最全线性规划题型总结.docx
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最全线性规划题型总结
线性规划题型总结
1.“截距”型考题
在线性约束条件下,求形如z=ax•by(a,b・R)的线性目标函数的最值问题,通常转化为求直线在y轴上的截距的取值.结合图形易知,目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得
掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差
最大值为()
A—B1C-D3
答案:
D
目标函数z=x+y结果可行域的A点时,目标函数取得最大值,
由{厂;可得A(0,3),目标函数z=x+y的最大值为:
3.
2.(2017?
新课标川)若x,y满足约束条件x4y-2<0,[y>0
则z=3x-4y的最小值为
:
1
X..
乂
答案:
-1.
解:
由z=3x-4y,得y=:
x-丰,作出不等式对应的可
行域(阴影部分),
平移直线y=^x-手,由平移可知当直线y^x-手,
4444
经过点b(1,1)时,直线y=^x-号的截距最大,此
时z取得最小值,
将B的坐标代入z=3x-4y=3-4=-1,即目标函数z=3x-4y的最小值为-1.
3.(2017?
浙江)若x、y满足约束条件x+y-3>0,则z=x+2y的取值范围是(
A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+x)D.[4,+^
答案:
D.
解:
x、y满足约束条件《,表示的可行域如图:
目标函数z=x+2y经过C点时,函数取得最小值,
:
打解得C(2,1),
目标函数的最小值为:
4
1
7
目标函数的范围是[4,+x
4.(2016?
河南二模)已知x,y€R,且满足
A.10B.8C.6D.3
答案:
C.
解:
作出不等式组
由z=|x+2y|,
平移直线y=-十,
1
x-
2
由图象可知当直线y=-
,则z=|x+2y|的最大值为(
,对应的平面区域如图:
(阴影部分)
许经过点A时,
值,
此时z最大.
即A(-2,-2),
代入目标函数z=|x+2y|得z=2X2+2=6。
5.(2016?
湖南模拟)设变量x、y满足约束
条件
,则z=32x-y的最大值为(
A.
答案:
D.
解:
约束条件对应的平面区域如图:
令2x-y=t,变形得y=2x-t,根据t的几何意义,由约束条件知t过A时在y轴的截距最
C.3D.9
345
z取得最大
八y5八
A-3
-4
产河得到交点A
(丄,丄)
所以t最小为
1x1-
11
[x+2y=l
33
3
33
大,使t最小,由
;过C时直线
t最大,由
解得C(1,0),所以
y=2x-t在y轴截距最小,
0=2,所以疋占2],
2.“距离”型考题
在线性约束条件下,求形如求点(a,b)到阴影部分的某个点的距离的平方
2
z=(x-a)+(y-b)
6.(2016?
山东)若变量x,y满足
t的最大值为2X1-
2的线性目标函数的最值问题,通常转化为的取值•
*-3y^9
,则x2+y2的最大值是(
A.4B.
答案:
C.
9C.10D.12
解:
由约束条件
作出可行域如图,
•••A(0,-3),C(0,2),•••|OA|>|OC|,
\+y=2
-3尸9
•••1计二(E(-1)巧2
•x?
+y2的最大值是10.
联立,
,解得B(3,-1).
=10,
7.(2016?
垂足称为点
[雄-2<0
s-3y+a>0
影构成的线段记为AB贝则]AB|=()
A.2.二B.4C.3匚D.6
答案:
C
解:
作出不等式组对应的平面区域如图:
部分),
浙江)在平面上,过点P作直线IP在直线I上的投影,由区域
中的点在直线x+y-2=0上的投
区域内的点在直线x+y-2=0上的投影构成线段
Q,即SAB而RQ'=RQ
u-3艸4二0
i=2
x+y=0
,即Q(-1,1),
(阴影
y=l
k=2
y=~2
则|AB|=|QR|=-1-2'亠1-2」=.心3一■:
,即R(2,-2),
&(2016?
安徽模拟)
如果实数x,y满足
2k-y>0
,则z=x2+y2-2x的最小值是()
A.3
B.
C.
4D.-
2
答案:
解:
由
设m=(x-1)2+y2,
则m的几何意义是区域内的点到点D(1,离的平方,
作出不等式组对应的平面区域如图:
由图象知D到AC的距离为最小值,
I1W-4I3
B.
22
z=x+y-2x=
22
/、22
(X-1)+y-1,
此时d=
贝Um=d=(―^=)2
V2
」-仁一
-二
贝Vz=m—1
3.“斜率”型考题
z=土边的线性目标函数的最值问题,通常转化为求过点(a,
x—a
阴影部分的某个点的直线斜率的取值•
在线性约束条件下,求形如
b)
9.
(2016?
唐山一模)若x,y满足不等式组
y-2>0x-y+l>0x-by-5<0
A.
B.1C.2D.3
2
答案:
C
解:
由题意作平面区域如下,
—的几何意义是阴影内的点(x,y)与原点的连
线的斜率,结合图象可知,
过点A(1,2)时有最大值,此时
-==2,
X1-0
10.(2016?
莱芜一模)已知x,y满足约束条件
y
,则工的最大值是(
,则
z=
的范围是(
A[
2]
B.B[-
--
1-2
---,応
二
:
:
答案:
C
解:
画出满足条件的平面区域,如图示:
-B
-4
-5
由一
[葢+刘-5二0
k-y-2=0
x+2y~5=0
345
1
-54-3-2-1
,解得A(1,2),
,解得B(3,1),
而2=丄
x+1
显然直线AC斜率最大,直线BC斜率最小,
—,
的几何意义表示过平面区域内的点与(-1,-1)的直线的斜率,
Kbc=-
1+11
3+12
11.(2016?
衡阳二模)已知变量x,y满足
k-2y1-4>0
x+y-2>0
则
s+y+3
的取值范围是()
A.[2,卡]B.答案:
G,左]
T--c-
x-2y+4>0
s+y-2>0
齢仍■3_好2+04_1+铲4汁戈x+2h十2
表示可行域内的点与A(-2,-1)连线的斜率与
1的和,
由图象可知当直线经过点B(2,0)时,目标函数
0+1=耳;
当直线经过点C(0,2)时,目标函数取最大值1+
2+15
解:
作出满足
变形目标函数可得
取最小值1+
0+22
所对应的区域(如图阴影)
x-2v~4=0
Z1
4.“平面区域的面积”型考题
12.设平面点集A={(x,y)|(
y—x)(y
22
1)>0},B={(X,y)|(x—1)+(y—1)<1},则
X
AnB所表示的平面图形的面积为
A.3nB.3nC
nn
45
“过定点的直线
,再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案
答案:
D
1QyX>0
解:
不等式(y—x)(y——)>0可化为--,或
x,1C
Xy0
LxL
22
B表示圆(x—1)+(y—1)=1上以及圆内部的点所构成的集合,An
B所表示的平面区域如图阴影部所示.由线,圆(x—1)2+(y
x
—1)2=1均关于直线y=x对称,所以阴影部分占圆面积的一半,故选
5.“求约束条件中的参数”型考题
规律方法:
当参数在线性规划问题的约束条件中时,作可行域,要注意应用系”知识,使直线“初步稳定”
r2A-y-2<0
tk-2y+2>0
計y-2>0
直线m(x+1)-y=0,可化为y=m(x+1),过定点D(-1,0),斜率为m
6.“求目标函数中的参数”型考题
“点到直线
规律方法:
目标函数中含有参数时,要根据问题的意义,转化成“直线的斜率”的距离”等模型进行讨论与研究•
15.(2015?
山东)已知x,y满足约束条件
,若z=ax+y的最大值为
4,贝Ua=
)
B.2C.-2D.-3
(
A.3
答案:
B
解:
作出不等式组对应的平面区域如图:
则A(2,0),B(1,1),
(阴影部分)•
y=-2x+z,
z最大为4,满足条件,
目标函数为z=3x+y,
若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,目标函数为z=2x+y,即平移直线y=-2x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时
若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+仁4,解得a=3,此时,
即y=-3x+z,
平移直线y=-3x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时
故a=2
z最大为6,不满足条件,
16.(2016?
扶沟县一模)设x,y满足约束条件
2xy^l,若目标函数z=ax+by(a>0,
b>0)
的最小值为2,贝Uab的最大值为(
A.1
C.
答案:
s>2
2x-y^l
t目标函数z=ax+by(a>0,b>0)故ZA=2a+2b,ZB=2a+3b,
由目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最小值为2,则2a+2b=2,即a+b=1
解:
满足约束条件
的可行域如下图所示:
5
3
2
12
45
则abw
2=1
4
故ab的最大值为M
7.其它型考题
17.(2016?
四川)设p:
实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2w2,q:
实数x,y满足'Ax-I,则p是q的()
d—X
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:
A
解:
(x-1)+(y-1)w2表示以(1,1)为圆心,以y于为半径的圆内区域(包括边界);
卩>覽■1
满足y^l-k的可行域如图有阴影部分所示,
故p是q的必要不充分条件
18.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材
料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用
3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现
有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利
润之和的最大值为216000元.
解:
(1)设甲、乙两种产品每件分别是x件和y件,获利为z元.
P料
A
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
19.(2016?
天津)某化工厂生产甲、乙两种混合肥料,需要
A,B,C三种主要原料,生产
1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示:
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车品乙种肥料,产生的利润为3万元、分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问分别生产甲、乙两种肥料,求出此最大利润.
r4x+Ey<200
解:
(1)x,y满足的条件关系式为:
*3沉+10/<30。
.
ty>0
作出平面区域如图所示:
>>
(2)设利润为z万元,则z=2x+3y.、
…y=-
大,即z最大.
解方程组f4x+5y=2°°得B(20,24).|3x+10y=300
•••z的最大值为2X20+3X24=112.
答:
当生产甲种肥料20吨,乙种肥料24吨时,利润最大,最大利润为112万元.
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