勾股定理典型例题详解及练习附答案.docx

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勾股定理典型例题详解及练习附答案

典型例题

知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理

例1：

如图，在单位正方形组成的网格图中标有ABCDEF、GH四条线段，其

中能构成一个直角三角形三边的线段是（）

A.CD

C.ABCD

EF、GH

GH

B.AB、EF、GH

D.ABCDEF

丄）題宜分斬’本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理.心

2）解題思路：

可利用勾股定理直接求出各边快，再进行判斷."

在段AEAF中，AF=1,AE-2,根据勾股走理，得』

EF=J血+血==75p

同理AR二2晶GH二届CD=24

计算发现（昉尸+（戈旋尸=（晅-即卫新+超戸=G0,根据勾股定理的逆定理得到以AB、EF.GH为边的三角形是直角三角形.故选

解题后的慝考’心

1.勾股定理只适用于直甫三角形，而不适用于锐角三角形和純角三珀形.

因此，解题时一定裝认真分析题目所给条件*看是否可用勾股定理来解-■

2在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认海化”就是斜边而“固执般地运用公式X二’+*其实，同样是△朋0\三。

不一定就等于9叭亡不一定就是斜边，AABC不一定就是直角三甫形.a

3.直第三角形的判定条件2勾般定理是互逆的，区别在于勾股定理的运用是一个从水形"（一个三甫形是直甫三甫形）至I）噱（川=/+护）的过程，而直第三角形的判定是一个从“数（一个三角形的三边満足八二卅+酹的条件）到“形”（这个三角形是直角三角形）的过程.松

4.在应用勾股定理解题时，裝全面地若虑间题，注意问题中存在的多种可能性，瞳免漏解.初

+>

例2：

如图，有一块直角三角形纸板肋C,两直角辺AC-6cmtBC=8cm,现将直角边AC沿直竝AD折養，使它落在斜边虫迟上,且点<7落到点遐处,则仞等于（）祕

A.2cmB.3cmC.4cmD.Scm+J

1）題意分析：

本题肴查勾股走理的应用叙

2）解題思路’本题若直接在△力仞中运用勾股定理是无法求得CD的长的，因为只知道一条边,卫<7册扶，由题意可知，△上仞和心劝关于直线对称，因而AACD^^AED.进一歩则WAE=AC=6cm>CD=ED,ED丄AB.设dgg则在RtA-4BC中.由勾股定理可得J4^=40^8（^=^8^100,得AB=10cm,在取△乃DE中，有应+（1Q-6）》=（8—x）%解得—3.心

解答逸BP

解题諭朋=

勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。

所以，在利用勾

股定理求线段的长时常通过解方程来解决。

勾股定理表达式中有三个量，如果

条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，

这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。

方程的思想：

通过列方程（组）解决问题，如：

运用勾股定理及其逆定理求

线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解

决冋题等。

例3:

—场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、

清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。

清华开口说道：

“老师，那棵树看起来挺高的。

”

“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！

”

“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。

”冠华兴致勃勃地说。

张老师心有所动，他说：

“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离

树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？

”

占明想了想说：

“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角

形。

”

“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。

”绣亚补充说。

几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。

同学们，你算

出来了吗？

思路分析：

1）题意分析：

本题考查勾股定理的应用

2）解题思路：

本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确

的解答

解答过程,

设直角三甬形册三边长分别为弘b,c9如图，则米，=米・屮

交

_护=饶2,gpic+^i-^c-b^a2

a2_9

的-（宀）］=；仙

解得2乩

解題后99思苇：

卍

这杲一道阅读理解类试题.这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规,源于噪耳，高于课本，不仅考查阅读能力.而且还综合等查数学意识和数学综合应用能力，尤其考查数学思维能力和创新意识.解题时，一般是通

过阅读，理解概念，拿握方法，领悟思想，抓住本质，然后才能解答问题”

知识点二.构造直角三角形使用勾股定理p

例4=如團!

一个扶芳徉形的木柜畝在墙角处（与墙面和地面均没有縫隙），肓一只蚂猷从柜角卫处沿看木柜表酝爬到柜角G处.4

（1）请你画出蚂螃能够最快到达目的地的可能路径；*

⑴当加二比BC=4tCC7l=5Wj求蚂蚁爬过的最愆路径的长畀

1＞題意分析：

本题肴查勾股定理的应用.d

2）解題思路：

解決此类间题的关键是把立体图形问题转化淘平而图形问题，从而利用勾股定理解决.路径虽无数最短却唯一，要注意弄清哪一条路径是最短的.屮

解答过程；

（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩»ABC^和

r

蚂蚁能够最快到达目朗地閔可能路径有如圏的g和川5P

（2）蚂蚁沿着木柜表酝经线段△耳到爬过的路径的长是

4=J毕十百+则=®.,

蚂掀沿着木柜表面经线段月妨到G，爬过的路径的长是

歼器*总5嗡性

'J（4+4『+宁二唐.*小,蛊短路径的长是心馬.a

（3）作丄川G于则所求.4

解題后的思考’屮

转化的思想是将复朵间题转仏分解天简单的间题，或将陌生的间题转化次熟悉的间题来处理的一种思想方法.如：

在许多实际问题中，首先将实际问题转化为数学问题，另外，当问题中没有给出直角三角彫时，通

常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。

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例邑有一块直角三角形的绿地，量得两直角辺长分别背6tn,8m•现在要将绿地扩充成■等腰三第形，且扩充韶分是以8m为直甫边的直第三甬形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.，

思路分析；此题如有图曲备变得很简单，按图形解答即可.但若没有图形，刚需蓼讨论几种可能的情况•这正是“无图题前细思考，分类讨论保周到3心

解答过程：

在Rt△肋U中，ZACB=90\i4C=8,BC=6＞由勾股定理有’AB=Wf扩充部分为RtZL4U©扩充咸等腰△少0应分1以"F三种情况：

①如图b^AB=AD=10时，可求CD=CB=6f得△曲D的周长沟32m.②如图2,当AB=BD=^时，可求C7A4,由勾股定理得：

也=4击，得△屈D的周长为述°+4后叫③如图引

25

X——当占F为底时，设AD=BD=x,则CQ=不一&由勾股定理得；3,

80

分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，

可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重

不漏。

知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用

例6：

（1）图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正

方形。

若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是5,求中间

小正方形的面积。

（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。

（要求：

先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）

乙

1）

本题考查利用勾股定理进行图形的拼割剪接4注意拼接过程中面积是不变的4

題意分析：

2）解題恵路：

解答过程…

（1）设直角三角形的鮫长直角辺长为去较短直角边长为b则小正方形的边长为a-b.由题意得屮

a+b-5①a

由勾股定理，得a3+^=13

①2—②得2ctb=12p

所決仗-b）2二屮十护「2血=13-12=1③神

艮卩所求的中间小正方形的面积为2

⑵所拼成的正方形的面积^）65x2=1次旳勺所以可披照图甲制作.4

由®ita-b-h

由D③组成方程组解得"2卜

结合題育，每个直毎三珀形的校按直角边只能在纸片6.5cm的长辺上截取，去掉四个直甬三角形后，余下册面积为

1勺

13--x3x2x4=13-12=l（c^2）

2，恰好等于中间的小正方形的面积.于是，得到以下分割拼合方法：

屮

r|f

遇慘/I、严

解題后的思考；这是一道综合题，根据题目所提供时信息是不难解决问题的，但是，婪注育掌握和运用好题目所给的各个有用信息，否则，问题就不容易得到解决.,

知识点四.连续应用勾股定理•，

例二如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个尊腰直角三角形ABA】，再以等B8直角三角形启BAi的斜边为直角边向外作第3个等BS直第三角形他……,如此作下去，gOA=OB=h则第11个等睡直弟三角形的面积灵=二祕

1）題意分析；本题琴查利甲勾股定理进行归纳推理a

2）解題思路！

先在RiAAB0中，由0A=OB=l^tbAB=^2?

再

在RlAABAi中，由AB=AAj=^2求出A迅=2,；再分别求出△

AOBsAABAisAAiBBi^……的面积，从中发现规律，猜想出结论「屮解答过程’*

在MAEO中，由ZAOB=?

0%OA=OB=1?

可求出AB=V2f3

「丄

aob=2xlx]=2在RtiABAl中，由ZAiAB^PO-",AB=AAl=

2

恵,可求出曲日=2,S3=2x^2x^2=1=2^在RtAAiBBi中，由Z

1

AiBBi=90°?

AiB=BBi=2i可求出AiBi=2.^/2.,S3-2x2x*

2=2=2"在RtAAiB2B!

中,由ZBaAiBi=PO^曲历=曲氏=2血，可

“1

求出BiB2=4,S*-2x272x2^/2-4=2=；……,由此可以猜想防丫3*解題后的思若二类比归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相愎的对彖进行对上匕，作出归纳判断的一种科学研究方法.在中考数:

学中苇查类比归纳法，旨在引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线，由线织咸测使知识有序化、系统化，从而使学生掌握知识內在的规律.a

预习导学斗

下一讲拢们将讲解四辺形的应用，本讲內容是中着重点之一.如特殊四边形（平行四辺懸、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性质和河定，以艮运用这些知识解決实廊问题，中考中常以选择龜、填空龜、解答飜证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开放题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点问题、折蛊间题等，这些都是热点题型.应引起同学们高度关注・4

同步练习（答题时间’6。

分钟）梯

—、选择题4

1.如图，每个小正肓形的边■艮为bA.B.U是小正育形的顶点，PJIJZ

A.90°

2.如图所示A>B.C分别表示三个村住，AB=10QD米，BC-600米,

AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心*要求这三个村庄對活动中心朗距篱相等，则活动中心P处的

位置应在（）屛

A.AB中点处

C.AC中点处

DZC的平分线与AB的交点处a

3.如图，长片体■的长为15,宽为1D,高为如点0到点C的距离为5,—貝妈蚁如果要沿着长方悴册表面从点月爬到点B,需要爬行的最短距离是（）牢

B

C

7

B25

二、填空题心

4.某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4米，ZBAC=3^,

ZC=90\因某种活动要求铺设红色地毯