最新超全中考数学备考之相似三角形.docx
- 文档编号:4814482
- 上传时间:2022-12-09
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:123.09KB
最新超全中考数学备考之相似三角形.docx
《最新超全中考数学备考之相似三角形.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新超全中考数学备考之相似三角形.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
最新超全中考数学备考之相似三角形
中考数学备考之相似三角形
近5年的广州中考数学在解答题中没有直接明了考查相似三角形的判定或是性质,但是包含相似三角形的考点的题目确实不少,往往都是较综合的题目,结合相似三角形的判定与性质解题。
于是,相似三角形往往就成了解决综合题的关键''工具〃之一。
接下来呈现给大家的将是这''工具〃的''说明书〃,探讨相似三角形在中考数学中应用。
一、相似三角形常考图形
在中考数学相似三角形的考查中,对于相似三角形的图形也有重点考查图形,以下即为常见于各地中考的相似三角形基本图形。
1.平行型
0A字型〃字型"
2.直角形
子母型〔双垂直〕三垂直
3.字型.8字型“变形
4.黄金三角形
A
二、相似三角形考点分析
柜似三角形的解答题中如果单纯考查相似三角形的判定和性质,那么难度往往不大,而如果结合了四边形、圆或是函数一起考查,那么由于知识点涵盖得多,难度就会骤增。
下文将以典型中考真题为例讲解相似三角形的各种考查题型。
1.相似三角形的判定和性质
【例1】(2018肇庆23]如图,在3BC中,AB=AC,/A=36。
,线段AB
的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE、
〔1〕求证:
zCBE=36°;
(2)求证:
AE2:
AC・EC、
【解析】此题为利用''黄金三角形"证明相似,再运用相似三角形对应边成比例解决几条线段长乘积柜等的问题。
〔1〕由线段垂直平分线的性质可得EA=EB,进而可求出nABC=nC,易求解.〔2〕先由〔1〕的结论可证得SBCdBEC,根据比例即可证明.
【答案】证明:
〔1〕「DE是AB的垂直平分线,
「AB二AC,zA=36°,
/.zABC=zC=72°.
/.zCBE=zABC-zEBA=36°.
⑵由〔1〕得,在^BCE中,nC=72°,
/.zBEC=zC=72°z/.BC=BE=AES
在SBC与YEC中,zCBE=zA,zC=z
."ABJBEC、.嚏=If
即BC2=AC・EC、故AE2=AC・EC、
2.相似三角形与四边形
[1]相似二角形与平行四边形〔含矩形、
A□AD
[2]相似三角形与梯形
J5.DAn
FC
[3)直角二角形与矩形〔含止力形〕:
•1
zCBE=36°zc,
麦形、止方形〕:
Hz<\p
A^DEB
以上为相似三角形与四边形结合的常考图形,下面将例题形式展示。
【例2】[2018广州10)如图,在口ABCD中,AB=6,AD=9,zBAD的平
分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG,AE,垂足为G,BG=4&,那么aCEF的周长为〔〕
A、8B、9.5C、10D、11.5
【解析】此题为典型的相似三角形与平行四边形的结合。
在。
ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,zBAD的平分线交BC于点E,可彳导4ADF是等月要三角形,AD=DF=9;3BE是等腰三角形,AB=BE=6,所以CF=3;5EMBG中,BGJLAE,AB=6,BG=4亚,可彳导AG=2,又4ADF是等月要三角形,BG_lAE,所以AE=2AG=4,所以3BE的周长等于16,又由。
ABCD可得aCEFiBEA,相似比为1:
2,所以aCEF的周长为8,因此选Ao
【答案】A
【例3】[2018巴中〕如下图,在梯形ABCD中,ADIIBC,点M是AD的
中点.连接BM交AC于N.BM的延长线交CD的延长线于E、
[1]求证:
里=型;EBBC
〔2〕假设MN=lcm,BN=3cm,求线段EM的长.
【解析】此题为相似三角形与梯形结合考查。
⑴由于ADIIBC,易证得^MED
一△BEC;得
I=挈;AM=MD,代换相等线段后即可得出此题要证的结论,〔2〕按照〔1〕
的方法,可由AMIIBC,得出兽=黑=日,再联立⑴得出的比例关系式,BCBNEB
可列出关于EM的方程,即可求得EM的长.
【答案】〔1〕证明:
•.ADllBC,「.△MEDiBEC,
.EM_MD
'EB-BC-f
又是AD的中点,
..AM;MD,
.EM_AM
*'EB-BC'
⑵解:
•.•△AMN^CBN,
.AM_MN_EM.EM_1
-'BC-BN-EBz-'EB"3
又「EB=ME+MB,
MB=BN+NM=4cm,
【例4】[2018广东22〕正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上
的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.
〔1〕证明:
RfABMsRfMCN;
(2)第⑵题略;
(3)当M点运动到什么位置时RfABMsRfAMN,求此时x的值.
【解析】〔1〕为''三垂直〃模型直接应用,了这两个三角形中一组对应角为直角,而/BAM和nNMC都是nAMB的余角,因此这两个角也相等,据此可得出两三角形相似.
〔3〕了这两个三角形中柜等的对应角是/ABM和nAMN,如果要想使RfABMsRfAMN,那么两组直角边就应该对应成比例,即第=当,根据〔1〕的相MNBM
似三角形可得出第=学,因此BM=MC,M是BC的中点,即x=2.MNMC
【答案】
[1]证明:
在正方形ABCD中,AB=BC=CD=4,zB=zC=90°,
•/AM±MN,
/.zAMN=90°,
/.zCMN+zAMB=90°.
在RfABM中,zMAB+zAMB=90°z
/.zCMN=zMAB,
」.RfABMsRfMCN.
⑶解:
vzB=zAMN=90°,
.•・要使△ABM-aAMN,必须有更=—,AMMN
由⑴知以=竺,
MNMC
AB_AB
'BM"MC#
...BM=MC,
3.相似三角形与圆
以上两图常见于相似三角形与圆结合考查的题目中,左图应用到同弧所对的圆周角柜等,右图实际上是圆内部的一个双垂直图形,利用直径所对的圆周角为直角。
接下来请看例题。
【例5】(2007肇庆22]如图,是SBC的外接圆,CD是AB边上的
高,AE是OO的直径,求证:
AC・BC=AE・CD、
【解析】此题考查同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角为直角。
看到要求边长的乘积等量关系,第一反应即是将乘法转换成边的比例。
于是将
AC・BC=AE・CD可转变为坐=坐,找到此4条边对应的三角形〔连接EC〕,证
明即可。
【答案】证明:
连接EC,
/.zB=zEs
.•.AE是。
。
的直径,
/.zACE=90°.
「CD是AB边上的高,/.zCDB=90°.
在3EC与KBD中,zE=zB,zACE=zCDB,
/.△AEC-aCBDs
.AE_AC
''BC-CD*
即AC・BC二AE・CD、
【例6】[2018黔东南州〕如图以3BC的边BC为直径作O。
分别交AB,
AC于点F.点E,AD±BCTD,AD交于。
。
于M,交BE于H.
求证:
DM2=DH・DA、
【解析】此题考查的是双垂直模型在圆中的应用,看到有直径,有垂直直径的辘和想到这个模型。
要证明DM2=DH・DA,即鳄噎,但此比例式并非两个相似三角形中对应线段比例式,故利用双垂直模型进行转换,先连接DM、CM,证明^DMiMDC,得到黑=约得到
MDCD
MD2=BD-CD,再证明△BD2ADC,即=叫,BD-CD=DH-DA,再用
ADDC
等量代换即可。
【答案】证明:
连接BM,CM,・・・BC为O。
直径,/.zBMC=zBEC=90°f-/MD±BC,・・.nC+nCMD=90。
,\zCMD+zBMD=90°.
/.zMCD=zBMD,zMDC=zMDB=90°,
「.△BDMiMDC,.•.2=—,.•.MD2=BD・CD,MDCD
\zAHE=zBHD,zAEH=zHDB=90°,・・.nDBH=nDAC,zBDH=zADC=90°f."BDHsADC,.微4,BD・CD=AD・DHf/.DM2=DH>DAS
4.相似三角形与函数
相似三角形与函数结合,往往难度较大,出现在中考较靠后的解答题中,
也是中考考察的一大专题。
本文暂只举两个例子说明。
【例7】〔2018广州23〕反比例函数y二三(m为常数)的图象经过点A〔・
1,6].
(1)求m的值;
〔2〕如图9,过点A作直线AC与函数y二厘的图象交于点B,与x轴
X
交于点C,且AB=2BC,求点C的坐标.
【解析】此题难度不大为反比例函数与相似三角形结合考查的是''A字型〃。
出现AB=2BC,实际上就是边长的比例关系,于是分别过点A、B作x轴的垂
线,垂足分别为点D、E,得到相似三角形从而求解。
【答案】解:
⑴.•.图像过点A(-1,6),胃=6./.m=2;
(2)分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为点D、E,
由题意得,AD=6,OD=1Z易知,ADllBE,
「.△CBEiCAD,,”些.
CAAD
・「AB=2BC,.•.又」
CA3
-1BE・np_q
36
即点B的纵坐标为2
当y=2时,x=-3,易知:
直线AB为y=2x+8,
•.C(-4,0)
【例8】如图,抛物线的方程Ci:
y二二(x+2)[x-m][m>0]与x轴相交m
于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.
〔1〕假设抛物线Cl过点M〔2,2〕,求实数m的值;
⑵⑶略;
〔4〕在第四象限内,抛物线Ci上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与3CE相似?
假设存在,求m的值;假设不存在,请说明理由.
图1图2
【解析】〔1〕将点〔2,2〕的坐标代入抛物线解析式,即可求得m的值;
(4)本问要使得以点B、C、F为顶点的三角形与YCE相似,没说明对应顶点,顾要分类讨论,又由于根据条件,zBEC为钝角,当点F在第四象限的抛物线上时,zBCF为钝角,故nBEC二nBCF,为对应角。
于是本问需分两种情况进行讨论:
①当△BEC^BCF时,如答图1所示,有fl=*.此时可求得m=2V2+2;
BCBF
②当ABECs阡CB时,如答图2所示,有能=底.此时可以得到矛盾的等式,BFBC
故此种情形不存在.
【答案】解:
〔1〕依题意,将M〔2,2〕代入抛物线解析式得:
2=-1〔2+2〕[2-m],解得m=4.
m
〔4〕①当△BECs^BCF日寸,如图1喷.
那么巴=四,,BC2=BE・BFBCBF
由〔2〕知B〔-2,0〕,E〔0,2〕,即OB=OBz/.zEBC=45°,/.zCBF=45°,
作FT_Lx轴于点F,那么BT=TF.
.•可令F〔x,-x-2〕〔x>0〕,又点F在抛物线上,
-x-2=--〔x+2〕[x-m),,/x+2>0「.x>0],m
/.x=2m,F(2m,-2m-2].
此时BF=J(2m+2)。
+(-2m+2>=2而m+1),BE=2&,BC=m+2,
又BC2=BE・BF,〔m+1〕2=2桓•2网(m+1),
,m=2±2尼,
•/m>0,,m=2亚+2.
②当△BECs^FCBH寸,女口图2.
那么里=巴,,BC2=EC・BF.
BFBC
同①,•.nEBC=nCFB,沏…灯,”=里,,
—BT0Cm
.■可令F〔x,,[x+2]][x>0)m
又点F在抛物线上,「「a〔x+2〕=1〔x+2〕〔x-m〕,
mm
\x+2>0(/x>0],
/.x=m+2,.二F(m+2,--〔m+2〕〕,EC=Vm2+4,BC=m+2,
m
又BC2=EC・BF,〔m+2〕2=•J(ra+2+2)2+
vnr整理得:
0=16z显然不成立.
综合①②得,在第四象限内,抛物线上存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与^BCE相似,m=m=2亚+2.
以上为相似三角形板块与中考结合考法的简要说明,希望对大家复习能够有所帮助。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 最新 中考 数学 备考 相似 三角形