江苏省盐城市届高三数学第四次模拟考试试题.docx
- 文档编号:4796911
- 上传时间:2022-12-09
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:25.12KB
江苏省盐城市届高三数学第四次模拟考试试题.docx
《江苏省盐城市届高三数学第四次模拟考试试题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《江苏省盐城市届高三数学第四次模拟考试试题.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
江苏省盐城市届高三数学第四次模拟考试试题
江苏省盐城市2019届高三数学第四次模拟考试试题
(满分160分,考试时间120分钟)
2019.5
参考公式:
锥体体积公式:
V=Sh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.
圆柱侧面积公式:
S=2πrl,其中r为圆柱的底面半径,l为圆柱的母线长.
样本数据x1,x2,…,xn的方差s2=(xi-x)2,其中x=xi.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合A={-1,0},B={-1,3},则A∪B=________.
2.已知复数z=(其中i为虚数单位),则|z|=________.
3.双曲线-y2=1的焦距为____________.
4.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.
5.根据如图所示的伪代码,运行后输出的结果为________.
6.现有数学、物理、化学三个兴趣小组,甲、乙两位同学各随机参加一个,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________.
7.若函数f(x)=lg(1+x)+lg(1+ax)是偶函数,则实数a的值________.
8.设A,F分别为椭圆C:
+=1(a>b>0)的右顶点和右焦点,B1,B2为椭圆C短轴的两个端点.若点F恰为△AB1B2的重心,则椭圆C的离心率的值为________.
(第9题)
9.如图,三棱柱ABCA1B1C1的体积为6,O为四边形BCC1B1的中心,则四面体A1B1OB的体积为________.
10.已知正项数列{an}满足an+1=2+++…+,其中n∈N*,a4=2,则a2019=________.
11.已知圆O的半径为2,点A,B,C为该圆上的三点,且AB=2,·>0,则·(+)的取值范围是________.
12.在△ABC中,角A,B,C所对的三边分别为a,b,c,且c2=a2+b2+ab,则的取值范围是________.
13.已知函数f(x)=x+4sinx.若不等式kx+b1≤f(x)≤kx+b2对一切实数x恒成立,则b2-b1的最小值为________.
14.已知max{a,b}=f(x)=max{lnx-tx-,x2-tx-e}(e自然对数的底数).若f(x)≥-2在x∈[1,e]上恒成立,则实数t的取值范围是________.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥ABCD中,AE⊥BC于E,M,N分别是AE,AD的中点.
(1)求证:
MN∥平面BCD;
(2)若平面ABC⊥平面ADM,求证:
AD⊥BC.
16.(本小题满分14分)
设向量a=(2cosx,2sinx),b=(cosx,cosx),函数f(x)=a·b-.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f()=-,且α∈(,π),求cosα的值.
17.(本小题满分14分)
如图,某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓,其中AB=99m,AD=49.5m.现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)个,每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计),塑料薄膜的价格为每平方米10元;另外,还需在每两个大棚之间留下1m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF=1m),这部分的建设造价为每平方米31.4元.
(1)当n=20时,求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积(结果保留π);
(2)试确定大棚的个数,使得上述两项费用的和最低?
(计算中π取3.14)
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
+=1(a>b>0)经过点P(,1),且点P与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上存在两点Q,R,使得△PQR的垂心(三角形三条高的交点)恰为坐标原点O,试求直线QR的方程.
19.(本小题满分16分)
设函数f(x)=x-aex(e为自然对数的底数,a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间(0,1)上具有单调性,求a的取值范围;
(3)若函数g(x)=(ex-e)f(x)有且仅有3个不同的零点x1,x2,x3,且x1 x1+x3≤. 20.(本小题满分16分) 在无穷数列{an}中,an>0(n∈N*),记{an}前n项中的最大项为kn,最小项为rn,令bn=. (1)若{an}的前n顶和Sn满足Sn=. ①求bn; ②是否存在正整数m,n满足=? 若存在,请求出这样的m,n;若不存在,请说明理由; (2)若数列{bn}是等比数列,求证: 数列{an}是等比数列. 2019届高三模拟考试试卷 数学附加题 (满分40分,考试时间30分钟) 21.【选做题】在A,B,C三小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修42: 矩阵与变换) 已知直线l: 2x-y-3=0在矩阵M=所对应的变换TM下得到直线l′,求直线l′的方程. B.(选修44: 坐标系与参数方程) 已知点P是曲线C: (θ为参数,π≤θ≤2π)上一点,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,求点P的坐标. C.(选修45: 不等式选讲) 求不等式4-2|x+2|≤|x-1|的解集. 【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AC=AD=3,PA=BC=4. (1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值; (2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值. 23.某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0,1,2,3,将这个玩具抛掷n次,记第n次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为an,数列{an}的前n和为Sn.记Sn是3的倍数的概率为P(n). (1)求P (1),P (2); (2)求P(n). 2019届高三模拟考试试卷(盐城) 数学参考答案及评分标准 1.{-1,0,3} 2. 3.2 4.6.8 5.37 6. 7.-1 8. 9.1 10. 11.(-6,4] 12.(-1,1) 13.8 14.(-∞,2e-] 15.证明: (1)连结DE,因为M,N分别是AE,AD的中点, 所以MN∥DE.(2分) 又MN平面BCD,DE平面BCD, 所以MN∥平面BCD.(6分) (2)因为平面ABC⊥平面ADM,平面ABC∩平面ADM=AE, BC平面BCD,BC⊥AE, 所以BC⊥平面ADM.(12分) 又AD平面ADM,所以AD⊥BC.(14分) 16.解: (1)因为f(x)=a·b-=(2cosx,2sinx)·(cosx,cosx)- =2cos2x+2sinxcosx-=cos2x+sin2x=2sin(2x+).(4分) 所以f(x)的最小正周期为T==π.(6分) (2)因为f()=-,所以2sin(α+)=-,即sin(α+)=-.(8分) 因为α∈(,π),所以α+∈(,), 故cos(α+)=-=-=-,(10分) 所以cosα=cos[(α+)-]=cos(α+)+sin(α+) =×(-)+×(-)=-.(14分) 17.解: (1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r. 当n=20时,共有19个空地,所以r==2m,(2分) 所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为 S=πr2+πr×AD=π×22+2π×49.5=103π(m2). 即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103πm2.(6分) (2)设两项费用的和为f(n). 因为r==,所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为 S=πr2+πr×AD=π×()2+π×49.5×,(8分) 则f(n)=10nS+31.4×1×49.5(n-1) =10n+31.4×1×49.5(n-1) =31.4×[+49.5×+49.5(n-1)] =×[+99(100-n)+198(n-1)] =×(+100n+9502)=×[100×(+n)+9502].(12分) 所以,当且仅当=n,即n=10时,f(n)取得最小值. 答: 当大棚的个数为10个时,上述两项费用的和最低.(14分) 18.解: (1)由题意,得(2分) 解得所以椭圆C的方程为+=1.(4分) (2)设Q(x1,y1),R(x2,y2).因为QR⊥PO,而kPO=,所以kQR=-, 故可设直线QR的方程为y=-x+m.(6分) 联立消去y,得5x2-4mx+2m2-4=0. 由Δ>0得32m2-20(2m2-4)>0,解得m2<10 (*), 且x1+x2=,x1x2=.(8分) 又QO⊥PR,所以kQO·kPR=-1,得·=-1, 即·=-1,整理,得3x1x2-m(x1+x2)+m2-m=0,(12分) 所以3×-m×+m2-m=0, 即3m2-5m-12=0,解得m=3或m=-均适合(*)式.(14分) 当m=3时,直线QR恰好经过点P,不能构成三角形,不合题意,故舍去. 所以直线QR的方程为y=-x-.(16分) (注: 若增解未舍的,扣1分) 19. (1)解: 当a=1时,f(x)=x-ex,f′(x)=1-ex,f′ (1)=1-e,f (1)=1-e, 故f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-(1-e)=(1-e)(x-1),即y=(1-e)x.(2分) (2)解: 由f′(x)=1-aex, ①若函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,则f′(x)=1-aex≥0恒成立,得a≤e-x恒成立. ∵x∈(0,1),∴e-x∈(,1),∴a≤;(5分) ②若函数f(x)在区间(0,1)上单调递减,则f′(x)=1-aex≤0恒成立,得a≥e-x恒成立. ∵x∈(0,1),∴e-x∈(,1),∴a≥1. 综上,a的取值范围是(-∞,]∪[1,+∞).(8分) (3)证明: 函数g(x)=(ex-e)f(x)的零点即为方程(ex-e)f(x)=0的实数根, 故ex-e=0或f(x)=0. 由ex-e=0,得x=1,(9分) ∴f(x)=0有且仅有2个不等于1的不同零点. 由f(x)=0,得-a=0,设h(x)=-a,则h′(x)=. 由h′(x)=>0,得x<1;由h′(x)=<0,得x>1. 故h(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 故h(x)=0有且仅有2个不等实数根,且1个根小于1,1个根大于1. ∵g(x)=(ex-e)f(x)有且仅有3个不同的零点x1,x2,x3,x1 ∴x1 ∴x1=aex1,x3=aex3,两式相减,得x3-x1=a(ex3-ex1),∴a=, 两式相加,得x1+x3=a(ex1+ex3)=(ex1+ex3)=(x3-x1). 设x3-x1=t,由x1 设φ(t)=,t∈(0,1],(14分) 则φ′(t)=.设p(t)=e2t-2tet-1,t∈(0,1],则p′(t)=2et(et-t-1). 设q(t)=et-t-1,t∈(0,1],则q′(t)=et-1>0在t∈(0,1]上恒成立, ∴q(t)=et-t-1在(0,1]上单调递增,∴q(t)>q(0)=0在(0,1]上恒成立, 则p′(t)>0在(0,1]上恒成立,∴p(t)在(0,1]上单调递增, ∴p(t)>p(0)=0在(0,1]上恒成立,则φ′(t)>0在(0,1]上恒成立, ∴φ(t)在(0,1]上单调递增, ∴φ(t)≤φ (1)=,即x1+x3≤.(16分) 20. (1)解: ①在Sn=中,令n=1,得a1=S1=,解得a1=1,所以Sn=. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=n, 综上,an=n(n∈N*).(2分) 显然{an}为单调递增数列,所以kn=an=n,rn=a1=1,所以bn=.(4分) ②假设存在满足条件的正整数m,n,则=,所以=×. 设cn=,则cn+1-cn=-=,所以c1=c2>c3>c4>c5>…. 由=×,得cm=cn 当m=n+1时,=显然不成立, 当m>n+1时,==2m-n-1. 设m-n-1=t,则t∈N*,=2t,得n=.(8分) 设dn=,则dn+1-dn=-=<0恒成立, 所以数列{dn}单调递减,而d1=2,d2=1,d3=<1,则n≥3时,dn<1恒成立, 故方程n=的解有且仅有t=1,n=2或t=2,n=1. 故满足条件的m,n存在,m=4,n=1或n=2.(10分) (2)证明: 因为an>0(n∈N*),且kn,rn分别为{an}前n项中的最大项和最小项, 所以kn+1≥kn,rn+1≤rn.设数列{bn}的公比为q,显然q>0, ①当q=1时,=1,得=, 若kn+1>kn,则rn+1 故kn+1=kn,则rn+1=rn,则kn=k1=a1,rn=r1=a1,所以an=a1,所以=1, 所以数列{an}是等比数列.(12分) ②当q>1时,=q>1,得=q2>1, 所以>≥1,所以kn+1>kn恒成立. 而kn≥an,所以kn+1=an+1,所以an+1>an恒成立, 所以kn=an,rn=a1,代入=q2得=q2,即=q2, 所以数列{an}是等比数列.(14分) ③当0 所以<≤1,所以rn+1 所以kn=a1,rn=an,代入=q2得=q2,即=q2, 所以数列{an}是等比数列. 综上①②③,数列{an}是等比数列.(16分) 2019届高三模拟考试试卷(盐城) 数学附加题参考答案及评分标准 21.A.解: 在直线l上取点A(1,-1),则 =,故A(1,-1)在矩阵M的变换下得到A′(-1,3).(4分) 再在直线l上取点B(2,1),则 =,在矩阵M的变换下得到B′(-2,9).(8分) 连结A′B′,可得直线l′: 6x+y+3=0.(10分) B.解: 由题意,得曲线C的直角坐标方程为+=1(y≤0),(3分) 直线OP的方程为x.(6分) 联立方程组解得(舍去)或 故点P的直角坐标为(-,-).(10分) C.解: ①当x≤-2时,原不等式可化为4+2(x+2)≤1-x,解得x≤-,此时x≤-;(3分) ②当-2 ③当x≥1时,原不等式可化为4-2(x+2)≤x-1,解得x≥,此时x≥1.(9分) 综上,原不等式的解集为(-∞,-]∪[-1,+∞).(10分) 22.解: (1)设BC的中点为E,由AB=AC,可知AE⊥BC, 故以AE,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图所示),(2分) 则A(0,0,0),P(0,0,4),D(0,3,0),B(,-2,0),C(,2,0). (1)设θ为两直线所成角, 由=(,-2,-4),=(-,1,0), 得cosθ==, 即异面直线PB与CD所成角的余弦值为.(6分) (2)设n1=(x,y,z)为平面PBC的法向量, 因为=(,-2,-4),=(,2,-4), 由·n=0,·n=0, 得取n1=(4,0,). 又平面PAD的一个法向量为n2=(1,0,0). 设α为两个平面所成的锐二面角的平面角,则cosα=||=. 所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.(10分) 23.解: (1)抛掷一次,出现一个0和一个3时符合要求,故P (1)=.(1分) 抛掷两次,出现1+2,2+1,0+0,3+3,0+3,3+0时符合要求,共6种情况, 故P (2)==.(3分) (2)(解法1)设Sn被3除余1的概率为P1(n),Sn被3除余2的概率为P2(n). 则有P(n+1)=P(n)+P1(n)+P2(n) ①, P1(n+1)=P(n)+P1(n)+P2(n) ②, P2(n+1)=P(n)+P1(n)+P2(n) ③,(6分) ①-(②+③),得P(n+1)-[P1(n+1)+P2(n+1)]=-[P1(n)+P2(n)], 化简,得4P(n+1)=P(n)+1,(8分) 即P(n+1)-=[P(n)-]. 又P (1)=,可得P(n)=+·.(10分) (解法2)设Sn被3除余1的概率为P1(n),Sn被3除余2的概率为P2(n), 则P2(n)=1-P(n)-P1(n). 又P(n+1)=P(n)+P1(n)+P2(n), 所以P(n+1)=P(n)+P1(n)+[1-P(n)-P1(n)],得4P(n+1)=P(n)+1,以下同解法1.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 江苏省 盐城市 届高三 数学 第四 模拟考试 试题