六年级数学精讲最值问题.docx
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六年级数学精讲最值问题
最值问题
知识要点
1.如果两个整数的和一定,那么这两个整数的差越小,它们的乘积越大。
当两个数相等时,它们的乘积最大。
2.两个自然数的乘积一定时,两个自然数的差越小,这两个自然数的和也越小。
3.把一个数拆分成若干个自然数之和,如果要使这若干个自然数的乘积最大,那么这些自然数应全是2或3,且2的个数不超过2个。
典例巧解
例1两个自然数的和是13,要使两个整数的乘积最大,这两个整数是多少?
点拨将两个自然数的和为13的所有情况都列出来,有以下7种情况:
13=0+13,0×13=0;13=1+12,1×12=12;
13=2+11,11×2=22;13=3+10,3×10=30;
13=4+9,4×9=36;13=5+8,5×8=40;
13=6+7,6×7=42。
由此可见,两个整数的和一定时,两个整数的差越小,它们的乘积越大。
解13÷2=6……1,6×(6+1)=42。
答:
这两个整数分别为6和7。
例2比较下面两个乘积的大小。
A=57128463×87596512B=57128470×87596505
点拨要比较A与B的大小,用计算的方法求积会很麻烦。
仔细观察两组对应因数的大小,我们不难发现,两个因数的和是一定的,只要比较每组两个因数差的大小就可以了,差大的积反而小,差小的积反而大。
解A组两个因数的差:
87596512-57128463=30468049,
B组两个因数的差:
87596505-57128470=30468035。
因为30468049>30468035,所以B>A。
例3两个自然数的积是50,这两个自然数是什么值时,它们的和最小?
点拨两个自然数乘积是50的,共有三种情况:
50=50×1,50+1=51;
50=25×2,25+2=27;
50=10×5,10+5=15。
从上面的分析我们不难看出:
当两个自然数的积一定时,两个自然数的差越小,这两个自然数的和越小。
解50=10×5,此时两数的差最小,所以两个因数之和最小为10+5=15。
答:
当这两个自然数是10和5时,它们的和最小,是15。
例4从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中,选出五个不同的数字组成一个五位数,使它能被3,5,7和13整除,这个数最大是多少?
点拨要使这个五位数能被3,5,7和13整除,可知这个五位数是3,5,7,13的公倍数,而3,5,7,13的最小公倍是3×5×7×13=1365。
在五位数中,1365的最大倍数是1365×73=99645,但99645中有两个9重复,不符合题意。
因而99645可逐个减少1365,直至找出符合题意的五位数。
解3,5,7和13的最小公倍数是3×5×7×13=1365,在五位数中1365的最大公倍数是1365×73=99645。
99645-1365=98280(不符合题意),
98280-1365=96915(不符合题意),
96915-1365=95550(不符合题意),
95550-1365=94185(符合题意)。
答:
这个最大的五位数是94185。
例5要砌一个面积为144平方米的猪圈,这个猪圈的围墙最少长多少米?
点拨要想使猪圈的围墙最少,两个边的差越小越好。
解144=12×12,所以围墙最少长:
(12+12)×2=48(米)。
答:
这个猪圈的围墙最少长48米。
说明面积一定的长方形中,正方形的周长最短。
例6把17拆分成若干个自然数的和,怎样拆分才能使它们的乘积最大?
点拨显然,拆分的数中不能有0。
假设分成的自然数有1,x是分成的另一个自然数,因为1×x<1+x,也就是说,将1+x作为分成的一个自然数要比分成1和1两个自然数好,所以分成的自然数不应有1。
如果分成的自然数中有大于4的数,那么将这个数分成两个最接近的整数,这两个数的乘积大于原来的自然数。
例如,5=2+3<2×3,8=3+5<3×5,也就是说只要有大于4的数,这个数就可以再分,所以分成的自然数中不应有大于4的数。
如果分成的自然数有4,因为4=2×2,所以可以将4分成两个2,那么把17分解时只能有2和3。
因为6=2+2+2,2×2×2=8,6=3+3,3×3=9,说明虽然3个2与2个3的和都是6,但2个3的乘积大于3个2的乘积,所以分成的自然数中最多有2个2,其余都是3。
解17=3+3+3+3+3+2,
乘积最大时为3×3×3×3×3×2=486。
例7已知长方体的长、宽、高均为整厘米数,相邻两个面的面积是180平方厘米和84平方厘米。
求表面积最小的长方体的体积。
点拨设长方体的长为a厘米,宽为b厘米,高为c厘米,依题意列关于长方体的表面积和体积的表达式,并对其进行最值问题的讨论,问题易解。
解设长方体的长为以厘米,宽为6厘米,高为c厘米,依题意有:
ab=180,bc=84。
由此可知b是180和84的公约数,而长方体的表面积为:
(ab+bc+ac)×2=(180+84+ac)×2.
可以看出,ac越小,表面积越小,因而应使b尽可能的大,180和84的最大公约数是12,此时,长方体体积为:
abc=
=
=1260(立方厘米)。
答:
表面积最小的长方体的体积是1260立方厘米。
例8某市发出的车牌号码均由6个数字(从0到9这10个数中选择)组成,该市规定:
任意两个车牌至少要有两对同一数位上的数字不同(如车牌号038471和030471不能同时使用)。
求该市最多能发出多少个不同车牌。
点拨如果发出了100001个车牌,则由抽屉原理可知:
至少有2个车牌的前5个数字相同,则此2个号码违反规定。
因此,该市发出的车牌不能超过100000个。
解可发出100000个车牌并符合规定:
号码前5位任意填写(100000种填法),个位则填写前五位数字之和的个位数字。
对这样得到的两个牌号a1a2a3a4a5a6和b1b2b3b4b5b6;若a1a2a3a4a5a6与b1b2b3b4b5b6中有两个或两个以上表示不同,则符合规定;
若a1a2a3a4a5与b1b2b3b4b5中只有一个数字不同,不妨设a1≠b2,则a6-b6=(a1+a2+a3+a4+a5)的末位数-(b1+b2+b3+b4+b5)的末位数≠0。
即a1a2a3a4a5和b1b2b3b4b5有两个数码不同也符合规定。
综上所述,该市最多能发出100000个不同车牌。
解题技巧
最值问题的各类题型较多,题目复杂,涉及的知识面广,而且大多数这样的问题并没有固定的解题模式,因此,分析和处理都比较复杂,问题的解答需要结合具体的题目,选择针对性强的方法和采取恰当的手段。
一般涉及的方法有试验、枚举、估计、归纳、构造等,做题时一定要仔细研究,反复思考,真正把握各种题型的内在规律,达到举一反三、触类旁通的效果。
竞赛能级训练
A级
1.用1~9这九个数字组成三个三位数,使这三个三位数的乘积尽可能的大,这三个数分别是几?
2.把546分解成四个不同的自然数之积,这四个自然数的和最大是多少?
3.一个三位数的各位数字都不是0,这个三位数与组成它的各位数字之积的比是a,如432,a=432÷(4×3×2)=18。
求以的最大值。
4.一张圆纸能被多少条直线分成821部分?
5.甲、乙两项工作,单独做,张需10小时做完甲工作,15小时做完乙工作;李需8小时做完甲工作,20小时做完乙工作。
两人合作完成这两项工作,最少需要多少小时?
6.用
,
,1
分别去除某一个分数所得的商都是整数,这个分数最小是几?
7.18乘一个自然数所得的积,可以分解为四个连续自然数的乘积。
那么18乘的这个自然数最小是多少?
8.有三个数字,用它们可以组成六个不同的三位数,这六个三位数的和是4662。
这样的三位数中最大的是几?
9.三个不同的最简真分数的分子都是质数,分母都是小于20的合数。
要使这三个分数的和尽可能大,这三个分数分别是多少?
10.(第五届“从小爱数学”邀请赛试题)把20以内的质数分别填入□中,每个质数只能用一次。
A=
,使A是整数,A最大是多少?
11.如果四个两位质数a,b,c,d两两不同,并且满足等式a+b=c+d。
那么a+b最小是多少?
12.(《小学生数学报》第九届竞赛试题)某种产品由A、B、C三个部件组成,一名工人每天可生产5个A,或者生产3个B,或者生产6个C。
要使工厂每天生产的产品尽量多,该厂的210名工人应如何分工?
该厂一天最多生产多少个这种产品?
13.某班有学生50人,年龄均为整数,年龄的平均值为12.2岁。
已知班上任意两人的年龄差都不超过3岁,那么这班学生中年龄最大的可能是多少岁?
如果有一个学生的年龄达到这个值,那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人?
14.一个数分别除以刍,磊,1去,所得的商都是非零自然数,这个自然数最小是多少?
B级
1.用1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字各一次写出能被9整除的三个三位数,这三个数的和最大是多少?
2.冰雪节期间小冬去太阳岛看雪雕,有两种“走法”:
一是步行;二是乘马爬犁。
乘马爬犁比步行的速度快,但是每次必须等候,且等候时间相同。
小冬三次去看雪雕都从防洪纪念塔出发,他采用了花时间最少的“走法”过江,如下表。
如果上岛地点在A点,江上路程8千米,小冬过江最少用多少分钟?
上岛地点
路程(千米)
时间(分钟)
第一次:
船站
3
30
第二次:
水榭
4
38
第三次:
江上之家
5
45
3.如右图所示,在一块木板上有16个钉子,横竖行相邻两个钉子之间的距离都相等,用皮筋能套出许多正方形。
最少拔掉多少个钉子就再也套不成正方形了?
4.用1,3,5,7,9五个数字组成一个三位数和一个两位数,这两个数的乘积记为a;用0,2,4,6,8五个数字也组成一个三位数和一个两位数,这两个数的乘积记为b。
那么(a-b)最大是多少?
(b-a)最大是多少?
5.将前100个自然数依次无间隔地写成一个多位数12345678910…9899100,从中画去170个数字,剩下的数字形成了一个22位数,这个22位数最大是多少?
最小是多少?
如果画掉100个数字,那么剩下的92位数最大是多少?
最小是多少?
6.有一堆围棋子,先数出50枚棋子,其中有49枚是白色棋子,此后每数出8枚棋子中都有7枚白棋子,直到数完为止,总计已数出的棋子中白棋子的枚数不少于90%。
这堆棋子最多是多少枚?
7.已知A=2×3×3×3×3×5×5×7,在A的两位数的因数中最大的是多少?
8.今有一队学生(300人以内),如果每9人排成一列,最后余下4人;如果每7人排成一列,最后余下3人。
问这队学生最少有多少人?
最多有多少人?
9.设1×2×3×4×…×1991=21n×A,其中n与A为自然数,那么n的最大值是多少?
10.将2001拆分成若干个互不相等的自然数的和,且使这些自然数乘积最大,该乘积是多少?
11.用铁丝扎一个长方体模型,为了使长方体的体积恰好等于216立方厘米,长方体的长、宽、高各是多少厘米时,所用的铁丝最短?
这根铁丝最短是多少厘米?
能力测试
一、填空题(每题4分,共20分)
1.两个自然数的和是31,要使这两个整数的乘积最大,这两个整数分别是()和()。
2.比较A与B的大小。
A=74521×34284,B=74520×34285,()>()。
3.农民张大伯要靠自家的土墙(土墙足够长)建一个长方形猪圈,另外三边(三边均为整数)砌成长36米的砖墙(如右图)。
砌成的猪圈的面积最大是()平方米。
4.在修建一栋房屋时,一个木工在修建窗口时犯了难,如果窗口的周长相等,应修成()(填“长方形”、“正方形”、“圆形”)。
5.把410分拆成几个自然数的和,要想使乘积最大,乘积最大是()。
二、选择题(每题5分,共20分)
1.37×75×42×76×(),要想使这个连乘积的最后四位都是0,括号里最小填()。
A.10000B.1000C.100D.50
2.在8969543这个数的某一位数字的后面再插入一个该数字,能得到的八位数最小是()。
A.88969543B.89699543
C.89669543D.前面的答案都不对
3.要使
<
<
成立,式中A最多可能取()个不同的自然数。
A.1B.3C4D.5E.无数多
4.一张饼最少切()刀就可以切成29块。
A6B.7C.8D.9
三、解答题(每题12分,共60分)
1.在下左图空方格内各填入一个一位数,使同一行内左面的数比右面的数大;同一列内上面的数比下面的数小,并且方格内的六个数字互不相同。
如下右图为一种填法,那么最多有多少种不同填法?
2.某班共有48人,其中25人会滑冰,35人会打排球,40人会打乒乓球。
那么这个班最少有多少人这三项都会?
3.等式A÷126=14……B中,B应是什么数时才能使A最大?
4.把19拆成几个自然数的和,才能使这些自然数的乘积最大?
最大乘积是多少?
5.在1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数的每相邻两数之间填上一个加号或一个减号,组成一个算式,并满足以下两个要求:
(1)算式的结果等于37;
(2)这个算式中的所有减数(前面填了减号的数)的乘积尽可能大。
那么这些减数的最大乘积是多少?
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