中柱磁阻
Rδ1
初级磁化电流
磁芯仅50μm气隙,气隙磁阻比总磁芯磁阻还要大,磁化电流增加一倍多,磁芯气隙对磁化电流影响很大。
初级总的输入电流
3.4电感计算
有电流流通,就建立磁场。
根据式(2.1)电感系数的定义
(3.24)
这就是说,一段导线,一个线圈都存在电感,只是大小不同。
在有些情况下必须考虑,而在有些情况下,则可以忽略。
在开关电源中,电路的工作状态一直处于瞬时变化状态,某些在前面讨论的静态磁场和低频磁场可以忽略的问题,随着工作频率的提高,变得越来越重要,而且成为主要矛盾,因此,定量或至少定性分析电感量是十分必要的。
从式(3.24)可见,一般计算载流导体的电感是十分困难的。
除了线圈带有高磁导率磁路闭合磁芯,或磁路中很小气隙外,磁链ψ的计算十分复杂。
一般采用经验公式。
3.4.1导线和无磁芯线圈的电感计算-经验公式
A.导线电感
(1)一定长度的导线电感
载流导线总是闭合的,包围的面积越大,磁链ψ越大,电感就越大。
一段导线是总自感的一部分。
导线长度为l(cm),直径为d(cm),磁导率为μ=μ0,则低频电感
×10-7(H)(3.25)
如果导线长度很短(l<100d),在括号内增加一项d/2l。
在很高频率(大于1GHz)时,导线电感趋于极限值
×10-7(H)(3.25a)
高频时,由于导线的集肤效应减少了磁场空间,使得磁场减少,电感量减少。
一般用式(3.25)计算,中频时(数百kHz)最大有6%的误差,高频时只有2%误差。
这在工程上完全允许的。
例6:
求一段直径为1mm,长50cm的铜连接线的低频电感量。
解:
根据公式(3.25)得到
=0.546μH
(2)单导线对大平面(地回路)之间电感(图3.13)
单导线直径为d(m),长度为l(m),导线与平面
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