常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法.docx

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常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

摘要

高阶的线性微分方程可通过变量代换转化为一阶线性微分方程组，通过向量的引入及广泛的应用矩阵代数矩阵理论可将一阶线性微分方程组简化为一阶的矩阵微分方程，这给微分方程的形式和计算带来了很大方便。

计算一阶矩阵微分方程关键就是求其基解矩阵，目前常数矩阵的基解矩阵研究已达到成熟。

本文将对常数矩阵微分方程的基解矩阵的求法做系统的总结，包括相似对角化方法，分解初值的方法，若尔当标准型方法，待定系数法以及拉普拉斯变换法等方法。

关键词：

矩阵;微分方程;基解矩阵；计算方法

computationalmethodtosolvethefundamentalsolutionmatrixofConstantmatrixdifferential

equation

Abstract

Accordingtovariabletransformation,wecanchangethehigh-orderlineardifferentialequationsintothefirstorderdifferentialequations,thenweintroducethevetorandapplythematrixtheoryofmatrixalgebratochangethefirstorderdifferentialequationsintothefirstmatrixdifferentialequation,whichmakegreatconvenienceinthecomputationandtheformofdifferentialequation.Thekeytosolvethefirstorderdifferentialequationistofindoutitsfundamentalsolutionmatrix.Nowadays,thescientistsofmathehavebeendevelopedthedeepresearchoffundamentalsolutionmatrixofconstantmatrice.

Thispapermainlyhasacomprehensivesummarizeonthemethodstosolvethefundamentalsolutionmatrixofconstantmatricedifferentialequation,includingthemethodsimilartothediagonal,themethodtodecompositevalue,theJordanStandardMethod,themethodofundeterminedcoefficientsandthemethodofLaplacetransformandsoon.

Keywords:

matrix;differentialequation;fundamentalsolutionmatrix;themethodto

computate

1

第1章引言................................................................................................................................................1第2章基本概念及定理.........................................................................................................................3

2.1基本定义......................................................................................................................32.2基本定理......................................................................................................................4第3章基解矩阵的求解.........................................................................................................................5

3.1利用相似对角化求解..............................................................................................................53.2利用特征值与特征向量公式..................................................................................................63.3利用分解初值的方法...............................................................................................................73.4利用若尔当标准型求解.........................................................................................................123.5待定系数法...............................................................................................................................163.5.1利用特征多项式或最小多项式法.............................................................................163.5.2利用putzer定理...........................................................................................................193.6拉普拉斯变换法......................................................................................................................22参考文献.....................................................................................................................................................24致谢..............................................................................................................................错误！

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常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

第1章引言

线性微分方程理论中在微分方程理论中线性微分方程是非常重要的一部分内容，也是研究非线性微分方程的基础。

对于一阶线性微分方程组

'=a11（t）x1+a12（t）x2++a1n（t）xn+f1（t）⎧x1⎪

'=a21（t）x1+a22（t）x2++a2n（t）xn+f2（t）⎪x2

，（1.1）⎨

⎪

⎪x'=a（t）x+a（t）x++a（t）x+f（t）n11n22nnnn⎩n

其中已知函数aij

（t）（i,j=1,2,

n）和fi（t）（i=1,2,,n）在区间a≤t≤b上是连续的，方

xn'是线性的

程组（0.1）关于x1,x2,

xn及x1',x2',

令

⎡a11（t）a12（t）

⎢

a21（t）a22（t）⎢A（t）=⎢⎢⎢⎣an1（t）an2（t）

a1n（t）⎤

⎥a2n（t）⎥

，（1.2）⎥⎥ann（t）⎥⎦

⎡x'（t）⎤⎡x1（t）⎤⎡f1（t）⎤1

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'xtft（）（）xt（）x（t）=⎢2⎥x'（t）=⎢2f（t）=⎢2⎥，（1.3）⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥xtft（）（）⎢⎢'⎣n⎥⎦⎣n⎥⎦⎢⎣xn（t）⎥⎦

一阶线性微分方程组转化为矩阵微分方程

x'=A（t）x+f（t）（1.4）

通过变量代换

1

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

⎡x⎤⎡x1⎤⎢x'⎥⎢⎥⎢⎥=⎢x2⎥=x⎢⎥⎢⎥⎢（n-1）⎥⎢⎥⎢⎥⎣x⎦⎣xn⎦

可将高阶的线性微分方程初值问题

⎧dnxdn-1xdx

+at++at+an（t）x=f（t）⎪n1（）n-1（）n-1

dtdt（1.5）⎨dt

⎪x（t）=η,x'（t）=η,,x（n-1）（t）=η

1020n⎩0

转化为一阶矩阵微分方程初值问题

⎧10⎡0

⎪⎢001⎪⎢⎪⎪x'=⎢

⎢⎨00⎢0⎪

⎢-an（t）-an-1（t）-an-2（t）⎪⎣⎪⎪⎩x

（t0）=η

⎤⎡0⎤

⎥⎢0⎥⎥⎢⎥⎥x+⎢⎥⎥⎢⎥1⎥0⎢⎥

⎢f（t）⎥-a1（t）⎥⎦⎣⎦0

其理论定理也可通过一阶矩阵微分方程平行的证明。

从而可将高阶线性微分方程和一阶线性微分方程组统一于一阶矩阵微分方程。

一阶矩阵微分方程（1.4）其形式跟一阶微分方程

x'=a（t）x+f（t）（1.6）

类似。

对应于一阶微分方程的解，一阶矩阵微分方程的解可以用基解矩阵Φ（t）来表述。

所以计算一阶矩阵微分方程的关键就是求其基解矩阵，其中常数矩阵微分方程的计算已经成熟，下面将讨论常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法。

2

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

第2章基本概念及定理

讨论齐次矩阵微分方程

x'=A（t）x（2.1）

常数矩阵系数微分方程

x'=Ax（2.2）

2.1、基本定义

定义2.1.1[1，p208]

如果一个n×n列矩阵的每一列都是x'=A（t）x的解,我们称这个矩阵为x'=A（t）x的解矩阵.如果该矩阵的列在[a,b]上是的线性无关的解组,则称该矩阵为方程组

x'=A（t）x的基解矩阵.用Φ（t）表示方程x'=A（t）x的由ϕ1（t）,ϕ2（t）,…,ϕn（t）

作为列构成的基解矩阵,即Φ（t）=[ϕ1（t）,ϕ2（t）,…,ϕn（t）]

定义2.1.2[1，p219]

如果A是一个n⨯n常数矩阵，定义矩阵指数expA为下面的矩阵级数的和

AkA2

expA=∑=E+A++

2!

k=0k!

∞Am

++m!

（A0=E，0!

=1）（2.3）

其中E为n阶单位矩阵，Am是矩阵A的m次幂。

这个级数对于所有的A都是收敛的，因而，expA是一个确定的矩阵。

相应的

AktA22

expAt=∑=E+At+t+

k!

2!

k=0

∞

k

Amm

+t+m!

矩阵指数expA有如下性质：

[1，p221]

1如果矩阵A，B是可交换的，即AB=BA，则

exp（A+B）=expA+expB

2对于任何矩阵A，（expA）-1存在，且

3

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

（expA）-1=exp（-A）

3如果T是非奇异矩阵，则

exp（T-1AT）=T-1（expA）T

2.2、基本定理

定理2.2.1[1p208]

x'=A（t）x的一个解矩阵Φ（t）是基解矩阵的充要条件是detΦ（t）≠0（a≤t≤b）,而且,

如果对某一t0∈[a,b],detΦ（t0）≠0,则detΦ（t）≠0（a≤t≤b）。

定理2.2.2[1p208]

x'=A（t）x一定存在一个基解矩阵Φ（t），如果Φ（t）是（2.1）的任一解，那么

Φt（）ψ（t）=c（2.4）

这里c是确定的n维常数列向量。

定理2.2.3[1p209，推论1]

如果是x'=A（t）x在a≤t≤b的基解矩阵。

C是非奇异n⨯n常数矩阵。

那么，Φ（t）C也是

x'=A（t）x在a≤t≤b区间上的基解矩阵。

定理2.2.4[1,p210,推论2]

如果Φ（t）,ψ（t）在a≤t≤b上是（2.1）的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异n⨯n常数矩阵C，使得在区间a≤t≤b上

ψ（t）=Φ（t）C（2.5）

定理2.2.5[1p221]矩阵

Φ（t）=expAt（2.6）

是x'=Ax的基解矩阵，且Φ（0）=E.定理2.2.6[1p228]

基解矩阵expAt与任一基解Φ（t）有如下关系expAt=Φ（t）Φ-1（0）（2.7）

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常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

第3章基解矩阵的求解

本章讨论常数矩阵系数微分方程

x'=Ax

基解矩阵的求法，其中A是n⨯n常数矩阵由定理2.2.5只需求expAt

3.1、利用相似对角化求解

前提：

Ａ可对角化

定理3.1.1

设A∈Cn⨯n是可对角化的，即存在非奇异矩阵T∈Cn⨯nn，使得

T-1AT=diag（λ1,λ2,

λn）=Λ

则有

f（A）=Tdiag（f（λ1）,f（λ2）,

f（λ1n））T-

证明：

+∞+∞+∞

f（A）=∑ak

-1k

kA=∑ak（TΛT）=T（∑akΛk）T-1

k=0

k=0

k=0

+∞+∞

=Tdiag（∑aλk+∞

∑ak

k1

kλ2,

akλkn）T-1

k=0

k=0

∑k=0

=Tdiag（f（λ1）,f（λ2）,

f（λn））T-1

推论

设A∈Cn⨯n是可对角化的，即存在非奇异矩阵T∈Cn⨯nn，使得

T-1AT=diag（λ1,λ2,

λn）=Λ

则有

f（At）=Tdiag（f（λ1t）,f（λ2t）,

f（λnt））T-1

例题1[2p69，例题3.7]

5

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

⎡460⎤

⎥，求矩阵微分方程x'=Ax的基解矩阵expAt-3-50已知A=⎢⎢⎥

⎢⎣-3-60⎥⎦

解：

令A的特征行列式

det（λE-A）=（λ+2）（λ-1）2

解得A的特征值为

λ1=-2，λ2=λ3=1

对于特征值λ1=-2，代入线性方程

（-2E-A）X=O

得其特征向量

T1=（-1,1,1）T

对于特征值λ2=λ3=1，代入线性方程

（I-A）X=O

得两个线性无关的特征向量为

T2=（-2,1,0）T，T3=（0,0,1）T

于是

⎡-1-20⎤⎡-2⎤

⎥使得T-1AT=⎢⎥T=⎢1101⎢⎥⎢⎥

⎢⎢1⎥⎣101⎥⎦⎣⎦

故，

⎡e-2t⎢

expAt=T⎢

⎢⎣

et

⎤⎡2et-2e-2t⎥-1⎢-2tt⎥T=⎢e-e

⎢e-2t-etet⎥⎦⎣

2et-2e-2t2e-2t-et2e-2t-2et

0⎤

⎥0⎥et⎥⎦

3.2、利用特征值与特征向量公式

前提：

A有n个线性无关的特征向量定理3.2.1[1p227]

如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,，那么矩阵λ1,λ2,,λn（不必各不相同）

6

vn，它们对应的特征值分别为

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

Φ（t）=⎡eλ1tv1,eλ2tv2,,eλntvn⎤，-∞

⎣

⎦

是常数矩阵系数微分方程

x'=Ax

的一个基解矩阵。

例题：

利用以上结论解例1（第6页）由例1解得特征值λ1=-2及λ2=λ3=1对应的特征向量分别为

v1=（-1,1,1）T，v2=（-2,1,0）T，v3=（0,0,1）T

由定理3.2.1得其一基解矩阵

⎡-2et0⎤

Φ（t）=⎡⎣

eλ1tv1,eλ2t

vλ2,e3tv3⎤⎦=⎢⎡-1⎤⎡⎢e⎢-2⎤⎥⎡0⎤⎤⎡-e-2t

-2t⎢⎥tt⎢⎥⎥⎢-2tet0⎥⎢⎢1⎥,e⎢1⎥,e⎢0⎥⎥=⎢e⎥⎣

⎢⎣1⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎥⎦⎢⎣e-2t0

et⎥⎦

⎡-1-20⎤-1

Φ-1（0）=⎢⎢110⎥⎡120⎤

=⎢-1-10⎥⎢01⎥⎥⎢21⎥

⎣1⎦⎢⎣-1-⎥⎦

由定理定理2.2.6（第5页）

⎡2et-2e-2t

2et-2e-2t0⎤expAt=Φ（t）Φ-1（0）=⎢

⎢e-2t-et

2e-2t-et0⎥⎢⎥⎣

e-2t-et2e-2t-2et

et⎥⎦

3.3、利用分解初值的方法

定理3.3.1[1p230]

方程（2.2）满足ϕ（0）=η的解ϕ（t）可写为

ϕ（t）=∑k

e

λjt

⎡nj-1⎢ti

j=1

⎢A-λjE⎣

∑i=0i!

（

）i⎥

⎤

⎥

vj

⎦

证明：

假设λ1,λ2,

λk分别是矩阵A的n1,n2,,nk重不同特征值，由线性代数理论有η=v1+v2+

+vk且分解是唯一的。

3.1）3.2）7

（（

广东技术师范学院本科毕业设计（论文）

其中vj∈Uj（j=1,2,,k），Uj是由

（A-λjE）ju=0

产生的nj维子空间故有

n

n

（A-λjE）jvj=0，l≥nj，j=1,2,,k（3.3）

所以

⎡e-λjt⎢

λtλt⎢ejexp（-λjEt）=ej⎢

⎢⎢⎣

⎤⎥⎥

⎥=E⎥-λtej⎥⎦

e

-λjt

所以

（expAt）vj=（expAt）e

λjt

λjt

⎡exp（-λjEt）⎤vj=eλjt⎡exp（A-λjE）t⎤vj

⎣⎦⎣⎦

2⎡t

=e⎢E+t（A-λjE）+A（-λjE2）+

⎢⎣

再由（3.3.2），知微分方程（2.2）的解

tj

+A（-λjEn（j-!

n-1

nj-1

⎤

）⎥vj⎥⎦

ϕ（t）=（expAt）η=（expAt）∑vj=∑（expAt）vj

j=1

j=1

kk

=∑e

j=1

k

λjt

2⎡t⎢E+t（A-λjE）+A（-λjE2）+

⎢⎣

tj

+A（-λjEn（j-!

n-1

nj-1

⎤

）⎥vj

⎥⎦

=∑

k

λjt⎢

e

⎡nj-1i

t⎢⎣

j=1

A-λjE）⎥vj（∑⎢i=0⎥

⎥⎦

i⎤

推论

由公式3.1并注意到

expAt=（expAt）E=⎡⎣（expAt）e1,（expAt）e2,,（expAt）en⎤⎦

依次令η=e1,η=e2,其中

η=en，求得n个解，以这n个解为列做成的矩阵即为expAt。

T

0⎤,e2=⎡010e1=⎡100⎣⎣⎦

例题2[1，p223，例题9]

0⎤⎦,

T

en=⎡⎣0001⎤⎦

T

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常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法

已知微分方程

⎡3-11x'=Ax的系数矩阵A=⎢⎤⎢201⎥

2⎥，求基解矩阵expAt。

⎢⎣1-1⎥⎦

解：

A的特征方程为

det（λE-A）=（λ-1）（λ-2）2=0

λ1=1，λ2=2分别为n1=1，n2=2重特征值，

为了确定三维欧几里得空间的子空间U1和U2考虑下面方程组

（A-E）u=0和（A-2E）2u=0

解方程组

⎡2-11⎤

（A-E）u=⎢⎢2-11⎥u=0⎢-11⎥

⎣1⎥⎦

其解为

u1=[0αα]T

其中α为任意常数。

子空间U1是由向量u1所张成的。

解方程组

⎡000⎤

（A-2E）2u=⎢⎢-110⎥u=0⎢0⎥

⎣-11⎥⎦