寒假半角模型讲课教案.docx
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寒假半角模型讲课教案
2018寒假半角模型
半角模型
过等腰△ABC(AB=AC)顶角A引两条射线且它们的夹角为
∠A,这两条射线与底角顶点的相关直线交于M、N两点,则BM、MN、NC之间必然存在固定的关系,这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关
解决办法:
以A为中心,把△CAN(顺时针或逆时针)旋转α度,至△ABN’,连接MN‘
结论:
1、△AMN≌△AMN’,MN=MN‘
2、若BM、MN’、N‘B共线,则存在x+y+z型的关系
若不共线,则△BMN’中,∠MBN‘必与∠A相关
应用环境:
1、顶角为特殊角的等腰三角形,如顶角为30°、45°、60°、75°90°,或它们的补角为这些特殊角度的时候;
2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形
3、过底角顶点的两条相关直线:
底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的邻补角的两条角平分线,底角的邻余角另外两边等;正方形或菱形的另外两边
4、此等腰三角形的相关弦
半角模型
条件:
思路:
(1)、延长其中一个补角的线段
(延长CD到E,使ED=BM,连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AF)
结论:
①MN=BM+DN②
③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM
(2)对称(翻折)
思路:
分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折,但一定要证明M、P、N三点共线.(∠B+∠D=
且AB=AD)
例题应用:
例1、在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN=BM+DN,求证:
①.∠MAN=
②.
③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.
思路同上略.
例2拓展:
在正方形ABCD中,已知∠MAN=
,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动,
①.试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.
②.求证:
AB=AH.
(提示)
例3.在四边形ABCD中,∠B+∠D=
,AB=AD,若E、F分别在边BC、CD上,且满足EF=BE+DF.求证:
(提示)
例4,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=120°,若BD=5,CE=8,求DE。
例五.请阅读下列材料:
已知:
如图1在
中,
,
,点
、
分别为线段
上两动点,若
.探究线段
、
、
三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:
把
绕点
顺时针旋转
,得到
,连结
,
使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想
、
、
三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
(2)当动点
在线段
上,动点
运动在线段
延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明.
例6探究:
(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果:
;
(2)如图2,若把
(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD”,则
(1)问中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;
(3)在
(2)问中,若将△AE
F绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时,
如图3所示,其它条件不变,则
(1)问中的结论是否发生变化?
若变化,请给出结论并予以证明..
练习巩固1:
如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=
,AB=AD,若E、F分别在边BC、CD上的点,且
.求证:
EF=BE+DF.
(提示)
练习巩固2,已知:
正方形
中,
,绕点
顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.
(1)如图1,当
绕点
旋转到
时,有
.当
绕点
旋转到
时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?
如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;
(2)当
绕点
旋转到如图3的位置时,线段
和
之间有怎样的等量关系?
请写出你的猜想,并证明.
练习巩固3
(1)如图,在四边形
中,
,
分别是边
上的点,且
.求证:
;
(2)如图在四边形
中,
,
分别是边
上的点,且
,
(1)中的结论是否仍然成立?
不用证明.
(3)如图,在四边形
中,
,
,
分别是边
延长线上的点,且
,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
(4)如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
①△AEM的周长= 6 cm;
②求证:
EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?
请说明理由.
(5).如图17,正方形ABCD,E、F分别为BC、CD边上一点.
(1)若∠EAF=45º.求证:
EF=BE+DF.
(2)若⊿AEF绕A点旋转,保持∠EAF=45º,问⊿CEF的周长是否随⊿AEF位置的变化而变化?
(3)已知正方形ABCD的边长为1,如果⊿CEF的周长为2.求∠EAF的度数.
练习巩固4.如图,五边形ABCDE中,AB=BC=CD=DE=EA,
,求∠BAE
练习巩固5.如图,已知在正方形ABCD中,
=45°,连接BD与AM,AN分别交于E、F两点。
求证:
(1)MN=MB+DN;
(2)点A到MN的距离等于正方形的边长;
(3)
的周长等于正方形ABCD边长的2倍;
(4)
;
(5)若
=20°,求
;
(6)若
,求
;
(7)
;
(8)
与
是等腰三角形;
(9)
。
练习巩固6.在等边
的两边
,
所在直线上分别有两点
为
外一点,且
,
,
,探究:
当点
分别爱直线
上移动时,
之间的数量关系及
的周长
与等边
的周长
的关系.
(1)如图①,当点
在边
上,且
时,
之间的数量关系式_________;此时
__________
(2)如图②,当点
在边
上,且
时,猜想
(1)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(3)如图③,当点
分别在边
的延长线上时,若
,则
_________(用
表示)
练习巩固7.如图所示,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角为120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的∠MDN,点M,N分别在AB,AC上,求△AMN的周长
练习巩固8.如图,在正方形ABCD中,BE=3,EF=5,DF=4,求∠BAE+∠DCF为多少度。
巩固练习9、(三新练习册P131)如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°.△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K.
(1)①如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CK_______MK(填“>”,“<”或“=”).
②如图4,当∠CDF=30°时,AM+CK___MK(只填“>”或“<”).
(2)猜想:
如图1,当0°<∠CDF<60°时,AM+CK_______MK,证明你所得到的结论.
(3)如果
,请直接写出∠CDF的度数和
的值.
**必会结论--------图形研究正方形半角模型
【例】已知:
正方形
,
、
分别在边
、
上,且
,
、
分别交
于
、
,连
.
一、全等关系
(1)求证:
①
;②
;③
平分
,
平分
.
二、相似关系
(2)求证:
①
;②
;③
.
(3)求证:
④
;⑤
;⑥
.
三、垂直关系
(4)求证:
①
;②
;③
.
(5)、和差关系
求证:
①
;②
;
③
.
中考链接----正方形二相关题型--半角模型
1,(2016石景山28).在正方形ABCD中,E为边CD上一点,连接BE.
(1)请你在图-1画出△BEM,使得△BEM与△BEC关于直线BE对称;
(2)若边AD上存在一点F,使得AF+CE=EF,请你在图2中探究∠ABF与
∠CBE的数量关系并证明;
(3)在
(2)的条件下,若点E为边CD的三等分点,且CE cos∠FED的思路.(可以不写出计算结果). 图1图2备用图 答案 石景山28. (1)补全图形,如图1所示. …………………………………1分 (2) 与 的数量关系: .………2分 证明: 连接 , ,延长 到 ,使得 ,连接 …3分 ∵四边形 为正方形, ∴ , . ∴△ ≌△ . ∴ , . ∵ , ∴ .……………………4分 ∴△ ≌△ . ∴∠ =∠ . ∴ .………………5分 (3)求解思路如下: a.设正方形的边长为 , 为 ,则 , ; b.在Rt△ 中,由 可得 从而得到 与 的关系 ; c.根据cos∠FED ,可求得结果.………7分 2,(2016门头沟28).在正方形ABCD中,连接BD. (1)如图1,AE⊥BD于E.直接写出∠BAE的度数. (2)如图1,在 (1)的条件下,将△AEB以A旋转中心,沿逆时针方向旋转30°后得到△AB'E',AB'与BD交于M,AE'的延长线与BD交于N. ①依题意补全图1; ②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系,并证明. (3)如图2,E、F是边BC、CD上的点,△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,AE、AF分别与BD交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完整推理过程) 门头沟28.(本小题满分7分) 解: (1)∠BAE=45°.…………………………………………………………………1分 (2)①依题意补全图形(如图1);………………………………………2分 ②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+ND2=MN2.………………3分 证明: 如图1,将△AND绕点A顺时针旋转90°,得△AFB. ∴∠ADB=∠FBA,∠1=∠3,DN=BF,AF=AN. ∵正方形ABCD,AE⊥BD, ∴∠ADB=∠ABD=45°. ∴∠FBM=∠FBA+∠ABD =∠ADB+∠ABD=90°. ∴由勾股定理得FB2+BM2=FM2. ∵旋转△ABE得到△AB'E', 图1 ∴∠E'AB'=45°, ∴∠2+∠3=90°-45°=45°, 又∵∠1=∠3, ∴∠2+∠1=45°. 即∠FAM=45°. ∴∠FAM=∠E'AB'=45°. 又∵AM=AM,AF=AN, 图2 ∴△AFM≌△ANM. ∴FM=MN. 又∵FB2+BM2=FM2, ∴DN2+BM2=MN2.………………………………………………5分 (3)判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路如下: a.如图2,将△ADF绕点A瞬时针旋转90°得△ABG,推出DF=GB; b.由△CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半,得EF=DF+BE
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