高中数学数列试题及答案.docx
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高中数学数列试题及答案
高中数学数列试题及答案
第二章数列
3.
如果a1,a2,⋯,a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则()
5.
等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为().
和Sn>0成立的最大自然数n是()
A.4005
B.4006
C.4007
D.4008
7.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()
A.-4B.-6C.-8D.-10
8.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a5=5,则S9=().
a39S5
A.1B.-1C.2D.1
2
9.已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则a2a1b2
的值是().
A.1
B.-1
C.-1或1
D.1
2
2
22
4
10.在等差数列{an}中,an≠0,an-1-
an2+an+1=0(n≥2),若S2n-1=38,则n=()
A.38
B.20
C.10
D.9
二、填空题
11.设f(x)=x1,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-2x2
5)+f(-4)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6)的值为.
12.已知等比数列{an}中,
(1)若a3·a4·a5=8,则a2·a3·a4·a5·a6=.
(2)若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=.
(3)若S4=2,S8=6,则a17+a18+a19+a20=.
13.在8和27之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积32
为.
14.在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前13项之和为.15.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则a4+a5+⋯+a10=.
16.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,
f(n)=.
三、解答题
17.
(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n,求证数列{an}成等差数列.
ca,ab也成等差数列.bc
(2)已知1,1,1成等差数列,求证bcabca
18.设{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.
(1)求q的值;
(2)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较
Sn与bn的大小,并说明理由.
19.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n2Sn(n=1,2,3⋯).n
求证:
数列{Sn}是等比数列.
n
20.已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列,Sn为其前n项和,a1,2a7,
3a4成等差数列,求证:
12S3,S6,S12-S6成等比数列.
第二章数列
参考答案
、选择题
1.C
解析:
由题设,代入通项公式an=a1+(n-1)d,即2005=1+3(n-1),∴n=699.
2.C
解析:
本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力.设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意得a1+a2+a3=21,22
即a1(1+q+q2)=21,又a1=3,∴1+q+q2=7.
解得q=2或q=-3(不合题意,舍去),
222
∴a3+a4+a5=a1q(1+q+q)=3×2×7=84.
3.B.
解析:
由a1+a8=a4+a5,∴排除C.
2
又a1·a8=a1(a1+7d)=a1+7a1d,
∴a4·a5=(a1+3d)(a1+4d)=a12+7a1d+12d2>a1·a8.
4.C
解析:
解法1:
设a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,a4=1+3d,而方程x-2x+m=0中两4444
根之和为2,x2-2x+n=0中两根之和也为2,
∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4,
a1=34,a3=45是另一个方程的两个
∴d=21,a1=14,a4=74是一个方程的两个根,
根.
∴7,15分别为m或n,
1616∴|m-n|=1,故选C.
2
解法2:
设方程的四个根为x1,x2,x3,x4,且x1+x2=x3+x4=2,x1·x2=m,x3·x4
=n.
由等差数列的性质:
若+s=p+q,则a+as=ap+aq,若设x1为第一项,x2必为第
1m-n|=.
2
5.B
解析:
∵a2=9,a5=243,a5=q=243=27,
a29
∴q=3,a1q=9,a1=3,
∴S4=3-3=240=120.1-32
6.B
解析:
解法1:
由a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,知a2003和a2004两项中有一正数一负数,又a1>0,则公差为负数,否则各项总为正数,故a2003>a2004,即a2003>0,a2004<0.
故4006为Sn>0的最大自然数.选B.
0,同
离小,
解法2:
由a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<
解法1的分析得a2003>0,a2004<0,
∴S2003为Sn中的最大值.
∵Sn是关于n的二次函数,如草图所示,
∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距
∴4007在对称轴的右侧.
2
根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧,4007,4008
都在其右侧,Sn>0的最大自然数是4006.
7.B
解析:
∵{an}是等差数列,∴a3=a1+4,a4=a1+6,
又由a1,a3,a4成等比数列,
∴(a1+4)=a1(a1+6),解得a1=-8,
∴a2=-8+2=-6.
解析:
设d和q分别为公差和公比,则-4=-1+3d且-4=(-1)q,∴d=-1,q=2,
a2a1d1
∴==.
b2q22
10.C
解析:
∵{an}为等差数列,∴an2=an-1+an+1,∴an2=2an,
又an≠0,∴an=2,{an}为常数数列,
∴n=10.
、填空题
11.32.
设S=f(-5)+f(-4)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6),
则S=f(6)+f(5)+⋯+f(0)+⋯+f(-4)+f(-5),
∴2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+⋯+[f(-5)+f(6)]=62,∴S=f(-5)+f(-4)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6)=32.
12.
(1)32;
(2)4;(3)32.
解析:
(1)由a3·a5=a42,得a4=2,
∴a2·a3·a4·a5·a6=a54=32.
a1a2324
2
(a1a2)q236
∴a5+a6=(a1+a2)q4=4.
S4=a1+a2+a3+a4=24
(3)4q=2,
S8=a1+a2++a8=S4+S4q
13.216.
解析:
本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数
必与8,27同号,由等比中项的中间数为827=6,插入的三个数之积为8×27×6
323232
=216.
14.26.
解析:
∵a3+a5=2a4,a7+a13=2a10,
∴6(a4+a10)=24,a4+a10=4,
S13(a1+a13)13(a4+a10)134∴S13====26.
222
15.-49.
解析:
∵d=a6-a5=-5,
∴a4+a5+⋯+a10
=7(a4+a10)=2
=7(a5-d+a5+5d)
=2
=7(a5+2d)
=-49.
16.5,1(n+1)(n-2).
2解析:
同一平面内两条直线若不平行则一定相交,故每增加一条直线一定与前面已
有的每条直线都相交,∴f(k)=f(k-1)+(k-1).
由f(3)=2,
f(4)=f(3)+3=2+3=5,
f(n)=f(n-1)+(n-1),
相加得f(n)=2+3+4+⋯+(n-1)=1(n+1)(n-2).
2
三、解答题
17.分析:
判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前
一项差为常数.
证明:
(1)n=1时,a1=S1=3-2=1,
22
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5,
n=1时,亦满足,∴an=6n-5(n∈N*).
首项a1=1,an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数)(n∈N*),
∴数列{an}成等差数列且a1=1,公差为6.
(2)∵1,1,1成等差数列,
abc
∴2=1+1化简得2ac=b(a+c).
bac
222222b+ca+bbc+c+a+abb(a+c)+a+c(a+c)(a+c)a+c
+=====2·,
acacacacb(a+c)b
2∴b+c,c+a,a+b也成等差数列.
abc
2
18.解:
(1)由题设2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q,
2
∵a1≠0,∴2q-q-1=0,
∴q=1或-1.
2
2
(2)若q=1,则Sn=2n+n(n-1)=n+3n.
22
当n≥2时,Sn-bn=Sn-1=(n-1)(n+2)>0,故Sn>bn.
2
2
若q=-1,则Sn=2n+n(n-1)(-1)=-n+9n.
2224
当n≥2时,Sn-bn=Sn-1=(n-1)(10-n),
4
19.证明:
∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=n+2Sn,n
∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得nSn+1=2(n+1)Sn,
故{Sn}是以2为公比的等比数列.n
20.证明:
由a1,2a7,3a4成等差数列,得4a7=a1+3a4,即4a1q6=a1+3a1q3,
33
变形得(4q3+1)(q3-1)=0,∴q3=-1或q3=1(舍).
4
a1(1q6)
3
由S6=1q=1q3=1;
由=3==;
12S312a1(1q3)1216
1q
a1(1q12)
S12S6=S12-1=1q6-1=1+q6-1=1;S6S6a1(1q6)161q
∴12S3,S6,S12-S6成等比数列.
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