1996考研数二真题及解析.docx
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1996考研数二真题及解析
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)设
则
______.
(2)
______.
(3)微分方程
的通解为______.
(4)
______.
(5)由曲线
及
所围图形的面积
______.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)设当
时,
是比
高阶的无穷小,则()
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)设函数
在区间
内有定义,若当
时,恒有
则
必是
的()
(A)间断点(B)连续而不可导的点
(C)可导的点,且
(D)可导的点,且
(3)设
处处可导,则()
(A)当
必有
(B)当
必有
(C)当
必有
(D)当
必有
(4)在区间
内,方程
()
(A)无实根(B)有且仅有一个实根
(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根
(5)设
在区间
上连续,且
(
为常数),由曲线
及
所围平面图形绕直线
旋转而成的旋转体体积为()
(A)
(B)
(C)
(D)
三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)
(1)计算
.
(2)求
.
(3)设
其中
具有二阶导数,且
求
.
(4)求函数
在
点处带拉格朗日型余项的
阶泰勒展开式.
(5)求微分方程
的通解.
(6)设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为
用过此柱体底面的短轴与底面成
角(
)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积
.
四、(本题满分8分)
计算不定积分
.
五、(本题满分8分)
设函数
(1)写出
的反函数
的表达式;
(2)
是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.
六、(本题满分8分)
设函数
由方程
所确定,试求
的驻点,并判别它是否为极值点.
七、(本题满分8分)
设
在区间
上具有二阶导数,且
试证明:
存在
和
使
及
.
八、(本题满分8分)
设
为连续函数,
(1)求初值问题
的解
其中
为正的常数;
(2)若
(
为常数),证明:
当
时,有
.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】
.
(2)【答案】
【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有
原式
.
【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质:
若
在
上连续且为奇函数,则
;
若
在
上连续且为偶函数,则
.
(3)【答案】
【解析】因为
是常系数的线性齐次方程,其特征方程
有一对共轭复根
故通解为
.
(4)【答案】
【解析】因为
时,
(
为常数),所以,
原式
.
(5)【答案】
【解析】曲线
的交点是
当
时
(单调上升)在
上方,于是
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(A)
【解析】方法1:
用带皮亚诺余项泰勒公式.由
可得
应选(A).
方法2:
用洛必达法则.由
有
又由
.
应选(A).
(2)【答案】(C)
【解析】方法一:
首先,当
时,
.
而按照可导定义我们考察
由夹逼准则,
故应选(C).
方法二:
显然,
由
得
即
有界,且
.
故应选(C).
方法三:
排除法.
令
故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C).
【相关知识点】定理:
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
(3)【答案】(D)
【解析】方法一:
排除法.例如
则(A),(C)不对;又令
则(B)不对.故应选择(D).
方法二:
由
对于
存在
使得当
时,
.
由此,当
时,由拉格朗日中值定理,
从而有
故应选择(D).
【相关知识点】拉格朗日中值定理:
如果函数
满足
(1)在闭区间
上连续;
(2)在开区间
内可导,
那么在
内至少有一点
(
),使等式
成立.
(4)【答案】(C)
【解析】令
则
故
是偶函数,考察
在
内的实数个数:
(
).
首先注意到
当
时,由零值定理,函数
必有零点,且由
在
单调递增,故
有唯一零点.
当
时,
没有零点;
因此,
在
有一个零点.又由于
是偶函数,
在
有两个零点.故应选(C).
【相关知识点】零点定理:
设函数
在闭区间
上连续,且
与
异号(即
),那么在开区间
内至少有一点
使
.
(5)【答案】(B)
【解析】
见上图,作垂直分割,相应于
的小竖条的体积微元
于是
故选择(B).
三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)
(1)【解析】方法一:
换元法.
令
则
所以
.
方法二:
换元法.
令
则
.
方法三:
分部积分法和换元法结合.
原式
令
则
原式
.
【相关知识点】1.
2.
时,
.
(2)【解析】方法一:
.
方法二:
.
方法三:
换元法.
令
则
原式
.
(3)【解析】这是由参数方程所确定的函数,其导数为
所以
.
(4)【解析】函数
在
处带拉格朗日余项的泰勒展开式为
.
对于函数
有
所以
故
.
(5)【解析】方法一:
微分方程
对应的齐次方程
的特征方程为
两个根为
故齐次方程的通解为
.
设非齐次方程的特解
代入方程可以得到
因此方程通解为
.
方法二:
方程可以写成
积分得
这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为
.
方法三:
作为可降阶的二阶方程,令
则
方程化为
这是一阶线性非齐次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解为
再积分得
.
【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构:
设
是二阶线性非齐次方程
的一个特解.
是与之对应的齐次方程
的通解,则
是非齐次方程的通解.
2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法:
对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
可用特征方程法求解:
即
中的
、
均是常数,方程变为
.其特征方程写为
在复数域内解出两个特征根
;
分三种情况:
(1)两个不相等的实数根
则通解为
(2)两个相等的实数根
则通解为
(3)一对共轭复根
则通解为
其中
为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程
的一个特解
可用待定系数法,有结论如下:
如果
则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
的特解,其中
是与
相同次数的多项式,而
按
不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果
则二阶常系数非齐次线性微分方程
的特解可设为
其中
与
是
次多项式,
而
按
(或
)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为
或
.
4.一阶线性非齐次方程
的通解为
其中
为任意常数.
(6)【解析】建立坐标系,底面椭圆方程为
.
方法一:
以垂直于
轴的平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,
其中一条直角边长为
另一条直角边长为
故截面面积为
.
楔形体的体积为
.
方法二:
以垂直于
轴的平面截此楔形体所得的截面为矩形,
其中一条边长为
另一条边长为
故截面面积为
楔形体的体积为
.
四、(本题满分8分)
【解析】方法一:
分部积分法.
.
方法二:
换元法与分部积分法结合.
令
则
.
五、(本题满分8分)
【分析】为了正确写出函数
的反函数
并快捷地判断出函数
的连续性、可导性,须知道如下关于反函数的有关性质.
【相关知识点】反函数的性质:
①若函数
是单调且连续的,则反函数
有相同的单调性且也是连续的;②函数
的值域即为反函数
的定义域;③
故函数
的不可导点和使
的点
对应的值
均为
的不可导点.
【解析】
(1)由题设,函数
的反函数为
(2)方法一:
考察
的连续性与导函数.注意
在
区间上
分别与初等函数相同,故连续.在
处分别左、右连续,故连续.易求得
由于函数
在
内单调上升且连续,故函数
在
上单调且连续,没有间断点.
由于仅有
时
且
故
是
的不可导点;仅有
是
的不可导点(左、右导数
但不相等),因此
在
处不可导.
方法二:
直接考察
的连续性与可导性.注意
在
区间上
分别与初等函数相同,故连续.在
处分别左、右连续,故连续,即
在
连续,没有间断点.
在
内分别与初等函数相同,这些初等函数只有
在
不可导,其余均可导.在
处,
不
.在
处,
.
因此,
在
内仅有
与
两个不可导点.
六、(本题满分8分)
【解析】方程两边对
求导,得
①
令
得
代入原方程得
解之得唯一驻点
;对①两边再求导又得
.②
以
代入②得
是极小点.
【相关知识点】1.驻点:
通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点).
2.函数在驻点处取得极大值或极小值的判定定理.
当函数
在驻点处的二阶导数存在且不为零时,可以利用下述定理来判定
在驻点处取得极大值还是极小值.
定理:
设函数
在
处具有二阶导数且
那么
(1)当
时,函数
在
处取得极大值;
(2)当
时,函数
在
处取得极小值.
七、(本题满分8分)
【解析】首先证明
使
:
方法一:
用零点定理.主要是要证明
在
有正值点与负值点.不妨设
.
由
与极限局部保号性,知在
的某右邻域,
从而
因而
;类似地,由
可证
.由零点定理,
使
.
方法二:
反证法.假设在
内
则由
的连续性可得
或
不妨设
.由导数定义与极限局部保号性,
从而
与
矛盾.
其次,证明
:
由于
根据罗尔定理,
使
;又由罗尔定理,
.
注:
由
可得:
在
;在
.注意由
得不到
在
单调增的结果!
【相关知识点】1.零点定理:
设函数
在闭区间
上连续,且
与
异号(即
),那么在开区间
内至少有一点
使
.
2.函数极限的局部保号性定理:
如果
且
(或
),那么存在常数
使得当
时,有
(或
).
3.函数极限局部保号性定理的推论:
如果在
的某去心邻域内
(或
),而且
那么
(或
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