第17讲力矩转动平衡问题.docx
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第17讲力矩转动平衡问题
第17讲力矩转动平衡问题
1.力臂:
从转轴到力的作用线的F垂直距离.
2.力矩:
力F与力臂上的乘积.即M=FL,力矩的单位是N·m
3.作用:
反映力对物体的转动效果,是使物体的转动状态发生改变的原因.
4.力矩的平衡:
有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩和等于零.即∑M=0或∑M逆=∑M顺。
5.力矩的计算方法
力对某转动轴的力矩,顺时针方向,规定为负力矩;逆时针方向,规定为正力矩.当力与转轴平行时,力对该轴没有力矩,当力与转动轴成任意角度时,力对这一转动轴的力矩,可将力分解为与轴平行和垂直的两个分力,垂直于轴的分力对轴的力矩也就是该力的力矩.
6.有固定转动轴物体受力分析的要点:
首先认准转动轴,只分析作用线不通过转动轴的力,因作用线过转动轴的力的力矩为零,对物体的转动不产生影响.作受力分析图时,力的作用点、作用线不能随意移动,这与用共点力的平衡研究问题时的受力分析图有一定区别,共点力平衡问题讨论的是物体的平动问题,可以把物体视为质点看待,画受力图强调的是方向问题,作用力的作用点,作用线不作要求.力矩的平衡问题讨论的是转动问题,物体不可以视为质点,则力的作用点,作用线要求准确,不能在物体上随意移动.
7.一般物体的平衡
对一般物体来说,其平衡条件必是满足∑F=0,对任意轴的力矩有∑M=0.
8.利用力矩平衡条件解题的一般程序是:
(1)确定研究对象,即明确要研究哪一个物体的转动趋势.
(2)确定转动轴.转动平衡物体的转轴理论可任意选择,选轴的一般原则:
使未知力尽可能多地通过轴,以减少方程数.(3)对研究对象进行受力分析,并作出受力示意图.(4)根据受力分析,确定每一个力对转动轴的力臂.(5)计算每一个力对转动轴的力矩,并确定各个力矩的正、负号.(6)根据力矩平衡列方程.必要时要根据题给条件列出辅助方程.(7)求解方程,并对所求结果进行必要的讨论,
(一)力矩概念的考查
1..如图所示,直杆OA可绕O点转动,图中虚线与杆平行,杆端A承受两个力F1、F2的作用,力的作用线跟OA杆在同一竖直面内,它们对转轴O的力距分别是M1、M2,则力矩间的大小关系是().
A.M1>M2B.M1=M2
C.M1 2.如图所示直杆OA可绕O点转动,图中虚线与杆平行,杆端A点受四个力F1、F2、F3、F4的作用,图中力矢量的长短表示力的大小,力的作用线跟OA杆在同一平面内,它们对转轴O的力矩分别为M1、M2、M3.M4,则力矩间的大小关系为() A.M1=M2=M3=M4B.M2>M1=M3>M4 C.M1>M2>M3>M4;D.M2>M1>M4>M3 3.质量分布均匀,边长为a的正方体,重力为G.在与水平成α=450角的力F作用下将绕边棱M翻转,此时正方体共受4个力作用,如图1—117所示,请说明各个力的力矩大小. 4.如图所示,重为G的均匀立方体A端支在竖直墙的凸处,C端被一轻绳固定,绳的另一端固定在竖直墙上。 已知绳子与BC边(水平)成α角,求绳上张力。 5.如图所示,把长为0.1m的直棒的O端用铰链连在天花板上,在另一端施加10N的水平拉力F,使棒偏离竖直方向θ=600而保持静止,求力F的力矩. (二)力矩平衡条件的考查 1.如图所示,质量为m的匀质木杆,上端可绕固定轴O自由转动,下端搁在木板上,木板置于光滑的水平地面上,静止时杆与竖直方向的夹角为450,杆与木板间的动摩擦因数μ=0.5.今用水平力F匀速拉动木板,则 A.向右匀速拉动木板时,F=mg/6 B.向右匀速拉动木板时,F=mg/4 C.向左匀速拉动木板时,F=mg/2 D.向左匀速拉动木板时,F=mg/8 2.如图所示是一种手控制动器,a是一个转动着的轮子,b是摩擦制动片,c是杠杆,O是固定转动轴,手在A点施加一个作用力F时,b将压紧轮子,使轮子制动,若使轮子制动所需的力矩是一定的,则下列说法正确的是 A.轮a逆时针转动时,所需的力F较小 B.轮a顺时针转动,所需的力F较小 C.无论a逆逆时针转动还是顺时针转动,所需的力F相同 D.无法比较F的大小 3.如图所示,质量为ml的光滑球,置于竖直墙和倾斜木板ab之间,木板的质量不计,a端固定在墙壁的转轴上,b端受一竖直向上的力F作用,今保持F的方向不变,而让b端缓慢下降至木板水平,在这一过程中,下列说法正确的是 A.F变大,其力矩不变B.F变大,其力矩也变大 C.F不变,其力矩也不变D.F变小,其力矩也变小 4.如图所示,BO是一根质量均匀的横梁,重量G1=80N,BO的一端安在O点,可绕通过B点且垂直于纸面的轴转动,另一端用钢绳AO拉着。 横梁保持水平,与钢绳的夹角θ=300。 在横梁的O点挂一个重物,重量G2=240N。 钢绳对横梁的拉力Fl=___________ 5.一个质量为m、半径为R的金属球上固定一根长为L的轻质细杆,细杆的左端用铰链与墙连接,球下边垫有一块木板,木板放在光滑的水平地面上,此时细杆恰好水平。 如图所示,球与木板之间的动摩擦因数为μ,现将木板向右匀速拉出,则作用在木板上的水平拉力F=_____________ 6.如图所示,质量不计的杆O1B和O2A,长度均为l,O1和O2为光滑固定转轴,A处有一凸起物搁在O1B的中点,B处用绳系在O2A的中点,此时两短杆便组合成一根长杆,今在O1B杆有C点(C为AB的中点)悬挂一重为C的物体.则A处受到的支承力大小为_______,B处绳的拉力大小为_________ 7.如图所示,重30N的物体放在倾角为30o的光滑斜面上.一根重24N的均匀直棒AB水平放置,A端用光滑铰链固定于竖直墙上,B端搁在物体上,若用平行斜面上的推力F=20N推物体,使物体匀速向上运动,求棒与物体之间的动摩擦因数. 8.如图所示,将重为mg的均匀木杆AB,一端用光滑铰链固定于墙上,另一端搁在一个表面光滑、半径为R、重Mg的半圆柱形物体上,此时杆AB处于水平,杆AB与地面的高度为h=h/2,且都静止不动,则地面对半圆柱体的静摩擦力大小为多少? 9.图中是用电动砂轮打磨工件的装置,砂轮的转轴过图中O点垂直于纸面,AB是一长度l=0.60m,质量m1=0.50kg的均匀刚性细杆,可绕过A端的固定轴在竖直面(图中纸面)内无摩擦地转动.工件C固定在AB杆上,其质量m2=1.5kg,工件的重心、工件与砂轮的接触点P以及O点都在过AB中点的竖直线上.P到AB杆的垂直距离d=0.10m.AB杆始终处于水平位置.砂轮与工件之间的动摩擦因数μ=0.60. (1)当砂轮静止时,要使工件对砂轮的压力F0=100N,则施于B端竖直向下的力FB应是多大? (2)当砂轮逆时针转动时,要使工件对砂轮的压力仍为F0=100N,则施于B端竖直向下的力FB'应是多大? (三)力矩平衡中极值问题和临界问题 1.如图所示,A、B是两块相同的均匀长方形砖块,长为l,叠放在一起,A砖相对B砖右端伸出l/4的长度,B砖放在水平桌面上,砖的端面与桌边平行,为保持两砖都不翻倒,B砖伸出桌边的长度x的最大值是() A.l/8B.l/4C.3l/8D.l/2 2.如图所示,一个质量m=50kg的均匀圆柱体放在台阶旁边,圆柱体的半径为R,台阶高h是R的一半,圆柱体与台阶接触处摩擦力足够大,现在图中A点施加一力使圆柱体滚上台阶,则施加的力最小值为____________________N. 3.如图所示,质量为m的运动员站在质量为m的均匀长板AB的中点,板位于水平地面上,可绕通过A点的水平轴无摩擦转动,板的B端系有轻绳,轻绳的另一端绕过两个定滑轮后,握在运动员的手中,当运动员用力拉绳子时,滑轮的两侧的绳子都保持在竖直方向上,则要使板的B端离开地面,运动员作用于绳的最小拉力是__________________ 4.如图所示,“L”形支架可绕固定轴C转动,AC=2 R,BC=2R,其中R为球O的半径,悬绳长也为R,球重100N;为使支架BC保持水平,需在BC段施一作用力F,试求力F的最小值: 5.如图所示,某杆A一端与固定顶部铰链连接,另一端放在物块B上,现给B施一水平力F欲使之向左运动,杆与竖直方向夹角满足何种条件才可行? (杆与物块间动摩擦因数为μ). 6.如图所示,放在水平面上半径为r的光滑圆柱体轴水平固定,将一根长为L、重为G的均匀杆AB垂直于圆柱体的轴线斜靠在圆柱体上.如果杆与水平面的夹角为θ时,AB刚好不发生滑动,则这时地面对杆的摩擦力是多大? 7.两根均匀的直短棒AB、CD都可绕其固定光滑转轴在竖直平面内转动,AB棒放在CD棒的上面且两棒互成直角,如图所示.AB棒与地面成θ角,AB棒质量为M,CD棒质量为m,如果两棒均处于平衡,则两棒间动摩擦因数至少应为多少? 8.如图是一台起重机的示意图,机身和平衡体的重量G1=4.2×105N,起重臂的重量G2=2.0×104N。 其他数量如图中所示。 起重机最多能提起多重的货物? 9.质量m=2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB,的A端,导轨及支架ABCD形状及尺寸如图它只能绕通过支架D点的垂直于纸面的水平轴转动,其重心在图中的O点,质量M=4.0kg,现用一细绳沿导轨拉铁块,拉力F=12N,铁块和导轨之间的动摩擦因数μ=0.5,重力加速度g=10m/s2.从铁块运动时起,导轨(及支架)能保持静止的最长时间是多少? 10.如图所示,光滑斜面的底端a与一块质量均匀、水平放置的平板光滑相接,平板长为2L,L=1m,其中心C固定在高为R的竖直支架上,R=1m,支架的下端与垂直于纸面的固定转轴O连接,因此平板可绕转轴O沿顺时针方向翻转.问: (1)在斜面上离平板高度为ho处放置一滑块A;使其由静止滑下,滑块与平板间的动摩擦因数μ=0.2,为使平板不翻转,ho最大为多少? (2)如果斜面上的滑块离平板的高度为h1=0.45m,并在h1处先后由静止释放两块质量相同的滑块A、B,时间间隔为△t=0.2s,则B滑块滑上平板后多少时间平板恰好翻转.(重力加速度g取10m/s2) 11.有三个质量相等、半径均为r的圆柱体,置于一块圆弧曲面上,为了使下面两个圆柱体不分开,则圆弧曲面的半径R最大是多少? 整个装置如图所示,所有摩擦均不计。 12.两个半径为r、重为G的相同的光滑球放在圆柱形筒内,圆筒半径为R,且R<2r,若圆柱形筒无底,筒重为何值时,筒才不会翻倒? (四)天平和杆秤问题 1.如图所示杆秤,O点处为提纽,B点处为秤钩,秤钩和秤杆的重力为G0,C点处为其重心,秤砣重力为Gl.当秤钩上不挂重物时,秤砣放在A点处,杆秤水平平衡.A点是刻度的起点,称为定盘星.试分析杆秤的工作原理. 2.有一没有游码的托盘天平,其最小砝码质量为100mg.用该天平称量某物体,当右盘中加36.20g砝码时,天平指针向左偏1.0格,如图中实线所示.若在右盘中再加100mg的砝码,天平指针则向右偏1.5格,如图中虚线所示.试求待测物的质量. 3.如图所示杆秤有甲、乙两个提纽.;使用甲提纽时最大称量为5kg.已知秤杆与秤砣的质量为1kg,OA=6cm,OB=4cm,问改用乙提纽时最大称量为多大? 4.天平的横梁(连同指针)是一个有固定转动轴的物体,转动轴过中央刀口O且与纸面垂直。 横梁的自重为G,重心C在指针上离转动轴O为h的地方,天平两个盘中物体的质量相等时,作用在横梁两端的力F相等,横梁平衡,指针指在标尺的中央,即指针停在竖直方向。 天平两盘中物体的质量稍有不等时,横梁就要倾斜,指针随着就要偏移到较轻的一方,自重G对转动轴O的力矩将阻止横梁的倾斜,最后横梁在某一倾斜的位置上达到平衡。 设指针与竖直方向成θ角时横梁平衡,可以证明: tgθ=L(F1—F2)/Gh=gL(m1—m2)/Gh 试应用有固定转动轴物体的平衡条件证明上式 5.有人设计了一种新型伸缩拉杆秤,结构如图,秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩,秤杆外面套有内外两个套筒,套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在位置(设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置),秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。 空载(挂钩上不挂物体,且套筒未拉出)时,用手提起秤纽,杆秤恰好平衡.当物体挂在挂钩上时,往外移动内外套筒可使杆秤平衡,从内外套筒左端的位置可以读得两个读数,将这两个读数相加,即可得到待测物体的质量.已知秤杆和两个套筒的长度均为16cm,套筒可移出的最大距离为15cm,秤纽到挂钩的距离为2cm,两个套筒的质量均为0.lkg.取重力加速度g=l0m/s2.求: (1)当杆秤空载平衡时,秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩; (2)当在秤钩上挂一物体时,将内套筒向右移动5cm,外套筒相对内套筒向右移动8cm,杆秤达到平衡,物体的质量多大? (3)若外层套筒不慎丢失,在称某一物体时,内层套筒的左端在读数为l千克处杆秤恰好平衡,则该物体实际质量多大? (五)用力矩平衡条件求解共点力的平衡问题(含虚拟刚体法的应用) 对于转动平衡的问题中,如果研究所受的力为共点力,我们可以将转动问题转化为共点力平衡问题,用共点力平衡的方法求解.利用力矩平衡条件求共点力平衡时,应注意巧选转动轴,具体是: ①尽可能使较多的力通过转动轴;②使较难分析求解的力通过转动轴;③同一直线上等大反向的两个力对任何转动轴的合力矩为零,故列力矩平衡关系时可以不考虑这样的个力. 1.如下图所示,粗细均匀的木棒斜浮于水中,一端悬挂重为G而体积可以不计的小铁球,另一端露出水面,其长度为棒长的1/n.求木棒的质量是多少? 2.如图所示,在竖直固定的光滑圆环上,套着质量为M和m的小球A和B,并用细线连接在一起.当两球平衡时,细线对圆心(O)的张角为α,求细线与竖直方向的夹角θ是多大? 3.如图所示,质量为 kg的A球和质量为3kg的B球,被轻质细线连接后,挂在光滑的圆柱面上恰好处于静状态,已知∠AOB=90o,求OB与竖直方向的夹角. 4.如图所示,A球和B球用轻绳连接并静止在光滑圆柱面上。 若A球的质量为m,则B球的质量为()。 A.3m/4B.2m/3C.3m/5D.m/2 5.如图所示,两个质量分别为m1、m2,带电量分别为q1、q2的金属小球,用两根等长的绝缘轻绳悬挂于同一点O。 平衡时,轻绳与竖直方向夹角分别为α、β,则()。 A. B. C. D. 6.如图所示,两个质量分别为ml、m2,带电量分别为ql、q2的金属小球,用两根绝缘轻绳悬挂于同一点O。 平衡时,两球恰好位于同一水平面上。 轻绳与竖直方向夹角分别为α、β则()。 A. B. C. D. 7.如图所示,甲、乙两个带同种电荷的小球套在固定的光滑绝缘圆弧上,均处于平衡状态,甲离最低点较近,乙较远.下列说法中正确的是()。 (A)甲球带电量一定大于乙球带电量 (B)甲球带电量一定小于乙球带电量 (C)甲球质量一定大于乙球质量 (D)甲球质量一定小于乙球质量 7.如图所示,两根粗细均匀的棒AB、BC用光滑铰链结于B点,它们的另外两端分别铰链于两墙上,BC呈水平状态,a、b、c、d、e、f等箭头表示力的方向,则BC棒对AB棒的作用力的方向可能是__________________. 8.两根质量均为m的杆AB和CD甩无摩擦铰链连接,如图所示,已知AB杆与竖直方向成45o角,CD杆与AB杆成90o角,两杆长度相等。 为使系统平衡,施加在D点的外力F应为多大? 方向如何? 9.在半径为R、内壁光滑的球形容器中,放置两个半径均为r=R/3、重分别为Gl、G2的小球A和B,如图所示,求球体处于平衡状态时OA与竖直线夹角α的大小. 10.如图所示,用细绳将一光滑球沿一光滑斜面匀速向上拉,分析绳子拉力F的变化情况. 11.如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的.一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为m1和m2的小球,当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60o.两小球的质量比m2/m1为() A. /3B. /3C. D.
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- 17 力矩 转动 平衡 问题