高中数学人教A版选修23第三章 统计案例 单元综合检测 12.docx
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高中数学人教A版选修23第三章统计案例单元综合检测12
第二章随机变量及其分布综合检测
时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2013·霍邱二中一模)设随机变量ξ等可能取值1,2,3,…,n,如果P(ξ<4)=0.3,那么n的值为( )
A.3 B.4 C.9 D.10
[答案] D
[解析] ∵P(ξ<4)=
=0.3,∴n=10.
2.已知随机变量X满足D(X)=1,则D(2X+3)=( )
A.2B.4C.6D.8
[答案] B
[解析] D(2X+3)=4D(X)=4.
3.(2013·景德镇市高二期末)已知某离散型随机变量X服从的分布列如图,则随机变量X的方差D(X)等于( )
X
0
1
P
m
2m
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 由m+2m=1得,m=
,∴E(X)=0×
+1×
=
,D(X)=(0-
)2×
+(1-
)2×
=
,故选B.
4.若随机变量X服从正态分布,其正态曲线上的最高点的坐标是
,则该随机变量的方差等于( )
A.10B.100C.
D.
[答案] C
[解析] 由正态分布密度曲线上的最高点
知
=
,∴D(X)=σ2=
.
5.(2013·辽师大附中高二期中)若随机变量η~B(n,0.6),且E(η)=3,则P(η=1)的值是( )
A.2×0.44B.3×0.44
C.2×0.45D.3×0.64
[答案] B
[解析] ∵η~B(n,0.6),∴E(η)=0.6n=3,∴n=5,∴P(η=1)=C
·0.6·(1-0.6)4=3×0.44,故选B.
6.盒中有10只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是
的事件为( )
A.恰有1只是坏的B.4只全是好的
C.恰有2只是好的D.至多有2只是坏的
[答案] C
[解析] X=k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的,则P(X=k)=
(k=1、2、3、4).
∴P(X=1)=
,P(X=2)=
,P(X=3)=
,P(X=4)=
,∴选C.
7.对标有不同编号的16件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下,第二次也摸到次品的概率是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] “第一次摸出次品”记为事件A,“第二次摸出次品”记为事件B.
则P(A)=
=
.P(AB)=
=
,
则P(B|A)=
=
.
8.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),则E(2ξ+1)与D(2ξ+1)的值分别为( )
A.13,4B.13,8C.7,8D.7,16
[答案] D
[解析] 由已知E(ξ)=3,D(ξ)=4,得E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=7,D(2ξ+1)=4D(ξ)=16.
9.(2012·兰州一中期末)有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球,从中取出4个,则取出的编号互不相同的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 从10个球中任取4个,有C
=210种取法,取出的编号互不相同的取法有C
·24=80种,∴所求概率P=
=
.
10.设随机变量ξ服从分布P(ξ=k)=
,(k=1,2,3,4,5),E(3ξ-1)=m,E(ξ2)=n,则m-n=( )
A.-
B.7C.
D.-5
[答案] D
[解析] E(ξ)=1×
+2×
+3×
+4×
+5×
=
,∴E(3ξ-1)=3E(ξ)-1=10,
又E(ξ2)=12×
+22×
+32×
+42×
+52×
=15,∴m-n=-5.
11.某次国际象棋比赛规定,胜一局得3分,平一局得1分,负一局得0分,某参赛队员比赛一局胜的概率为a,平局的概率为b,负的概率为c(a、b、c∈[0,1)),已知他比赛一局得分的数学期望为1,则ab的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 由条件知,3a+b=1,∴ab=
(3a)·b≤
·
2=
,等号在3a=b=
,即a=
,b=
时成立.
12.一个盒子里装有6张卡片,上面分别写着如下6个定义域为R的函数:
f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2.现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后不放回,若取到一张记有偶函数的卡片,则停止抽取,否则继续进行,则抽取次数ξ的数学期望为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] A
[解析] 由于f2(x),f5(x),f6(x)为偶函数,f1(x),f3(x),f4(x)为奇函数,所以随机变量ξ可取1,2,3,4.
P(ξ=1)=
=
,
P(ξ=2)=
=
,
P(ξ=3)=
=
,
P(ξ=4)=
=
.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
E(ξ)=1×
+2×
+3×
+4×
=
.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,将正确答案填在题中横线上)
13.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)=8.9,则y的值为________.
[答案] 0.4
[解析] 由分布列可得x=0.6-y且7x+0.8+2.7+10y=8.9,解得y=0.4.
14.两台独立在两地工作的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,则恰有一台雷达发现飞行目标的概率为________.
[答案] 0.22
[解析] 所求概率为0.9×(1-0.85)+(1-0.9)×0.85=0.22.易出现如下错误:
0.9+0.85=1.75,两个事件A,B中恰有一个发生包含两种情况:
一是A发生而B不发生;二是A不发生而B发生.
15.将一颗骰子连掷100次,则点6出现次数X的均值E(X)=________.
[答案]
[解析] 这是100次独立重复试验,X~B
,
∴E(X)=100×
=
.
16.(2013·陕西宝鸡中学高二期末)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是______(写出所有正确结论的序号).
①P(B)=
;
②P(B|A1)=
;
③事件B与事件A1相互独立;
④A1,A2,A3是两两互斥的事件;
⑤P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.
[答案] ②④
[解析] 从甲罐中取出一球放入乙罐,则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生,即A1、A2、A3两两互斥,故④正确,易知P(A1)=
,P(A2)=
,P(A3)=
,又P(B|A1)=
,P(B|A2)=
,P(B|A3)=
,故②对③错;∴P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=
×
+
×
+
×
=
,故①⑤错误.综上知,正确结论的序号为②④.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)袋中有5个大小相同的小球,其中1个白球和4个黑球,每次从中任取一球,每次取出的黑球不再放回去,直到取出白球为止.求取球次数X的均值和方差.
[解析] 取球次数X是一个随机变量,X的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X的均值和方差,可先求X的分布列.
P(X=1)=
=0.2,
P(X=2)=
×
=0.2,
P(X=3)=
×
×
=0.2,
P(X=4)=
×
×
×
=0.2,
P(X=5)=
×
×
×
×
=0.2.
于是,我们得到随机变量X的分布列
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由随机变量的均值和方差的定义可求得:
E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2
=0.2×(1+2+3+4+5)=3,
D(X)=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.2=0.2×(22+12+02+12+22)=2.
[点评] 把5个小球排成一排,在每一个位置上是白球的概率都是
,∴P(X=k)=
,k=1、2、3、4、5.
18.(本题满分12分)(2011·江西理,16)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2800元,否则月工资定为2100元,令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求X的分布列;
(2)求此员工月工资的期望.
[分析] 8杯饮料中含4杯A饮料,从8杯中任选4杯,其中恰含k杯A饮料的概率服从超几何分布.
设新录用员工的月工资为y,则y的取值与X的取值对应关系为
y
3500
2800
2100
X
4
3
0,1,2
[解析]
(1)X的所有可能取值为:
0,1,2,3,4,
P(X=i)=
(i=0,1,2,3,4),
即
X
0
1
2
3
4
P
(2)令Y表示新录用员工的月工资,则Y的所有可能取值为2100,2800,3500,
则P(Y=3500)=P(X=4)=
,
P(Y=2800)=P(X=3)=
,
P(Y=2100)=P(X≤2)=
,
E(Y)=3500×
+2800×
+2100×
=2280.
所以新录用员工月工资的期望为2280元.
[点评] 要注意超几何分布的特点,是总数为N件的A、B两类物品,其中含M件A类物品,从中任取n件(n≤N)时恰含有A类物品m件,要严格按其特点作出判断.
19.(本题满分12分)(2013·揭阳一中高二段测)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有A、B两个等级,对每种产品,两道工序的加工结果都为A级时,产品为一等品,其余均为二等品.
(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙;
(2)已知一件产品的利润如表二所示,用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润,在
(1)的条件下,求ξ、η的分布列及E(ξ),E(η);
(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名,可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量,在
(2)的条件下,x、y为何值时,z=xE(ξ)+yE(η)最大?
最大值是多少?
项目
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
8
5
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