江苏省南京市届高三数学第三次调研考试试题.docx
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江苏省南京市届高三数学第三次调研考试试题
江苏省南京市2019届高三数学第三次调研考试(5月)试题
(满分160分,考试时间120分钟)
2019.5
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合U={x|1 2.若复数z满足z(1+i)=1,其中i为虚数单位,则z在复平面内对应的点在第________象限. 3.已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示,那么这一周该商品日销售量的平均数为________. 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,输出S的值为________. 5.若实数x,y满足 则x+3y的最小值为________. 6.从1,2,3,4,5这5个数字中随机抽取3个不同的数字,则这3个数字经适当排序后能组成等差数列的概率为________. 7.若函数f(x)= 则f(log23)=________. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3n-1,n∈N*.若bn=log3an,则b1+b2+b3+b4的值为________. 9.已知函数f(x)=2sin(ωx+ ),其中ω>0.若x1,x2是方程f(x)=2的两个不同的实数根,且|x1-x2|的最小值为π,则当x∈[0, ]时,f(x)的最小值为________. 10.在平面直角坐标系xOy中,过双曲线 - =1(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的平行线,交另一条渐近线于点P.若线段PF的中点恰好在此双曲线上,则此双曲线的离心率为________. 11.有一个体积为2的长方体,它的长、宽、高依次为a,b,1.现将它的长增加1,宽增加2,且体积不变,则所得新长方体高的最大值为________. 12.已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a,b是夹角为60°的两个单位向量.若向量c满足c·(a+2b)=-5,则|c|的最小值为________. 13.在平面直角坐标系xOy中,已知MN是圆C: (x-1)2+(y-2)2=2的一条弦,且CM⊥CN,P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时,直线l: x-3y-5=0上存在两点A,B,使得∠APB≥ 恒成立,则线段AB长度的最小值是________. 14.已知函数f(x)= x2-alnx+x- ,对任意x∈[1,+∞),当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1,则实数a的取值范围是________. 二、解答题: 本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 已知a,b,c分别是△ABC三个角A,B,C所对的边,且满足acosB+bcosA= . (1)求证: A=C; (2)若b=2,且 · =1,求sinB的值. 16.(本小题满分14分) 在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=1,BC=2,∠ABC=60°. (1)求证: 平面PAC⊥平面PAB; (2)设平面PBC∩平面PAD=l,求证: BC∥l. 17.(本小题满分14分) 如图,某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160m.摩天轮与景观之间有一建筑物,此建筑物由一个底面半径为15m的圆柱体与一个半径为15m的半球体组成.圆柱的底面中心P在线段AB上,且PB为45m.半球体球心Q到地面的距离PQ为15m.把摩天轮看作一个半径为72m的圆C,且圆C在平面BPQ内,点C到地面的距离CA为75m.该摩天轮匀速旋转一周需要30min,若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周,求该游客能看到点B的时长.(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡) 18.(本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: + =1(a>b>0)过点(1, ),离心率为 .A,B分别是椭圆C的上、下顶点,M是椭圆C上异于A,B的一点. (1)求椭圆C的方程; (2)若点P在直线x-y+2=0上,且 =3 ,求△PMA的面积; (3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N,交y轴于点D,且点D在线段OA上(不包括端点O,A),直线NA与直线BM交于点P,求 · 的值. 19.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=lnx+ +1,a∈R. (1)若函数f(x)在x=1处的切线为y=2x+b,求a,b的值; (2)记g(x)=f(x)+ax,若函数g(x)在区间(0, )上有最小值,求实数a的取值范围; (3)当a=0时,关于x的方程f(x)=bx2有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围. 20.(本小题满分16分) 已知数列{an}的前n项和为Sn.若存在正整数r,t,且r (1)若首项为3,公差为d的等差数列{an}是“M(r,2r)数列”,求d的值; (2)已知数列{an}为等比数列,公比为q. ①若数列{an}为“M(r,2r)数列”,r≤4,求q的值; ②若数列{an}为“M(r,t)数列”,q∈(-1,0),求证: r为奇数,t为偶数. 2019届高三模拟考试试卷 数学附加题 (满分40分,考试时间30分钟) 21.【选做题】在A,B,C三小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修42: 矩阵与变换) 已知矩阵M= . (1)求M2; (2)求矩阵M的特征值和特征向量. B.(选修44: 坐标系与参数方程) 在极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+ )=1,以极点O为坐标原点,极轴Ox所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为 (其中α为参数,r>0).若直线l与曲线C相交于A,B两点,且AB=3,求r的值. C.(选修45: 不等式选讲) 若x,y,z为实数,且x2+4y2+9z2=6,求x+2y+6z的最大值. 【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 22.在平面直线坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)及点M(2,0),动直线l过点M交抛物线于A,B两点,当l垂直于x轴时,AB=4. (1)求p的值; (2)若l与x轴不垂直,设线段AB中点为C,直线l1经过点C且垂直于y轴,直线l2经过点M且垂直于直线l,记l1,l2相交于点P,求证: 点P在定直线上. 23.对由0和1这两个数字组成的字符串,作如下规定: 按从左向右的顺序,当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(k∈N*,且k≥3)位,则称子串“010”在第k位出现;再继续从第k+1位按从左往右的顺序找子串“010”,若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k+m位(其中m≥3,且m∈N*),则称子串“010”在第k+m位出现;……;如此不断地重复下去.如: 在字符串11010101010中,子串“010”在第5位和第9位出现,而不是在第7位和第11位出现.记在n位由0,1组成的所有字符串中,子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n). (1)求f(3),f(4)的值; (2)求证: 对任意的正整数n,f(4n+1)是3的倍数. 2019届高三模拟考试试卷(南京) 数学参考答案及评分标准 1.{4,5} 2.四 3.30 4. 5.-5 6. 7. 8.6 9.-1 10. 11. 12. 13.2 +2 14.(-∞,1] 15. (1)证明: 由正弦定理 = = =2R,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 代入acosB+bcosA= ,得(sinAcosB+sinBcosA)cosC=sinCcosA,(2分) 即sin(A+B)cosC=sinCcosA. 因为A+B=π-C,所以sin(A+B)=sinC,所以sinCcosC=sinCcosA.(4分) 因为C是△ABC的内角,所以sinC≠0,所以cosC=cosA. 因为A,C是△ABC的内角,所以A=C.(6分) (2)解: 由 (1)知A=C,所以a=c,所以cosB= = .(8分) 因为 · =1,所以a2cosB=a2-2=1,所以a2=3.(10分) 所以cosB= .(12分) 因为B∈(0,π),所以sinB= = .(14分) 16.证明: (1)因为PA⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PA⊥AC.(2分) 因为AB=1,BC=2,∠ABC=60°,由余弦定理, 得AC= = = .(4分) 因为12+( )2=22,即AB2+AC2=BC2,所以AC⊥AB.(6分) 因为AC⊥PA,且PA∩AB=A,PA 平面PAB,AB 平面PAB, 所以AC⊥平面PAB. 又AC 平面PAC,所以平面PAC⊥平面PAB.(8分) (2)因为BC∥AD,AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD.(10分) 因为BC 平面PBC,且平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l.(14分) 17.解: 以点B为坐标原点,BP所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系, 则B(0,0),Q(45,15),C(160,75). 过点B作直线l与圆Q相切,与圆C交于点M,N, 设直线l的方程为y=kx,即kx-y=0, 则点Q到l的距离为 =15, 解得k= 或k=0(舍去). 所以直线l的方程为y= x,即3x-4y=0.(4分) 点C(160,75)到直线l的距离CH= =36.(6分) 在Rt△CHM中,因为CH=36,CM=72,所以cos∠MCH= = .(8分) 因为∠MCH∈(0, ),所以∠MCH= ,所以∠MCN=2∠MCH= ,(12分) 所以所用时长为30× =10min.(13分) 答: 该游客能看到点B的时长为10min.(14分) 18.解: (1)因为椭圆过点(1, ),离心率为 , 所以 + =1, =1-e2= ,解得a2=2,b2=1, 所以椭圆C的方程为 +y2=1.(2分) (2)由 (1)知B(0,-1),设M(x0,y0),P(x,y). 由 =3 ,得(x,y+1)=3(x0,y0+1),则x=3x0,y=3y0+2. 因为P在直线x-y+2=0上,所以y0=x0 ①.(4分) 因为M在椭圆C上,所以 +y =1,将①代入上式,得x = .(6分) 所以|x0|= ,从而|xP|= , 所以S△PMA=S△PAB-S△MAB= ×2× - ×2× = .(8分) (3)(解法1)由 (1)知,A(0,1),B(0,-1). 设D(0,m),0<m<1,M(x1,y1),N(x2,y2). 因为MN的斜率为1,所以直线MN的方程为y=x+m. 联立方程组 消去y,得3x2+4mx+2m2-2=0, 所以x1+x2=- ,x1·x2= .(10分) 直线MB的方程为y= x-1,直线NA的方程为y= x+1, 联立解得yP= .(12分) 将y1=x1+m,y2=x2+m代入,得 yP= = = = .(14分) 所以 · =(0,m
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