平面弯曲习题解答.docx
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平面弯曲习题解答.docx
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平面弯曲习题解答
(2)计算截面1处的剪力和弯矩
假想截面在1处把梁截开,考虑左段梁,截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
n
Fiy0,Fa31kNFqi0
i1
第8-9章平面弯曲
主要知识点:
(1)平■面弯曲的概念;
(2)平■面弯曲力——剪力和弯矩;
(3)剪力图和弯矩图;
平■面弯曲力——剪力和弯矩
1.计算下图所示各梁1、2、3、4截面上的剪力和弯矩
2kNFm
可解
a)
0,
A、D支座反力
12
1312kNm52kNmFD30
2D
n
1Fiy
0,
Fa31kN5kNFD0
Fd
3.83kN
Fa
4.17kN
3kNMi
]5kN
4kN*m
HHU
ii
HU
X山2血讯"
a)
(1)考虑整体平衡,
n
Ma(B)
i1
Fq1
1.17kN
n
Ma(R)
i1
0,
2312kNmFq11M10
2.67kNm
M1
(3)计算截面2处的剪力和弯矩
假想截面2在处把梁截开,考虑左段梁,截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
n
Fiy0,
i1
Fa31kNFq20
Fq2
1.17kN
n
Ma(fd
i1
0,
12
或31kNmFq21M20
2.67kNm
M2
(4)计算截面3处的剪力和弯矩
假想截面在3处把梁截开,考虑右段梁,截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
n
Fiy0,
i1
FQ3
n
Mc(Fi)
i1
Fq35kNFd0
1.17kN
0,
M3Fd10
3.83kNm
M3
(5)计算截面4处的剪力和弯矩
假想截面在4处把梁截开,考虑右段梁,截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
n
Fiy0,
i1
Fq4
Fq4Fd0
3.83kN
n
Mc(B)0,
i1
M4Fd10
M43.83kNm
aw
1
2
3
4
剪力(kN)
1.17
1.17
1.17
-3.83
弯矩(kNm)
2.67
2.67
3.83
3.83
A、C支座反力
b)
得
将上述结果列表如下:
(1)考虑整体平衡,可解
n
Ma(R)0,
i1
4kNmFc4214.5kNm0
1.25kN
n
Fiy
0,
FaFc21kN0
0.75kN
NF
Mi
D
D
(2)计算截面1处的剪力和弯矩
假想截面在1处把梁截开,考虑左段梁,截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
n
/iyi1
FQ1
n
Ma(FD
i1
0.75kN
0,
1.5kNm
Fqi2Mi0
M1
(3)计算截面2处的剪力和弯矩
假想截面2在处把梁截开,考虑左段梁,截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
n
Fiy
i1
Fq2
0,FaFQ20
0.75kN
n
Ma(B)0,
i1
FQ224kNmM20
2.5kNm
M2
(4)计算截面3处的剪力和弯矩
假想截面在3处把梁截开,考虑右段梁,截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
•产i1
0,
FQ3
得
FQ3
0.75kN
n
Mc(Fi)
i1
0,
M3
得
M3
1kN
n
FC21kN0
1212kNm02
(5)计算截面4处的剪力和弯矩
假想截面在4处把梁截开,考虑右段梁,截面处的剪力和弯矩按正方向假设。
21kN0
n
Mc(B)
i1
0,
M4
1
2
得
m4
1kN
m
得
2kN
Fq4
212kNm0
n
.Fiy0,
i1
FQ4
将上述结果列表如下:
aw
1
2
3
4
剪力(kN)
0.75
0.75
0.75
2
弯矩(kNm)
1.5
-2.5
-1
-1
剪力图和弯矩图
2.
建立图示梁的剪力方程和弯矩方程,并画剪力图和弯矩图。
(3)作剪力图和弯矩图
弯矩图是两斜直线,在
C截回处有突尖,矢变量为
Mo
b)
(1)求支座反力
由整体平衡方程(见图
8-2b):
n
Ma(B)0,i1
Fb2
103kNm
0,Fe
315kN
n
Mb(E)0,
Fa2
101kNm
0,F
\5kN
i1
(2)求剪力方程和弯矩方程
梁上任取一截面(见图8-2b),到支座A的距离为x,由截面法得该截面的剪力方程和弯矩方程
AB段:
FQ(x)5kN,M(x)5x,(0x2m)
BC段:
Fq(x)10kN,M(x)10(3x),即M(x)10x30,(2mx3m)
4
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Y_\\-x
A|[口白「口11b甘
图8-2b
(3)作剪力图和弯矩图:
AB、BC段剪力都为常数,剪力图各为一水平直线。
AB、BC段弯矩方程是x的一次函数,弯矩图各为一斜直线。
两点可以确定一条直线,
当x0时,M(0)0;当x2m时,M
(2)10kNm;当x3m时,M(3)0,连
A、B两点可得AB段弯矩图,连B、C两点可得BC段弯矩图,如图8-2b所示。
3.剪力和弯矩的正负号如何确定?
梁在集中力、集中力偶及均布载荷作用下的剪力图和弯矩图有何特点?
答:
在计算力时,为了使考虑左段梁平衡与考虑右段梁平衡的结果一致,对剪力和弯矩的正
负号作以下规定:
剪力:
使截面绕其侧任一点有顺时针转趋势的剪力为正,反之为负。
弯矩:
使受弯杆件下侧纤维受拉为正,使受弯杆件上侧纤维受拉为负。
或者使受弯杆件向下凸时为正,反之为负。
(1)当梁上有集中力作用时,剪力图在集中力作用处有突变,突变量是集中力的大小;弯矩图在集中力作用处产生尖角。
(2)当梁上有集中力偶作用时,剪力图在集中力偶作用处不变;弯矩图在集中力偶作用处有突变,突变量是集中力偶的大小。
(3)梁的某一段有均布载荷作用,则剪力Fq(x)是x的一次函数,弯矩M(x)是x的二次
函数。
剪力图为斜直线;若q(x)为正值,斜线向上倾斜;若q(x)负值,斜线向下倾斜。
弯矩
图为二次抛物线,当q(x)为正值,弯矩图为凹曲线;当q(x)为负值,弯矩图为凸曲线。
4.什么是剪力、弯矩和载荷集度的微分关系?
如何利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图?
答:
载荷集度q(x)、剪力Fq(x)和弯矩M(x)之间的微分关系如下:
dFQ(x)dM(x)d2M(x)
——q(x)Fq(x)捉q(x)
利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图:
1.无分布载荷作用的梁段(q=0)
dFQ(x)
dxdxdx2
由于一0,因此Fq(x)=常数,即剪力图为水平直线。
而dM(x)Fq(x)为常数,dxdx
M(x)是x的一次函数,即弯矩图为斜直线,其斜率由Fq(x)值确定。
(1)当梁上仅有集中力作用时,剪力图在集中力作用处有突变,突变量是集中力的大小;
弯矩图在集中力作用处产生尖角。
(2)当梁上仅有集中力偶作用时,剪力图在集中力偶作用处不变;弯矩图在集中力偶作用处有突变,突变量是集中力偶的大小。
2.均布载荷作用的梁段(q(x)为常数)
由于q(x)q,因此q,即Fq(x)是x的一次函数,M(x)是乂的二次函数,所
dx
以剪力图为斜直线,其斜率由q确定;弯矩图为二次抛物线。
.2..,、
当分布载荷向上(即q>0)时,2*q>0,弯矩图为凹曲线;反之,当分布载荷
dx
dFQ(x)
d2M(x)
向下(即q<0)时,2q<0,弯矩图为凸曲线。
dx
5.指出下图所示各弯矩图的错误,画出正确的弯矩图。
成M
Hnnnw
b)
a)
解:
a)弯矩图的斜率、起点错误,图8-5a为正确的弯矩图;
b)弯矩图应该是斜直线,图8-5b为正确的弯矩图;
d)
c)
解:
c)弯矩图中间一段不为0,图8-5c为正确的弯矩图;
d)弯矩图在支撑处没有突变,图8-5d为正确的弯矩图(设l>2a)。
6.利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系作图示各梁的剪力图和弯矩图
解:
a)
(1)求支座反力
b)
由整体平衡方程(见图8-6a):
n
.Fiy
I1
0,
Faqaqa0,Fa2qa
Maqaaqa2.5a
0,
2
Ma3.5qa
n
I1
Ma(Fi)
0,
(2)作剪力图
图8-6a
AC段剪力图是水平线,大小为2qa,CD段剪力图也是水平线,大小为qa,DB是斜直线,
确定两个控制点Fqdqa,Fqb0,作剪力图如图8-6a所示。
(3)作弯矩图
AC段与CD段的弯矩图是斜直线,求出以下控制截面的弯矩Ma3.5qa2,
1.5qa2,Md0.5qa2,可作这两段斜直线。
DB段由于有均布载荷作用,弯矩图
CB段剪力图是水平线,大小为七。
AC段剪力图是斜直线,确定两个控制点Fqa亨
33
Fqc罗。
作剪力图如图8-6b所示。
3
(3)作弯矩图
12
CB段的弯矩图是斜直线,求出以下控制截面的弯矩:
Mcgqa,Mb0,作出这
段斜直线。
AC段由于有均布载荷作用,弯矩图是一段抛物线。
当剪力为0时(见图7-21所示D点),
弯矩出现极值,即当x5a时,Mmax(|a)1.389qa2。
再求出以下控制截面的弯矩:
33
MA0,Mc4qa2。
画弯矩图如图8-6b所示。
3
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