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第二章函数
一.函数
1、函数的概念:
(1)定义:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系
,使对于集合A中的任意一个数
,在集合B中都有唯一确定的数
和它对应,那么就称
:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
=
,
∈A.其中,
叫做自变量,
的取值范围A叫做函数的定义域;与
的值相对应的P值叫做函数值,函数值的集合{
|
∈A}叫做函数的值域.
(2)函数的三要素:
定义域、值域、对应法则
(3)相同函数的判断方法:
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)
2、定义域:
(1)定义域定义:
函数
的自变量
的取值范围。
(2)确定函数定义域的原则:
使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
(3)确定函数定义域的常见方法:
①若
是整式,则定义域为全体实数
②若
是分式,则定义域为使分母不为零的全体实数
例:
求函数
的定义域。
③若
是偶次根式,则定义域为使被开方数不小于零的全体实数
例1.求函数
的定义域。
例2.求函数
的定义域。
④对数函数的真数必须大于零
⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1
⑥若
为复合函数,则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零,如
⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(4)求抽象函数(复合函数)的定义域
已知函数
的定义域为[0,1]求
的定义域
已知函数
的定义域为[0,1)求
的定义域
3、值域:
(1)值域的定义:
与
相对应的
值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
(2)确定值域的原则:
先求定义域
(3)常见基本初等函数值域:
一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数(正余弦、正切)
(4)确定函数值域的常见方法:
①直接法:
从自变量
的范围出发,推出
的取值范围。
例:
求函数
的值域。
解:
∵
,∴
,
∴函数
的值域为
。
②配方法:
配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。
形如
的函数的值域问题,均可使用配方法。
例:
求函数
(
)的值域。
解:
,
∵
,∴
,∴
∴
,∴
∴函数
(
)的值域为
。
③分离常数法:
分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。
例:
求函数
的值域。
解:
∵
,
∵
,∴
,
∴函数
的值域为
。
④换元法:
运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如
(
、
、
、
均为常数,且
)的函数常用此法求解。
例:
求函数
的值域。
解:
令
(
),则
,
∴
∵当
,即
时,
,无最小值。
∴函数
的值域为
。
⑤判别式法:
把函数转化成关于
的二次方程
;通过方程有实数根,判别式
,从而求得原函数的值域,形如
(
、
不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。
例:
求函数
的值域。
解:
由
变形得
,
当
时,此方程无解;
当
时,∵
,∴
,
解得
,又
,∴
∴函数
的值域为
值域为
练习:
求函数
的值域
4、函数的表示方法
(1)解析法、列表法、图象法
(2)求函数解析式的常见方法:
①换元法
例:
已知
求
的解析式.
例:
若
求
.
例:
已知
求
.
②解方程组法
例:
设函数
满足
+2f(
)=
(
≠0),求
函数解析式.
一变:
若
是定义在R上的函数,
,并且对于任意实数
,总有
求
。
(令P=0,P=2P)
③待定系数法
例:
已知
是一次函数,并且
求
解:
设
,则
则
,解得
或
故所求一次函数解析式
或
④配变量法
例:
已知
求
的解析式.
例:
若
求
.
⑤特殊值代入法(取特殊值法)
例:
若
且
,
求值
.
例:
设
是
上的函数,且满足
并且对任意实数
有
求
的表达式
解:
设
则
即
或设
则
⑥利用给定的特性(奇偶性周期性)求解析式.
例:
对
∈R,
满足
且当
∈[-1,0]时,
求当
∈[9,10]时
的表达式.
解析:
,则
则
,T=2
5、分段函数
(1)定义:
在函数的定义域内,对于自变量
的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数叫分段函数。
(2)注意:
分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集;
分段函数是一个函数,而不是几个函数;
写分段函数定义域时,区间端点不重不漏。
6、复合函数
如果
则
称为
、
的复合函数。
7、函数图象问题
(1)熟悉各种基本初等函数的图象
如:
,
,
,
,
,
(2)图象变换
平移:
对称:
翻折:
注意:
带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法,平方法,图象法
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK课堂习题KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
1.求下列函数的定义域:
⑴
⑵
2.设函数
的定义域为
,则函数
的定义域为__
3.若函数
的定义域为
,则函数
的定义域是
4.函数
,若
,则
=
5.求下列函数的值域:
⑴
⑵
(3)
(4)
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增减函数和单调区间
设函数
的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量
,当
时,都有
,那么就说
在区间D上是增函数.区间D称为
的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值
当
时,都有
,那么就说
在这个区间上是减函数.区间D称为
的单调减区间.
注意:
函数的单调性是函数的局部性质;
(2)图象的特点
如果函数
在某个区间是增函数或减函数,那么说函数
在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3)函数单调区间与单调性的判定方法(重点)
(A)定义法:
任取
∈D,且
;
作差
;
变形(通常是因式分解和配方);
定号(即判断差
的正负);
下结论(指出函数
在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
的单调性与构成它的函数
,
的单调性密切相关,其规律:
“同增异减”
注意:
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
例:
是否存在实数
使函数
在闭区间
上是增函数?
如果存在,说明
可取哪些值;如果不存在,说明理由。
解:
当
>1时,为使函数
在闭区间
上是增函数
只需
在闭区间
上是增函数,故
得
,又由
>1,得
>1
当0<
<1时,为使函数
在闭区间
上是增函数
只需
在闭区间
上是减函数,故
无解
综上,当
时,
在闭区间
上是增函数
(D)常用结论
●函数
与函数
的单调性相反;
●函数
与
具有相同的单调性;
●当
时,函数
与
具有相同的单调性,
时,它们具有相反的单调性;
●若
则函数
与
具有相反的单调性;
●公共区间,增函数+增函数=增函数、减函数+减函数=减函数、
增函数-减函数=增函数、减函数-增函数=减函数
●若
且
与
都是增(或减)函数,则
也是增(或减)函数;
若
且
与
都是增(或减)函数,则
也是增(或减)函数;
●若
,且在定义域上是增函数,则
也是增函数,
也是增函数。
●常见函数的单调性(一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数
)
(E)利用函数的单调性求函数的最值
确定函数的定义域;将复合函数分解为基本的初等函数;分别判断其单调性;根据同增异减判断
例:
求函数
在区间[2,6]上的最大值和最小值
2.函数的奇偶性(整体性质)
(1)函数奇偶性定义
一般地,对于函数
的定义域D内的任意一个
,都有
且
(或
),那么
就叫做奇(或偶)函数.
(2)图象的特征
偶函数的图象关于P轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
(3)利用定义判断函数奇偶性的步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
确定
与
是否成立;
作出相应结论:
若
或
,则
是偶函数;
若
或
,则
是奇函数.
注意:
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,再根据定义判定;或由变式
或
来判定;利用定理,或借助函数的图象判定.
(4)函数奇偶性的重要结论
●具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;
●
、
是定义域分别为
的奇函数,那么在
上,
+
是奇函数,
•
是偶函数。
●类似结论:
奇
奇=奇、奇×奇=偶、
偶
偶=偶、偶×偶=偶
奇×偶=奇
●若
是具有奇偶性的单调函数,则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。
●若
的定义域关于原点对称,则
是偶函数,
是奇函数。
(
)
●若
既是奇函数又是偶函数,则
●复合函数的奇偶性:
内层是偶函数,则
是偶函数
(不用死记硬背)内层是奇函数,外层是奇函数,则
是奇函数
外层是偶函数,则
是偶函数
(5)函数奇偶性与单调性的关系
●奇函数在
上是增函数,在
上也是增函数;
●偶函数在
上是增函数,在
上是减函数。
例:
函数
是奇函数,且当
时是增函数,若
,求不等式
的解集。
解:
已知
不等式可化为
,
因为
在
上递增,所以
得
,或
又由
是奇函数,它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同,
且
,得
,即有
,无解。
综上,原不等式的解集是{
,或
}
例:
设奇函数
上为增函数,且
,则不等式
的解集为?
解:
由
是奇函数得
,所以
即
或
,
由奇函数
上为增函数,故
上为增函数
由
知
可化为
得
,同理
可化为
得
解集为
3.函数的周期性
(1)周期函数的定义
若函数
对于定义域中任意
,存在不为零的常数
,使得
恒成立,则
为周期函数,
为
的周期
(2)有关周期性的一些结论
●若
的周期为
,则
也是
的周期
●若周期函数的周期
是所有正周期中最小的,则
为
的最小正周期
●若函数
满足
,则
比以
为周期,反之不成立。
证明提示:
①令
=
;②令
;③令
。
(3)函数的对称性
●满足条件
的函数的图象关于直线
对称;
●若满足
的函数的图象关于点
对称
●点
关于
轴的对称点为
,函数
关于
轴的对称曲线方程为
●点
关于
轴的对称点为
,函数
关于
轴的对称曲线方程为
●
关于原点的对称点为
,函数
关于
轴的对称曲线方程为
●函数
与函数
关于直线
对称。
注意:
,对称轴求法:
;
与
的对称轴求法:
,
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