届苏教版文科数学 二项分布与正态分布 单元测试.docx
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届苏教版文科数学二项分布与正态分布单元测试
(8)
二项分布与正态分布
一、选择题
1.在正态分布N
中,数值落在(-∞,-1)∪(1,
+∞)内的概率为 ( )
A.0.097 B.0.046 C.0.03 D.0.0026
【解析】选D.因为μ=0,σ=
所以P(X<-1或X>1)=1-P(-1≤X≤1)=1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=1-0.9974=0.0026.
2.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )
A.0.648B.0.432
C.0.36D.0.312
[答案] A
中华资源库iyuanku[解析] 由题意得所求概率P=C
×0.62×(1-0.6)+C
×0.63=0.648.
3.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率都是
且是相互独立的,则灯亮的概率是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设A与B中至少有一个不闭合的事件为T,E与F中至少有一个不闭合的事件为R,则P(T)=P(R)=1-
×
=
所以灯亮的概率
P=1-P(T)P(R)P(
)P(
)=
.
4.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于( )
A.C
(
)10(
)2B.C
(
)9(
)2
C.C
(
)9(
)2D.C
(
)10(
)2
[答案] D
[解析] “X=12”表示第12次取到红球,前11次有9次取到红球,2次取到白球,因此P(X=12)=
C
(
)9(
)2=C
(
)10(
)2.
5.设两个独立事件A和B都不发生的概率为
A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由题意,P(
)·P(
)=
P(
)·P(B)=P(A)·P(
).
设P(A)=x,P(B)=y,
则
即
所以x2-2x+1=
所以x-1=-
或x-1=
(舍去),所以x=
.
6.设XN(μ1,σ
),YN(μ2,σ
),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
[答案] C
[解析] 由正态分布密度曲线的性质可知,XN(μ1,σ
),YN(μ2,σ
)的密度曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,因此结合题中所给图象可得,μ1<μ2,所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A错误.又XN(μ1,σ
)的密度曲线较YN(μ2,σ
)的密度曲线“瘦高”,所以σ1<σ2,所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1),B错误.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),P(X≥t)≤P(Y≥t),C正确,D错误.
二、填空题
7.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为
用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)= .
【解析】依题意,ξB
故P(ξ=4)=
×
=
.
答案:
8.甲射击命中目标的概率是
,乙命中目标的概率是
,丙命中目标的概率是
.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为.
[答案]
[解析] 设甲命中目标为事件A,乙命中目标为事件B,丙命中目标为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.
又P(
·
·
)=P(
)·P(
)·P(
)
=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]
=(1-
)(1-
)(1-
)=
.
故目标被击中的概率为1-P(
·
·
)=1-
=
.
9.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0= .
【解析】由XN(800,502),知μ=800,σ=50,又P(700 ×0.9544=0.4772,所以P(X≤900)=P(X≤800)+P(800 答案: 0.9772 10.设随机变量XB(2,p),随机变量YB(3,p),若P(X≥1)= ,则P(Y≥1)=. [答案] [解析] ∵XB(2,p), ∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C (1-p)2= , 解得,p= . 又YB(3,p), ∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-C (1-p)3= . 三、解答题 11.在“出彩中国人”的一期比赛中,有6位歌手(16)登台演出,由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星,各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人,其中媒体甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,另在2号至6号中随机地选2名;媒体乙不欣赏2号歌手,他必不选2号;媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至6号歌手中随机地选出3名. (1)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率. (2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列. 【解析】设A表示事件“媒体甲选中3号歌手”,事件B表示“媒体乙选中3号歌手”,事件C表示“媒体丙选中3号歌手”,则 (1)P(A)= = P(B)= = 所以P(A )=P(A)P( )= × = . (2)P(C)= = 因为X可能的取值为0,1,2,3. P(X=0)=P( )= = × × = P(X=1)=P(A )+P( B )+P( C)= × + × × + × × = + + = P(X=2)=P(AB )+P(AC )+P( CB) = × × + × × + × × = P(X=3)=P(ABC)= × × = . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 12.某公司为了解用户对其产品的满意度,从A、B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区: 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可); (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C: “A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的概率作为相应事件发生的概率,求C的概率. [答案] (1)略 (2)0.48 [解析] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散. (2)记CA1表示事件: “A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; 中华资源库iyuankuCA2表示事件: “A地区用户的满意度等级为非常满意”; CB1表示事件: “B地区用户的满意度等级为不满意”; CB2表示事件: “B地区用户的满意度等级为满意”. 则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2. iyuankuP(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2) =P(CB1CA1)+P(CB2CA2) =P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2). 中华资源库iyuanku由所给数据得CA1,CA2,CB2发生的频率分别为 , , , ,故P(CA1)= ,P(CA2)= ,P(CB1)= ,P(CB2)= ,P(C)= × + × =0.48. 能力提升 1.在高三的一个班中,有 的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么数学成绩优秀的学生数ξB(5, ),则P(ξ=k)取最大值的k值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选B.依题意, ≥ · 且 ≥ 解得 ≤k≤ 所以k=1. 2.如图,△ABC和△DEF是同一圆的内接正三角形,且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用M表示事件“豆子落在△ABC内”,N表示事件“豆子落在△DEF内”,则P(N|M)=( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 如图,作三条辅助线,根据已知条件得这些小三角形都全等,△ABC包含9个小三角形,满足事件MN的有6个小三角形,故P(N|M)= = . 3.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的最小值为 . 【解析】由题设知 p(1-p)3≤ p2(1-p)2, 解得p≥0.4,因为0≤p≤1, 所以0.4≤p≤1,所以概率p的最小值为0.4. 答案: 0.4 4.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率; (2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击.问: 乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少? [答案] (1) (2) (3) [解析] (1)记“甲连续射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A1,则事件A1的对立事件 1为“甲连续射击4次,全部击中目标”.由题意知,射击4次相当于做4次独立重复试验.故P( 1)=C ( )4= . 所以P(A1)=1-P( 1)=1- = . 所以甲连续射击4次,至少有一次未击中目标的概率为 . (2)记“甲射击4次,恰好有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰好有3次击中目标”为事件B2, 则P(A2)=C ×( )2×(1-
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