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弯曲应力计算1
第7章弯曲应力
引言
前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。
但是,要解决梁的弯曲强度问题,只了解梁的内力是不够的,还必须研究梁的弯曲应力,应该知道梁在弯曲时,横截面上有什么应力,如何计算各点的应力。
在一般情况下,横截面上有两种内力一一剪力和弯矩。
由于剪力是横截面上切向
内力系的合力,所以它必然与切应力有关;而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩,
所以它必然与正应力有关。
由此可见,梁横截面上有剪力Fq时,就必然有切应力T;
有弯矩M时,就必然有正应力。
为了解决梁的强度问题,本章将分别研究正应力与
切应力的计算。
弯曲正应力
纯弯曲梁的正应力
由前节知道,正应力只与横截面上的弯矩有关,而与剪力无关。
因此,以横截面上只有弯矩,而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。
„3)
(b)卜一*
一
Ik©
在梁的各横截面上只有弯矩,而剪力为零的弯曲,称为纯弯曲。
如果在梁的各横截面上,同时存在着剪力和弯矩两种内力,这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。
例如在图7-1所示的简支梁中,BC段为纯弯曲,AB段和CD段为横力弯曲。
图7-1
分析纯弯曲梁横截面上正应力的方法、步骤与分析圆轴扭转时横截面上切应力一样,需要综合考虑问题的变形方面、物理方面和静力学方面。
变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变,首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。
为此,取一根具有纵向对称面的等直梁,例如图7-2(a)所示的矩形截
面梁,并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、
b-b。
然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶Me,使梁产生纯弯曲。
此时
可以观察到如下的变形现象。
纵向线弯曲后变成了弧线a'a'、b'b',靠顶面的aa线缩短了,靠底面的bb线伸长了。
横向线m-m、n-n在梁变形后仍为直线,但相对转过了一定的角度,且仍与弯曲了的纵向线保持正交,如图7-2(b)所示。
梁内部的变形情况无法直接观察,但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设:
(1)平面假设梁所有的横截面变形后仍为平面.且仍垂直于变形后的梁的轴线。
(2)单向受力假设认为梁由许许多多根纵向纤维组成,各纤维之间没有相互挤压,
每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。
根据平面假设,前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。
即梁在纯弯曲变形时,横截面保持平面并作相对转动,靠近上面部分的纵向纤维缩短,靠近下面部分的纵向纤维伸长。
由于变形的连续性,中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,这层纤维称为中性层(图7-3)。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
由于外力偶
作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面,在横截面上就是对称于对称轴。
所以中性轴必然垂直于对称轴,但具体在哪个位置上,目前还不能确定。
考察纯弯曲梁某一微段dx的变形(图7-4)。
设弯曲变形以后,微段左右两横截面
的相对转角为d,则距中性层为y处的任一层纵向纤维bb变形后的弧长为式中,p为中性层的曲率半径。
该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维00长度
相等,又因为变形前、后中性层内纤维00的长度不变,故有
由此得距中性层为y处的任一层纵向纤维的线应变
b'b'bb(py)d0p0y
£(a)
bbpd0p
上式表明,线应变£随y按线性规律变化。
物理方面根据单向受力假设,且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E相等,则由
虎
克定律,得
y
(TEeE(b)
p
式(b)表明,纯弯曲时的正应力按线性规律变化,横截面上中性轴处,y=0,因而
=0,中性轴两侧,一侧受拉应力,另一侧受压应力,与中性轴距离相等各点的正应力数值相等(图7-5)。
静力学方面虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律,但因曲率半径和
中性轴的位置尚未确定,所以不能用式(b)计算正应力,还必须由静力学关系来解决。
在图7-5中,取中性轴为z轴,过z、y轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x
轴,作用于微面积dA上的法向微内力为dA。
在整个横截面上,各微面积上的微内
Mz0三个平衡方程。
将式(b)代人式(d),得
上式中,由于y轴为对称轴,故lyz0,平衡方程Mz0自然满足。
(e)
MyddA
A
将式(b)代人式(e),得
式中,1p为中性层的曲率,Elz为抗弯刚度,弯矩相同时,梁的抗弯刚度愈大,梁的
曲率越小。
最后,将式(7-1)代入式(b),导出横截面上的弯曲正应力公式为
式中,M为横截面上的弯矩,Iz为横截面对中性轴的惯性矩,y为横截面上待求应力的y坐标。
应用此公式时,也可将M、y均代入绝对值,是拉应力还是压应力可根
据梁的变形情况直接判断。
以中性轴为界,梁的凸出一侧为拉应力,凹入一侧为压应力。
以上分析中,虽然把梁的横截面画成矩形,但在导出公式的过程中,并没有使用矩形的几何性质。
所以,只要梁横截面有一个对称轴,而且载荷作用于对称轴所在的纵向对称面内,式(7-1)和式(7-2)就适用。
由式(7-2)可见,横截面上的最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的点上。
用ymax
表示最远点至中性轴的距离,则最大弯曲正应力为上式可改写为
其中
Iz
ymax
为抗弯截面系数,是仅与截面形状及尺寸有关的几何量,量纲为[长度]3。
高度为h、
宽度为b的矩形截面梁,其抗弯截面系数为
直径为D的圆形截面梁的抗弯截面系数为
工程中常用的各种型钢,其抗弯截面系数可从附录的型钢表中查得。
当横截面对中性
轴不对称时•其最大拉应力及最大压应力将不相等。
用式(7-3)计算最大拉应力时,可
在式(7-4)中取ymax等于最大拉应力点至中性轴的距离;计算最大压应力时,在式(7-4)
中应取ymax等于最大压应力点至中性轴的距离。
例7-1受纯弯曲的空心圆截面梁如图7-6(a)所示。
已知:
弯矩M=I,外径
D=50mm,内径d=25mm。
试求横截面上a、b、c及d四点的应力,并绘过a、b两点的直径线及过c、d两点弦线上各点的应力分布图。
解:
(1)求Iz
(2)求
a点
b点
c点
d点
给定的弯矩为正值,梁凹向上,故a及c点是压应力,而b点是拉应力。
过a、b的直
径线及过c、d的弦线上的应力分布图如图7-6(b)、(c)所示。
横力弯曲梁的正应力
公式(7-2)是纯弯曲情况下以7-2-1提出的两个假设为基础导出的。
工程上最常见的弯曲问题是横力弯曲。
在此情况下,梁的横截面上不仅有弯矩,而且有剪力。
由于剪力的影响,弯曲变
形后,梁的横截面将不再保持为平面,即发生所谓的“翘曲”现象,如图7-7(a)。
但当剪力为常量时,各横截面的翘曲情况完全相同,因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差异。
图7-7(b)表示从变形后的横力弯曲梁上截取的微段,由图可见,截面翘曲后,任一层纵向纤维的弧长A''与横截面保持平面时该层纤维的弧长完全
相等,即A'B'AB。
所以,对于剪力为常量的横力弯曲,纯弯曲正应力公式(7-2)仍然
适用。
当梁上作用有分布载荷,横截面上的剪力连续变化时,各横截面的翘曲情况有所不同。
此外,由于分布载荷的作用,使得平行于中性层的各层纤维之间存在挤压应力。
但理论分析结果表明,对于横力弯曲梁,当跨度与高度之比l/h大于5时,纯弯
曲正应力计算公式(7-2)仍然是适用的,其结果能够满足工程精度要求。
例7-2槽形截面梁如图7-8(a)所示,试求梁横截面上的最大拉应力。
解绘M图,得B、C两截面的弯矩MB10kN.m,MC7.5kN.m,如图
7-8(b)所示。
求截面的形心及对形心轴的惯性矩,取参考坐标ZiOy,如图7-8(c)所示,得截面形心
C的纵坐标因y为对称轴,故
过形心C取z轴,截面对z轴的惯性矩为
B截面的最大拉应力为
C截面的最大拉应力为可见,梁的最大拉应力发生在C截面的下部边缘线上。
弯曲切应力
横力弯曲时,梁横截面上的内力除弯矩外还有剪力,因而在横截面上除正应力外还有切
应力。
本节按梁截面的形状,分几种情况讨论弯曲切应力。
7.3.1矩形截面梁的切应力
在图7-9(a)所示矩形截面梁的任意截面上,剪力Fq皆与截面的对称轴y重合,见
图7-9(b)。
现分析横截面内距中性轴为y处的某一横线,ss'上的切应力分布情况。
根据切应力互等定理可知,在截面两侧边缘的s和s'处,切应力的方向一定与截
面的侧边相切,即与剪力FQ的方向一致。
而由对称关系知,横线中点处切应力的方向,也必然与剪力Fq的方向相同。
因此可认为横线ss'上各点处切应力都平行于剪力
Fq。
由以上分析,我们对切应力的分布规律做以下两点假设:
1•横截面上各点切应力的方向均与剪力Fq的方向平行。
2.切应力沿截面宽度均匀分布。
现以横截面m-m和n-n从图7-9(a)所示梁中取出长为dx的微段,见图7-10(a)。
设作用于微段左、右两侧横截面上的剪力为Fq,弯矩分别为M和M+dM,再用距中性层为y的rs截面取出一部分mnsr,见图7-10(b)。
该部分的左右两个侧面mr和ns上分别作
用有由弯矩M和M+dM引起的正应力mr及ns。
除此之外,两个侧面上还作用有
切应力。
根据切应力互等定理,截出部分顶面rs上也作用有切应力’,其值与距中
性层为y处横截面上的切应力数值相等,见图7-10(b)、(c)。
设截出部分mnsr的两
个侧面mr和ns上的法向微内力mrdA和nsdA合成的在x轴方向的法向内力分别
为Fni及FN2,贝VFN2可表示为
同理
式中,A1为截出部分mnsr侧面ns或mr的面积,以下简称为部分面积S;为A1对中
性轴的静矩。
考虑截出部分mnsr的平衡,见图7-10(c).由Fx0,得
Fn2Fn1Tbdx0(c)
将式(a)及式(b)代入式(c),化简后得
注意到上式中如Fq,并注意到'与数值相等,于是矩形截面梁横截面上的切
dx
应力计算公式为
*
FqSz
TTT(7-5)
式中,Fq为横截面上的剪力,b为截面宽度,Iz为横截面对中性轴的惯性矩,S;为
将Izbh3/12代人上式,得
可见,矩形截面梁横截面上的最大切应力为平均切应力FQ/bh的倍。
根据剪切虎克定律,由式(7-6)可知切应变
式(7-8)表明,横截面上的切应变沿截面高度按抛物线规律变化。
沿截面高度各点具有
按非线性规律变化的切应变,这就说明横截面将发生扭曲。
由式(7-8)可见,当剪力Fq
为常量时,横力弯曲梁各横截面上对应点的切应变相等,因而各
横截面扭曲情况相同。
这一情况已在5-7-2中做了说明。
例7-3矩形截面梁的横截面尺寸如图7-12(b)所示。
集中力F=88kN,试求1-1截面上的最大切应力以及a、b两点的切应力。
解支反力Fa、Fb分别为
FA=40kN,FB=48kN
1-1截面上的剪力
FQ1=FA=40kN
截面对中性轴的惯性矩截面上的最大切应力a点的切应力
b点的切应力
7.3.2工字形截面梁的切应力
工字形截面由上、下翼缘及腹板构成,见图7-13(a),现分别研究腹板及翼缘上的
切应力。
Fq
t(7-11)
hd
2•工字形截面翼缘部分的切应力
现进一步讨论翼绦上的切应力分布问题。
在翼缘上有两个方向的切应力:
平行于剪力Fq方向的切应力和平行于翼绦边缘线的切应力。
平行于剪力Fq的切应力数值极
小,无实际意义,通常忽略不计。
在计算与翼缘边缘平行的切应力时,可假设切应力沿翼缘厚度大小相等,方向与冀缘边缘线相平行,根据在冀缘上截出部分的平衡,由图7-13(d)可以得出与式(7-9)形式相同的冀缘切应力计算公式
*
FqSz
t(7-12)
Izt
式中t为翼缘厚度,图7-13(c)中绘有冀缘上的切应力分布图。
工字形截面梁翼缘上的最大切应力一般均小于腹板上的最大切应力。
从图7-13(c)可以看出,当剪力Fq的方向向下时,横截面上切应力的方向,由上
边缘的外侧向里,通过腹板,最后指向下边缘的外侧,好象水流一样,故称为“切应力流”。
所以在根据剪力Fq的方向确定了腹扳的切应力方向后,就可由“切应力流”确定翼缘上切应力的方向。
对于其他的L形、丁形和Z形等薄壁截面,也可利用“切
应力流”来确定截面上切应力方向。
733圆形截面梁的切应力
在圆形截面梁的横截面上,除中性轴处切应力与剪力平行外,其他点的切应力并
不平行于剪力。
考虑距中性轴为y处长为b的弦线AB上各点的切应力如图7-14(a)。
根据切应力互等定理,弦线两个端点处的切应力必与圆周相切,且切应力作用线交于
y轴的某点p。
弦线中点处切应力作用线由对称性可知也通过p点。
因而可以假设AB
线上各点切应力作用线都通过同一点p,并假设各点沿y方向的切应力分量t相等,
则可沿用前述方法计算圆截面梁的切应力分量t,求得写后,根据已设定的总切应
力方向即可求得总切应力T
圆形截面梁切应力分量t的计算公式与矩形截面梁切应力计算公式形式相同。
*
(7-13)
FqSz
iZb
:
22*
式中b为弦线长度,b2RySz;仍表示部分面积Ai对中性轴的静矩,见图
7-14(b)。
圆形截面梁的最大切应力发生在中性轴上,且中性轴上各点的切应力分量t与总
切应力t大小相等、方向相同,其值为
4Fq
Taxo(7-14)
3nR
Fq
由式(7-14)可见,圆截面的最大切应力max为平均切应力2的4/3倍。
nR
7.3.4环形截面梁的切应力
图7-15所示为一环形截面梁,已知壁厚t远小于平均半径R,现讨论其横截面上
的切应力。
环形截面内、外圆周线上各点的切应力与圆周线相切。
由于壁厚很小,可以认为沿圆环厚度方向切应力均匀分布并与圆周切线相平行。
据此即可用研究矩形截面梁切应力的方法分析环形截面梁的切应力。
在环形截面上截取dx长的微段,并用与
纵向对称平面夹角相同的两个径向平面在微段中截取出一部分如图7-15(b),由于
对称性,两个rs面上的切应力T相等。
考虑截出部分的平衡图7-15(b),可得环形截
面梁切应力的计算公式
*
FqSz
(7-15)
2tIz
式中,t为环形截面的厚度。
环形截面的最大切应力发生在中性轴处。
计算出半圆环对中性轴的静矩
及环形截面对中性轴的惯性矩
将上式代入式(7-15)得环形截面最大切应力
2
Fq(2Rt)
Fq
Tax
-3
(7-16)
2t冗诫
nRt
注意上式等号右端分母Rt为环形横截面面积的一半,可见环形截面梁的最大切应力
为平均切应力的两倍。
7.4弯曲强度计算
梁在受横力弯曲时,横截面上既存在正应力又存在切应力,下面分别讨论这两种应力的强度条件。
弯曲正应力强度条件
横截面上最大的正应力位于横截面边缘线上,一般说来,该处切应力为零。
有些情况下,该处即使有切应力其数值也较小,可以忽略不计。
所以,梁弯曲时,最大正应力作用点可视为处于单向应力状态。
因此,梁的弯曲正应力强度条件为
max
(7-17)
对等截面梁,最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在截面上,这时弯曲正应力强度条件为
式(7-17)、式(7-18)中,[]为许用弯曲正应力,可近似地用简单拉伸(压缩)时的许用应
力来代替,但二者是略有不同的,前者略高于后者,具体数值可从有关设计规范或手册中查得。
对于抗拉、压性能不同的材料,例如铸铁等脆性材料,则要求最大拉应力和最大压应力都不超过各自的许用值。
其强度条件为
7.4.2弯曲切应力强度条件
般来说,梁横截面上的最大切应力发生在中性轴处,而该处的正应力为零。
因
此最大切应力作用点处于纯剪切应力状态。
这时弯曲切应力强度条件为
对等截面梁,最大切应力发生在最大剪力所在的截面上。
弯曲切应力强度条件为
许用切应力[通常取纯剪切时的许用切应力。
对于梁来说,要满足抗弯强度要求,必须同时满足弯曲正应力强度条件和弯曲切应力强度条件。
也就是说,影响梁的强度的因素有两个:
一为弯曲正应力•一为弯曲切应力。
对于细长的实心截面梁或非薄壁截面的梁来说,横截面上的正应力往往是主要的•切应力通常只占次要地位。
例如图7-16所示的受均布载荷作用的矩形截面梁,
其最大弯曲正应力为
图7-16
而最大弯曲切应力为二者比值为即,该梁横截面上的最大弯曲正应力与最大弯曲切应力之比等于梁的跨度I与截面高
度h的比。
当l>>h时,最大弯曲正应力将远大于最大弯曲切应力。
因此,一般对于细长的实心截面梁或非薄壁截面梁,只要满足了正应力强度条件,无需再进行切应力强度计算。
但是,对于薄壁截面梁或梁的弯矩较小而剪力却很大时,在进行正应力强度计算的同时,还需检查切应力强度条件是否满足。
另外,对某些薄壁截面(如工字形、T字形等)梁,在其腹板与翼缘联接处,同时存在相当大的正应力和切应力。
这样的点也需进行强度校核,将在第10章进行讨沦。
图7-17
例7-4T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图7-17(a)所示,铸铁抗拉许用应力
为[t]=30MPa,抗压许用应力为[c]=140MPa。
已知截面对形心轴z的惯性矩为
Iz763cm4,且y152mm,试校核梁的强度。
解由静力平衡方程求出梁的支反力为
做弯矩图如图7-17(b)所示。
最大正弯矩在截面C上,Mc=,最大负弯矩在截面B上,MB4kN.m。
T形截面对中性轴不对称,同一截面上的最大拉应力和压应力并不相等。
在截面B上,弯矩是负的,最大拉应力发生于上边缘各点,且最大压应力发生于下边缘各点,且
在截面C上,虽然弯矩Me的绝对值小于Mb,但Me是正弯矩,最大拉应力发生于截面的下边缘各点,而这些点到中性轴的距离却比较远,因而就有可能发生比截面B还要大的拉应力,其值为
所以,最大拉应力是在截面e的下边缘各点处,但从所得结果看出,无论是最大
拉应力或最大压应力都未超过许用应力,强度条件是满足的。
由例7-4可见,当截面上的中性轴为非对称轴,且材料的抗拉、抗压许用应力数值不等时,最大正弯矩、最大负弯矩所在的两个截面均可能为危险截面,因而均应进行强度校核。
例7-5简支梁AB如图7-18(a)所示。
l=2m,a=。
梁上的载荷为q=10kN/m,F=200kN。
材料的许用应力为[]160MPa,[]lOOMPa。
试选择适用
的工字钢型号。
解计算梁的支反力,然后做剪力图和弯矩图,如图7-18(b)、(c)所示。
根据最大弯矩选择工字钢型号,Mmax45kN•m,
由弯曲正庄力强度条件,有
查型钢表,选用22a工字钢,其Wz309cm3。
校核
梁的切应力。
由表中查出,',腹板厚度d=。
Sz
由剪力图FQmax210kN。
代入切应力强度条件
max超过[]很多,应重新选择更大的截面。
现以25b工字钢进行试算。
由表查出,
—,d=lcm。
再次进行切应力强度校核。
S;
因此,要同时满足正应力和切应力强度条件,应选用型号为25b的工字钢。
7.5提高弯曲强度的一些措施
前面曾经指出,弯曲正应力是控制抗弯强度的主要因素。
因此,讨论提高梁抗弯
强度的措施,应以弯曲正应力强度条件为主要依据。
由(Tmax[O]可以看出,
Wz
为了提高梁的强度,可以从以下三方面考虑。
合理安排梁的支座和载荷
的承载能力越高。
因此,应合理地安排梁的支承及加载方式,以降低最大弯矩值。
例
如图7-19(a)所示简支梁,受均布载荷q作用,梁的最大弯矩为Mmax-ql2。
8
图7-19
如果将梁两端的铰支座各向内移动,如图7-19(b)所示,则最大弯矩变为
12
Mmaxql,仅为前者的1/5。
40
由此可见,在可能的条件下,适当地调整梁的支座位置,可以降低最大弯矩值,
提高梁的承载能力。
例如,门式起重机的大梁图7-20(a),锅炉筒体图7-20(b)等,就是
采用上述措施,以达到提高强度,节省材料的目的。
图7-20
再如,图7-21(a)所示的简支梁AB,在集中力F作用下梁的最大弯矩为
如果在梁的中部安置一长为1/2的辅助梁CD(图7-21b),使集中载荷F分散成两个F/2
的集中载荷作用在AB梁上,此时梁AB内的最大弯矩为
如果将集中载荷F靠近支座,如图(7-21C)所示,则梁AB上的最大弯矩为
图
由上例可见,使集中载荷适当分散和使集载荷尽可能靠近支座均能达到降低最大弯矩的目的。
采用合理的截面形状
Wz
A
由正应力强度条件可知,梁的抗弯能力还取决于抗弯截面系数Wz。
为提高梁的
抗弯强度,应找到一个合理的截面以达到既提高强度,又节省材料的目的。
比值图7-21
可作为衡量截面是否合理的尺度,Wz值越大,截面越趋于合理。
例如图7-22中
A
所示的尺寸及材料完全相同的两个矩形截面悬臂梁,由于安放位置不同,抗弯能力也
不同。
竖放时
平放时
当h>b时,竖放时的W大于平放时的Wz,因此,矩形截面梁竖放比平放更为合理。
AA
在房屋建筑中,矩形截面梁几乎都是竖放的,道理就在于此。
表7-1列出了几种常用截面的W值,由此看出,工字形截面和槽形截面最为合
A
理,而圆形截面是其中最差的一种,从弯曲正应力的分布规律来看,也容易理解这一事实。
以图7-23所示截面面积及高度均相等的矩形截面及工字形截面为例说明如下:
梁横截面上的正应力是按线性规律分布的,离中性轴越远,正应力越大。
工字形截面有较多面积分布在距中性轴较远处,作用着较大的应力,而矩形截面有较多面积分布在中性轴附近,作用着较小的应力。
因此,当两种截面上的最大应力相同时,工字形截面上的应力所形成的弯矩将大于矩形截面上的弯矩。
即在许用应力相同的条件下,
工字形截面抗弯能力较大。
同理,圆形截面由于大部分面积分布在中性轴附近,其抗弯能力就更差了。
图7-22图7-23
表7-1几种常用截面的WzA值
截面形状
矩形
圆形
槽钢
工字钢
0.167h
〜h
〜h
以上是从抗弯强度的角度讨论问题。
工程实际中选用梁的合理截面,还必须综合考虑刚度、稳定性以及结构、工艺等方面的要求,才能最后确定。
在讨论截面的合理形状时,还应考虑材料的特性。
对于抗拉和抗压强度相等的材料,如各种钢材,宜采用对称于中性轴的截面,如圆形、矩形和工字形等。
这种横截面上、下边缘最大拉应力和最大压应力数值相同,可同时达到许用应力值。
对抗拉和抗压强度不相等的材料,如铸铁,则宜采用非对称于中性轴的截面,如图7-24所示。
我们知道铸铁之类的脆性材料,抗拉能力低于抗压能力,所以在设计梁的截面时,应使中性轴偏于受拉应力一侧,通过调整截面尺寸,如能使yi和y2之比接近下列关系:
图7-24
则最大拉应力和最大压应力可同时
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