初一几何三角形内外角平分线模型.docx
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初一几何三角形内外角平分线模型
初一几何——双角平分线模型
1.在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∠1+∠2=50°,则∠A的度数为(A.80度B.
2.如图,△ABC中,∠A=50°,D是BC延长线上一点,∠ABC和∠ACD的平分线交于点B.
50度
C.100度
D.110度
E,则∠E的度数为(
20°
C.25°
D.30°
3.如图在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于O,CE为外角∠ACD的平分线,BO的延长线交于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,则以下结论①∠1=2∠2,②∠BOC=3∠2,③∠BOC=90°+∠1,∠BOC=90°+∠2正确的是()
A.①②③B.①③④
4.如图,∠ABD、∠ACD的角平分线交于点
A.15°B.20°
5.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,得∠A2;⋯⋯;
C.①④D.①②④
P,若∠A=60°,∠D=20°,则∠P的度数为(
C.25°D.30°
CE
④
∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018,得∠A2018.如果∠A=80°,则∠A2018的度数
6.已知△ABC,下列说法正确的是
①如图
(1),若点
P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,则∠
则∠P=90°∠A;
②如图
(2),若点
P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点,
③如图(3),若点
P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点,
则∠P∠A.
7.已知:
如图,O是△ABC内一点,且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB,若∠A=46°,求∠BOC=
第8题图
8.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠ACD=76°,BE平分∠ABC,CE平分△ABC的外角∠ACD,则∠E=
9.如图,△ABC中,∠C=104°,BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F,则∠F=第1页(共15页)
10.如图,在△ABC中,∠B=90°,∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H,求∠H的度数.
12.甲乙两同学对同一个图形进行研究,如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=.(说明:
本题中角的大小均可用á表示);
(1)甲同学不断调整图中射线BO、CO的位置,如图②,∠CBO∠ABC,∠BCO∠ACB,∠A=α,则∠
BOC=,并请你帮他说明理由.
(2)由
(1)方法,甲同学猜想:
如图③,当∠CBO∠ABC,∠BCO∠ACB,∠A=α,∠BOC=
(3)乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形⋯,探究角平分线组成的∠O与多边
形其他角的关系.如图④,在四边形ABCD中,BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD,试探究∠O与∠A、∠D的数量关系,并说明理由.
(4)仿照(3)的方法,如图⑤,在六边形ABCDEF中,BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD,请直接写出∠O与∠A、∠D、∠E、∠F的数量关系:
.
13.
(1)如图1,已知△ABC,BF平分外角∠CBP,CF平分外角∠BCQ.试确定∠A和∠F的数量关系;
(2)如图2,已知△ABC,BF和BD三等分外角∠CBP,CF和CE三等分外角∠BCQ.试确定∠A和∠F的数
(3)如图3,已知△ABC,BF、BD和BM四等分外角∠CBP,CF、CE和CN四等分外角∠BCQ.试确定∠A和∠F的数量关系;
4)如图4,已知△ABC,将外角∠
CBP进行n等分,
BF是临近BC边的等分线,将外角∠
BCQ进行n等分,
CF是临近BC边的等分线,试确定∠
A和∠F的数量关系.
14.
(1)如图若∠A=n°
(2)如图(3)如图
1,O是△ABC内一点,则∠BOC=;O是△ABC外一点,O是△ABC外一点,
2,
3,
BO,
BO,
BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB、若∠A=46°,
则∠BOC=
CO分别平分△ABC的外角∠CBE,∠BCF.若∠
A=n°,求∠BOC;BOC.
第4页(共15页)
初一几何——双角平分线模型
参考答案与试题解析
A.80度B.50度C.100度
【解答】解:
∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∠1+∠2=50∴∠ABC=2∠1,∠ACB=2∠2,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠1+∠2)=100°,∵△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠A=180°﹣100°=80°.
故选:
A.
∠ABC和∠ACD的平分线交于点
E,则∠E的度数为(
A.40°B.20°C.25°D.30°
【解答】解:
∵由三角形的外角的性质可知,∠E=∠ECD﹣∠EBD,
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E,
∴∠EBC∠ABC,∠ECD∠ACD,
∵∠ACD﹣∠ABC=∠A=50°,
∴(∠ACD﹣∠ABC)=25°,
∴∠E=∠ECD﹣∠EBD=25°,故选:
C.
3.如图在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于O,CE为外角∠ACD的平分线,BO的延长线交CE于点E,记∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,则以下结论①∠1=2∠2,②∠BOC=3∠2,③∠BOC=90°+∠1,④∠BOC=90°+∠2正确的是()
A.①②③B.①③④C.①④D.①②④
【解答】解:
∵CE为外角∠ACD的平分线,BE平分∠ABC,
∴∠DCE∠ACD,∠DBE∠ABC,
又∵∠DCE是△BCE的外角,
∴∠2=∠DCE﹣∠DBE,
(∠ACD﹣∠ABC)
∠1,故①正确;
∵BO,CO分别平分∠ABC,
∴∠OBCABC,∠OCB∠ACB,
∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)
=180°(∠ABC+∠ACB)
=180°(180°﹣∠1)
=90°∠1,故②、③错误;
∵OC平分∠ACB,CE平分∠ACD,
∴∠ACO∠ACB,∠ACEACD,
∴∠OCE(∠ACB+∠ACD)180°=90°,
∵∠BOC是△COE的外角,
∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2,故④正确;故选:
C.
4.如图,∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=60°,∠D=20°,则∠P的度数为()
A.15°B.20°C.25°D.30°
【解答】解:
延长AC交BD于点E,
设∠ABP=α,
∵BP平分∠ABD,
∴∠ABE=2α,
∴∠AED=∠ABE+∠A=2α+60°,
∴∠ACD=∠AED+∠D=2α+80°,
∵CP平分∠ACD,
∴∠ACP∠ACD=α+40°,
∵∠AFP=∠ABP+∠A=α+60°,
∠AFP=∠P+∠ACP
∴α+60°=∠P+α+40°,
∴∠P=20°,
故选:
B.
5.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,
得∠A2;⋯⋯;∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018,得∠A2018.如果∠A=80°,则∠A2018的度数是()
2018
A.80B.80
C.40D.
【解答】解:
∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,∴∠A1BC∠ABC,∠A1CD∠ACD,由三角形的外角性质,∠ACD=∠A+∠ABC,
∠A1CD=∠A1+∠A1BC,
(∠A+∠ABC)=∠A1+∠A1BC=∠A1∠ABC,整理得,∠A1∠A80°=40°;
同理可得
∠An80
故选:
D.
.填空题(共4小题)
③如图(3),若点
【解答】解:
①正确.∵P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,
P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点,则∠
∴∠PBC+∠PCB(∠ABC+∠ACB)(180°﹣∠A)=90°∠A,
∴∠P=180°(∠ABC+∠ACB)=180°﹣90°∠A=90°∠A;
②正确.∵BP、CP为△ABC两外角的平分线,
∴∠BCP∠BCE(∠A+∠ABC),∠PBC∠CBF(∠A+∠ACB),
由三角形内角和定理得:
∠BPC=180°﹣∠BCP﹣∠PBC
=180°[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]
=180°(∠A+180°)
=90°∠A.
③正确.∵BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,
∴∠PBC∠ABC,∠PCE∠ACE,
∵∠ACE是△ABC的外角,∠PCE是△BPC的外角,
∴∠ACE=∠ABC+∠A,∠PCE=∠PBC+∠P,
∴∠ACE∠ABC∠A,
∴∠ABC∠A=∠PBC+∠P,
∠P∠A;
故答案为①②③.
7.已知:
如图,O是△ABC内一点,且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB,若∠A=46°,求∠BOC=113°
解答】解:
∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,
∴∠OBC+∠OCB∠ABC∠ACB(∠ABC+∠ACB),
∵∠A=46°,
∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)
=180°﹣67°
=113°.
故答案为:
113°.
8.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠ACD=76°,BE平分∠ABC,CE平分△ABC的外角∠ACD,则∠E=18°
解答】解:
∵BE平分∠ABC,CE平分△ABC的外角∠ACD,
∴∠EBC∠ABC=20°,∠ECD∠ACD=38°,
∵∠ECD=∠EBC+∠E,
∴∠E=38°﹣20°=18°,故答案为18°.
9.如图,△ABC中,∠C=104°,BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F,则∠F=52°
解答】解:
∵BF平分∠ABC,AE平分∠DAB,
∴∠ABF∠ABC,∠EAB∠DAB,
∵∠DAB﹣∠ABC=∠C=104°,
∴∠F=∠EAB﹣∠ABF(∠DAB﹣∠ABC)=52
故答案为:
52°.
解答】解:
∵CH、AD分别为∠ACB、∠CAF的平分线,
∴∠CAD∠CAF=∠H∠ACB(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
又∵∠CAF=∠B+∠ACB=90°+∠ACB(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
即∠CAF∠ACB=45
∴∠H∠CAF∠ACB=45°.
11.如图①,∠ACD是△ABC的外角,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、CE交于点E.
(1)如果∠A=60°,∠ABC=50°,求∠E的度数;
(2)猜想:
∠E与∠A有什么数量关系;(写出结论即可)
(3)如图②,点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点,探索∠E与∠A之间的数量关系,并说明理由.
【解答】解:
(1)根据外角的性质得∠ACD=∠A+∠ABC=60°+50°=110°,∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,
∴∠1∠ACD=55°,∠2∠ABC=25°
∵∠E+∠2=∠1,
∴∠E=∠1﹣∠2=30°;
2)猜想:
∠E∠A;
(3)∵BE、CE是两外角的平分线,
∴∠2∠CBD,∠4∠BCF,
而∠CBD=∠A+∠ACB,∠BCF=∠A+∠ABC,
∴∠2(∠A+∠ACB),∠4(∠A+∠ABC).
∵∠E+∠2+∠4=180°,
∴∠E(∠A+∠ACB)(∠A+∠ABC)=180°,
即∠E∠A(∠A+∠ACB+∠ABC)=180°.
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,
12.甲乙两同学对同一个图形进行研究,如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=(90)°.(说明:
本题中角的大小均可用á表示);
(1)甲同学不断调整图中射线BO、CO的位置,如图②,∠CBO∠ABC,∠BCO∠ACB,∠A=α,则∠
BOC=120°∠α,并请你帮他说明理由.
(2)由
(1)方法,甲同学猜想:
如图③,当∠CBO∠ABC,∠BCO∠ACB,∠A=α,∠BOC=
(3)乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形⋯,探究角平分线组成的∠O与多边
形其他角的关系.如图④,在四边形ABCD中,BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD,试探究∠O与∠A、∠D的数量关系∠O(∠A+∠D),并说明理由.
(4)仿照(3)的方法,如图⑤,在六边形ABCDEF中,BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD,请直接写出∠O与∠A、∠D、∠E、∠F的数量关系:
∠O(∠A+∠∠D+∠E+∠F)﹣
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣α,∵OB、CO分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠OBC∠ABC,∠OCB∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB(∠ABC+∠ACB)=90°,
∴∠O=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣90°(90)°;故答案为:
(90)
(1)根据∠CBO∠ABC,∠BCO∠ACB,∠A=α,运用三角形内角和定理,即可得到∠BOC=120°∠
α;
(2)根据∠CBO∠ABC,∠BCO∠ACB,∠A=α,运用三角形内角和定理,即可得到∠BOC
(3)四边形边形ABCDEF的内角和为:
(4﹣2)?
180°=360°,∵OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD,
∴∠OBC∠ABC,∠OCB∠BCD,
∴∠O=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°∠ABC∠BCD
=180°(∠ABC+∠BCD)
=180°(360°﹣∠A﹣∠D)
(∠A+∠D)
(4)六边形ABCDEF的内角和为:
(6﹣2)?
180°=720°,∵OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD,
∴∠OBC∠ABC,∠OCB∠BCD,
∴∠O=180°﹣∠OBC﹣∠OCD
=180°
∠ABC∠BCD
=180°
(∠ABC+∠BCD)
=180°
(720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F)
(∠A+∠B+∠E+∠F)﹣180
故答案为:
(∠A+∠B+∠E+∠F)﹣180°13.
(1)如图1,已知△ABC,BF平分外角∠CBP,CF平分外角∠BCQ.试确定∠A和∠F的数量关系;
(2)如图2,已知△ABC,BF和BD三等分外角∠CBP,CF和CE三等分外角∠BCQ.试确定∠A和∠F的数
(3)如图3,已知△ABC,BF、BD和BM四等分外角∠CBP,CF、CE和CN四等分外角∠BCQ.试确定∠A和∠F的数量关系;
解答】解:
(1)由已知得
∵∠CBP=∠A+∠ACB,∠BCP=∠A+∠ABC,
(2)由已知得,
∵∠CBP=∠A+∠ACB,∠BCP=∠A+∠ABC,
(3)由已知得,
∵∠CBP=∠A+∠ACB,∠BCP=∠A+∠ABC,
(4)由已知得,
∴∠CBP=∠A+∠ACB,∠BCP=∠A+∠ABC,
14.
(1)如图1,O是△ABC内一点,且BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB、若∠A=46°,则∠BOC=113°若∠A=n°,则∠BOC=;
(2)如图2,O是△ABC外一点,BO,CO分别平分△ABC的外角∠CBE,∠BCF.若∠A=n°,求∠BOC;
(3)如图3,O是△ABC外一点,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACD.若∠A=n°,求∠BOC.
【解答】解:
(1)∵∠COB=180°﹣(∠OBC+∠OCB),而BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠OBC∠ABC,∠OCB∠ACB
∴∠BOC=180°(∠ABC+∠ACB)
=180
(180°﹣∠A)
=90°∠A
=113°,
故∠BOC=113°.
∴若∠A=n°,则∠BOC;
(2)∵∠COB=180°﹣(∠OBC+∠OCB),而BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠OBC∠EBC,∠OCB∠FCB
∴∠BOC=180°
(∠EBC+∠FCB),
而∠EBC=180°
﹣∠ABC,∠FCB=∠180°﹣∠
ACB
∴∠BOC=180°
(180°+∠A)
=90°∠A,
(3)∵∠COB=∠4﹣∠2,∠A=∠ACD﹣∠ABC,而BO,CO分别平分∠ABC,∠ACD,
∴∠ACD=2∠4,∠ABC=2∠2,
∴∠A=2∠COB,
∴∠BOCn°.
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