高数下练习题考研基础.docx
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高数下练习题考研基础
第十章重积分(测试题)
填空题
D:
0
x1,0y2,
D:
|x|
3,|y|1,则
x(x
y)d
D是由xy
sin3yd=
1,xy1,x
成的闭区域,则
f(x,y)在D:
0x1,0y1
21
x(f(x,y)dxdy)=f(x,y)一,则f(x,y)
D2
(可设f(x,y)k,两边再做二重积分)
16所围,则三重积分
卄,亠十2-,22,222
右由曲面z3(xy),xyzf(x,y,z)dv表示成直交坐标系下的三次积分为
柱面坐标系下的三次积分为
球面坐标系下的三次积分为
zJ3a2x2y2及x2
试用二重积分表示由曲面
的表面积S
知D是区域:
axb;0y1,且
D
2
y2az所围立体
yf(x)d1,则
f(x)dx
若l1(1x)d,其中D1是|x|
D1
22
x2y21」y11,12的值为o
(A)I10,I20(B)I10,I20;(C)l10,I20(D)I10,I20
2.f(x,y)在x2
21口
y1上连续,使f(x,y)dxdy40dx0f(x,y)dy
x2y21
成立的充分条件为
(A)
(B)
(C)
(D)
3.设I
f(x,y),f(x,y)f(x,y),f(x,y)f(x,y),f(x,y)f(x,y),f(x,y)为z2
(A)
(C)
1
rdr
0
1
dz
0
z
数及
xdxdydz
1
zdz;
0,
1
rdr
r
K,0
7
4
(B)
1,0
21
drdr
00
1
dzd
00
1
zdz
r
z
zrdr.o
0
1,z0所确定,其中K是大于2的常
(A)
14
3
计算题
2.2
y4
sinQx2y2dxdy,其中
D
f(x,y)是连续函数,改变I
1
2dx
0
x
x2
f(x,y)dy的积分次序。
3.确定常数A使Asin(xy)dxdy1,其中D是由y
D
x,y2x,x
2所围成
的区域。
4.计算
32
xyzdv,其中是由x1,x2,y
0,y
0,z
1
-所围成
x
的在x
2之间的闭区域。
5•计算
(x2y2)dv,其中是由曲面x2
2
y2z及平面z
2所围成的
闭区域。
(可考虑柱面坐标)
6•计算I
(Jx2y2)dv,其中是由曲面zJx2y2及zJ2Xy2
所围成的闭区域。
(可考虑球面坐标)
四.
应用题
1•求由椭圆抛物面
zX22y2和抛物面z2x2所围成的立体的体积。
五.证明题
1
设函数f(u)具有连续的导数,且f(0)0,求lim」7
t0+4
tx2
第十一章曲线积分与曲面积分(练习一)
(第一,二节)
一.选择题
),对坐标的曲线积分与积分路
1.对弧长的曲线积分与积分路径的方向(:
径的方向()。
L(xy)ds
A.有关B.无关C.不确定
2.设L是从A(1,0)到B(-1,2)的线段,则曲线积分
A.-2运
3设L为椭圆
A.4l
B.2近
2
—1,其周长记为I,
3
B.3l
C.2
D.0
L(2xy3x2
4y2)ds=(
C.7l
D.12l
二.计算下列对弧长的曲线积分
m
ds,其中L:
x=acost,y=asint,0t2
2、
x2y2z2
ds,其中为曲线xetcost,yetsint,z
e上相应于
到2的这段弧.
3.¥
y2
ds,其中L为圆周
a2,直线y=x及x轴在第一象限内所围成的
扇形的整个边界.
222
4.Lxds,L为球面xy
R2
与平面xyz0相应的圆周.
三.计算下列对坐标的曲线积分
C(a,0)的弧段.
2
2.Xdxzdyydz,其中为曲线xk,yacos,zasin上对应于从o到
的一段弧.
3.^xydx,其中L为圆周(Xa)y
区域的整个边界.
a2(a为正)及X轴所围成的在第一象限内的
4.计算曲线积分[
X2
y2dxX2
2
ydy,其中L是由
0(0,0),A(1,1),B(0,
2),C(1,1)为顶点的正方形的正向边界
选择.
第十一章曲线积分与曲面积分
(第三,四节)
(练习二)
1.设L是不经过原点的简单正向闭曲线
A.0B.2
2.设曲线积分I
xdyydx/、
22~()
Lxy
D.以上答案都不对
,则曲线积分
达式是某二元函数
„z22、
A.(xy)
22
C.xcosyycosx
3.设L是圆周x
33.
豊Xxydx
2
y
2
xy
C.0或2
22
(2xcosyysinx)dx(2ycosxxsiny)dy,其中积分表u(x,y)的全微分,则u(x,y)=()
22
B.(xy)(cosxcosy)
D.(cosxcosy)ex
则曲线积分
a2(取负向),
y3dy=(
).
4
a
A.——
2
二.计算下列积分.
B.
C.
4aD.——
4
23
1.[Xxydx
2xydy
四个顶点分另U为
(0,0),(2,0),(2,
2),
(0,2)的正方形区域的正向边界。
xydyXydx
2.求Jd丿
2—-,其中L为圆周X2
2
a的顺时针方向。
3.1e^dx
xdy,其中L是椭圆
2
y
9
1沿逆时针方向。
4.
L(y2xy)dx(x22xy2)dy,其中L为由点A(4,0)沿上半圆yJ4xx2
到0(0,0)的半圆周。
L(exsinyy)dx(excosyx)dy,其中L是从点A(1,0)经下半圆周
三.证明下面曲线积分在整个xoy平面除去Xy0的区域内与路径无关,并计算积分值.
u(x,y).
2.(z3)dxdy,其中为曲面2zx2y2上介于z=2及z=3之间的部分的下
侧。
3.x2dydzzdxdy,是由A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)为顶点的三角形
平面的上侧
三.计算下列曲面积分。
1.0x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a
所围成立体的表面外侧
2.oxz2dydzx2yz3dzdx2xyy2zdxdy,其中
为上半球体
0zy[a
2
a的表面外侧。
xdydz其中
是由
22
zx——与z2aJx2y2所围空a
间区域
的表面外侧。
4.xdydzydzdxzdxdy,其中为曲面z
在第一卦限部分(0
的上侧。
5.Gyzdxzxdyxydz,其中
为椭圆
(a>0,b>0)若从x轴正向看去,椭圆取逆时针方向。
6.3ydxxzdyyz2dz,其中是圆周x2y22z,z=2
若从z轴正向看去,
圆周取逆时针方向。
第十二章无穷级数
(练习一)
(常数项级数的概念和性质、常数项级数的审敛法)
一、填空题
111111—口
(23)(?
孑)L(畀弄)L的和是
1
5、级数nsin—的收敛性是:
n1n
二、选择题
、limUn0是级数Un收敛的(
nn1
三、根据级数收敛与发散的定义或性质判定下列级数的收敛性
1(2n1)(2n1)
3n2n
1^^
4、
n1
(1)n
1(4)n
四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性
12n1
2、
isin3n
1
1〒(a0)
五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性
3n
1n2n
2nn!
n
1n
六、判定下列级数的收敛性
cn
2sv
2、
n
3n
n
,其中ana(n),an,a,b均为正数。
an
七、
判定下列级数是否收敛?
如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
1)n
1)nlnn
八、解答下列各题
1、讨论级数
(1)
n1
1
丄的收敛性;
np
2、证明:
若正项级数
un收敛,则级数
1
一、填空题
1、若幕级数
anX
第十二章
un2也收敛。
无穷级数
(练习二)
(幕级数及函数的幕级数展开式)
3处收敛,则它在X1处,
(收敛、发散)。
2、若lim
n
3、幕级数
an1
an
数项级数
anx2n的收敛半径是
0
n
—的收敛域是
n
1
1?
^的和是
,在其收敛域内的和函数是
4、若幕级数anxn在点X2处条件收敛,则该级数的收敛半径为
n0
二、求下列幕级数的收敛域
1、
厂(X2)n
vn
三、利用逐项求导或逐项积分,求下列级数在收敛区间内的和函数
n
nx
1
1,(1x1)
1
12n和1x1)
x2n
四、将下列函数展开成X
的幕级数
1、xeX
1
(1X)2
五、
解答下列各题
、将函数COSX展开成
(X—)的幕级数;
3
、将函数-展开成(X
X
2)的幕级数;
3、将函数—
X
展开成(X3)的幕级数。
3x2
八、求幕级数
n
—x2n1的和函数,并求级数
1n!
也」的和。
n1n!
n1
九、求幕级数丄飞的收敛域与和函数。
n1n3
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