完整word版圆的培优专题含解答.docx
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完整word版圆的培优专题含解答
圆的培优专题1――与圆有关的角度计算
一运用辅助圆求角度
1、如图,△ABC内有一点D,DA=DB=DC,若DAB=20,DAC=30,
则BDC=.(BDC=-2-BAC=100)
2、如图,AE=BE=DE=BC=DC,若C=100,贝UBAD=.(50)
3、如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,CBD=20,BDC=30,贝U
BAD=.(BAD=BAC+CAD=40+60=100)
第1题第2题第3题
解题策略:
通过添加辅助圆,把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题,思维更明朗!
4、如图,口ABCD中,点E为AB、BC的垂直平分线的交点,若D=60,
则
AEC=.(
AEC=
2B=2D=120)
5、如图,
O是四边形ABCD
内一点,
OA=OB=OC,ABC=
ADC=70,
则
DAO+DCO=
(所求=360—ADC—
AOC=150)
6、如图,四边形ABCD中,ACB=ADB=90,ADC=25,贝卩ABC=
(ABC=ADC=25)
第4题第5题第6题
解题策略:
第6题有两个直角三角形共斜边,由直角所对的弦为直径,易得到ACBD共圆.
运用圆周角和圆心角相互转化求角度
如图,
AB为OO的直径,
e为Ab的中点,
D为半圆Ab上一点,贝UADC=
8、
如图,
AB为OO的直径,
CD过OA的中点
E并垂直于OA,贝UABC=
AB为OO的直径,
Be3Ac,则
ABC=
如图,
9、
解题策略:
10、如图,
C
9、22.5;
10、40;
以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!
AB为OO的直径,点C、D在OO上,BAC=50,则
ADC=
11、如图,
OO的半径为1,弦AB=2,弦AC=3,贝yBOC=
12、如图,
PAB、PCD是OO的两条割线,PAB过圆心O,若ACCD,P=30,
.(设ADC=X,即可展开解决问题)
第10题
第11题
解题策略:
在连接半径时,时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰
直角三角形或等边三角形,是解题的另一个关键点!
圆的四接四边形的外角等于内对角,是一个非常好用的一个重要性质!
1、如图,AB是OO的弦,ODAB,垂足为C,交OO于点D,点E在OO上,若BED=30,OO的半径为4,则弦AB的长是.
略解:
•••ODAB,「.AB=2AC,且ACO=90,
BED=30,•••AOC=2BED=60
OAC=30,OC=1OA=2,贝UAC=2、、3,因此AB=4、3.
2、如图,弦AB垂直于OO的直径CD,OA=5,AB=6,贝UBC=.
1
略解:
•••直径CD弦AB,•AE=BE=1AB=3
•OE=5234,贝UCE=5+4=9
•BC=、.92323.10
第1题第2题第3题
3、如图,OO的半径为2\5,弦AB
CD,垂足为P,AB=8,CD=6,贝UOP=
略解:
如图,过点O作OEAB,OFCD,连接OB,OD.则BE=2AB=4,DF=CD=3,且OB=OD=25
OE=(2\5)2422,OF=
又ABCD,则四边形OEPF是矩形,贝UOP=,22(.11)215
4、如图,在OO内,如果OA=8,AB=12,A=B=60,则OO的半径为
略解:
如图,过点O作ODAB,连接OB,则AD=|AB=4,因此,BD=8,OD=4、3
•OB=、(4、、3)28247
略解:
如图,连接OC,OD,则
5、如图,正△ABC内接于OO,D是OO上一点,DCA=15,CD=10,贝UBC=
过点O作OEBC,贝UBC=2CE=56
•••△ABC为等边三角形,则
OCA=OCE=30,•ODC=OCD=45
•△OCD是等腰三角形,则
OC=5、2
ODC=OCD
73,•••CD=2CF=2/3
第4题第5题第6题
如图,OO的直径AB=4,C为AB的中点,E为OB上一点,AEC=60,CE的延
长线交OO于点D,贝UCD=
略解:
如图,连接OC,贝UOC=2
OCE=30
•••C为Ab的中点,贝yOCAB,又AEC=60,
1
如图,过点O作OFCD,贝yOF=2OC=1,CF=
7、如图,A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处,
并以每小时10.7千米的速度沿北偏东60的BF方向移动,距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域•
问:
A地是否受到这次台风的影响?
若受到影响,请求出受影响的时间?
解:
如图,过点A作ACBF交于点C,
1
•/ABF=30,贝UAC=2AB=150200,因此A地会受到这次台风影响;如图,以A为圆心200千米为半径作OA交BF于D、E两点,连接AD,则DE=2CD=2.20021502100・7,
所以受影响的时间为100'、710.710(时)
1、如图,OO的直径AB=10,弦AC=6,ACB的平分线交OO于D,求CD的长.
BDE=90,即CDE=90
解:
如图,连接AB,BD,在CB的延长线上截取BE=AC
ACD=BCD,•••AD=BD
又CAD=EBD,AC=BE
•△CAD◎△EBD(SAS)
•CD=DE,ADC=BDE
•/AB为OO的直径,则ACB=ADB=90
•-BC=.102628;ADC+CDB=CDB+
•△CDE是等腰直角三角形且CE=14,•CD=72
2、如图,AB是OO的直径,C是半圆的中点,M、D分别是CB及AB延长线上一点,且MA=MD,若CM=\2,求BD的长.
解:
如图,连接AC,贝UAC=BC,C=90,即△ABC是等腰直角三角形
过点M作MN//AD,贝UNMA=
则厶CMN也是等腰直角三角形,则
ANC=MBD=135,
又MA=MD,•D=NMA=
•△AMN◎△BMD(AAS)
BD=MN=2
3、如图,AB为OO的直径,点N是半圆的中点,点C为AN上一点,NC=3.
求BC—AC的值.
解:
如图,连接AN,BN,则△ABN是等腰直角三角形
在BC上截取BD=AC,连接DN
•/AN=BN,CAN=DBN,AC=BD
•△ACN◎△BDN(SAS)
•CN=DN,CNA=DNB,
•CND=CNA+AND=ADN+DNB=90,即△CND是等腰直角三角形
•CD=.2NC=,6,
•BC—AC=BC—BD=CD=、、6
圆的培优专题训练系列
4、如图,点A、B、C为OO上三点,AcBc,点M为Be上一点,CEAM于E,
AE=5,ME=3,求BM的长.
解:
如图,在AM上截取AN=BM,连接CN,CM.
•/Ac?
C,二AC=BC,又A=B
•••△ACN也厶BCM(SAS)
•••CN=CM,又CEAM
•NE=ME=3,
BM=AN=AE—NE=2
PDCD,CD交OO于A,若AC=3,AD=1,
5、如图,在oo中,p为Bac的中点,
求AB的长.
解:
如图,连接BP、CP,贝UBP=CP,
过点P作PEAB于点E,又PD
BEP=CDP
•••△BEP◎△CDP(AAS)
BE=CD=3+1=4,PE=PD
连接AP,贝URt△AEP也Rt△ADP(HL),贝UAE=AD=1
•AB=AE+BE=5
6、如图,AB是O的直径,MN是弦,AE
MN于E,BFMN于F,AB=10,MN=8.
求BF—AE的值.
解:
•••AEMN,BFMN,贝UAE//BF,•A=
如图,延长EO交BF于点G,
贝UAOE=BOG,AO=BO
•△AOE◎△BOG(AAS),贝UOE=OG
过点O作OHMN,FG=2OH,HN=4
连接ON,贝UON=5,OH=52423,贝UBG—AE=FG=6.
1、如图,OO是厶BCN的外接圆,弦ACBC,点N是AB的中点,BNC=60,
亠BN»+
求BC的值•
解:
如图,连接AB,贝UAB为直径,•••BNA=90
连接AN,则BN=AN,则△ABN是等腰直角三角形
•-BC=AB,
2
BN46
BC=
(方法2,过点B作BDCN,即可求解)
•BN=AB;又BAC=BNC=60,2
3、如图,AB为OO的直径,C为OO上一点,
D为CB延长线上一点,且
CAD=45
2、如图,OO的弦AC
BD,且AC=BD,若AD=2「2,求OO半径.
解:
如图,作直径AE,连接DE,贝UADE=90
又ACBD,贝UADB+DAC=ADB+EDB=90
DAC=EDB,则Cd?
e,•DeBc,
•/ac=bd,•AcCd,贝yAdbcDe
•AD=DE,即△ADE是等腰直角三角形
AE=J2aD=4,即OO的半径为2
AEC=DGC=90
CEAB于点E,DFAB于点F.
(1)求证:
CE=EF;
(2)若DF=2,EF=4,求AC.
(1)证:
TAB为OO的直径,CAD=45,
则厶ACD是等腰直角三角形,即AC=DC
又CEAB,贝UCAE=ECB
如图,过点C作CG垂直DF的延长线于点G
又CEAB,DFAB,则四边形CEFG是矩形,
•EF=CG,CE//DG,贝UECB=CDG=CAE
•△ACE也厶DCG(AAS),贝UCE=CG=EF
(2)略解:
AC=CD=、4262213.
EH=AH=1AE=4
圆的培优专题训练系列
4、如图,AB为OO的直径,CDAB于点D,CD交AE于点F,AcCe.
(1)求证:
AF=CF;
(2)若OO的半径为5,AE=8,求EF的长
(1)证:
如图,延长CD交OO于点G,连接AC
•••直径ABCG,则AgAcCe
CAE=ACG,贝yAF=CF
(2)解:
如图,连接OC交AE于点H,则OCAE,
OH=43,贝VCH=5—3=2
设HF=X,贝VCF=AF=4—X
22233
则x2(4x),•••x—,即HF=—
22
11
•EF=
2
5、如图,在OO中,直径CD
弦AB于E,AM
BC于M,交CD于N,连接AD.
5
(1)证:
TCDAB,AMBC
B=
CNM,
又B=
D,AND=
CNM
D=
AND,即AD
=AN
C+CNM=C+B=90
(2)解:
•••直径CD弦AB,则AE=22
(1)求证:
AD=AN;
(2)若AB=42,ON=1,求OO的半径.
又AN=AD,贝UNE=ED
如图,连接OA,设OE=x,贝UNE=ED=x1
OA=OD=2x1
•x2(22)2(2x1)2,则x1
•OO的半径OA=3
1、在OO中,弦ABCD于E,求证:
AOD+
证:
如图,连接AC,
•/ABCD,贝UCAB+ACD=90又AOD=2ACD,BOC=2BAC
AOD+BOC=180.
BOC=
2、在OO中,弦ABCD于点E,若OO的半径为R,求证:
AC2+BD2=4R2.
证:
•••ABCD,贝UCAB+ACD=90
如图,作直径AM,连接CM
则ACM=ACD+DCM=90
CAB=DCM,
二bcDm
•••Cm?
d,
•••CM=BD
•/AC2+CM2=AM2
AC2+BD2=4R2
3、在OO中,弦ABCD于点E,若点M为AC的中点,求证MEBD.
证:
如图,连接ME,并延长交BD于点F
•••ABCD,且点M为AC的中点
•ME为RtAAEC斜边上的中线
•AM=ME
A=AEM=BEF
又B=C,A+C=90
BEF+B=90,即BFE=90
•MEBD.
4、
证:
5、
证:
在OO中,弦ABCD于点E,若ON
如图,作直径BF,连接DF,
贝UDFBD,又ONBD,
•••ON//FD,又OB=OF
1
•ON=-DF
2
连接AF,贝UAFAB,又CDAB
•AF//CD
Ac?
d,贝yAC=FD
1
•ON=-AC
2
在OO中,弦ABCD于点E,若AC
(1)求证:
ME//ON;
(2)求证:
四边形OMEN为菱形.
(1)如图,延长ME交OD于点F
•/OMAC,则点M
为AC的中点
•/ABCD,贝UME
•AM=EM,
AEM=
BD,ONBD于N,OMAC于M.
为Rt△ACE的斜边上中线
C,A+
BEF=90
•MFBD,又ON
•MF//ON
(2)由
(1)知MF//ON,
BEF
C=90
,贝UBFE=90
BD
同理可证OM//NE,
•四边形OMEN是平行四边形
•/AC=BD,•OM=ON
•四边形OMEN为菱形.
B
/
一圆与内角平分线问题往往与线段和有关,实质是对角互补的基本图形
1、如图,OOABC的外接圆,弦CD平分ACB,ACB=90.
求证:
CA+CB=.2CD.
D
证:
如图,在CA的延长线上截取AE=BC,
•/CD平分ACB,•••AD=BD
又DAE=DBC,AE=BC
•△DAE◎△DBC(SAS)
•CD=DE,又ACD=45
•△CDE是等腰直角三角形,则CA+CB=CE=x2CD.
2、如图,OOABC的外接圆,弦CD平分ACB,ACB=120,求一CD的值
C
解:
如图,在CA的延长线上截取AE=BC,连DE,AD,BD
•/CD平分ACB,•AD=BD
又DAE=DBC,AE=BC
•△DAE◎△DBC(SAS)
•CD=DE,又ACD=60
•△CDE是等边三角形
“CA+CB
CD=CE=CA+BC,即-CD=1
X轴于点A、B,求OA+OB的值.
3、如图,过0、M(1,1)的动圆O01交y轴、
解:
如图,过点M作MEy轴,MFx轴,由M(1,1)知:
四边形OFME是正方形
.••OE=OF=4,EM=FM,又MBF=
•△AEM◎△BFM(AAS),贝UAE=BF
•OA+OB=AE+OE+OF—BF=8.
圆中的外角问题往往与线段的差有关
的外角ACQ,ACB=90.
4、如图,OOABC的外接圆,弦CP平分△ABC
求证:
(1)
PaPb;
(2)AC—BC=.2PC.
证:
(1)如图,
连接AP,贝UPCQ=PAB
PCQ=PCA,贝UPAB=PCA
又
?
aPb
(2)连接BP,由
(1)得,PA=PB
在AC上截取AD=BC,连PD,又PAD=
P
B
•••△PADPBC(SAS),贝UPD=PC
又PCD=45
,则•••PCD是等腰直角三角形,
AC—BC=CD=2PC.
5、如图,OOABC
的外接圆,弦CP平分△
ABC
的外角ACQ,ACB=120.
求bcf—cac的值.
解:
如图,在BC上截取
BD=AC,连AP、BP、
DP
PCB=PCQ=PBA
•AP=BP,又CAP=DBP
•△CAPDBP(SAS),贝UCP=DP
又ACB=120,
PCD=30,
BC—AC
PC
CD
PC
Z3
6、如图,A(4,0),
B(0,4)
O经过A、B、O三点,
点这P为Oa上动点(异于0、A).
解:
如图,在BP上截取BC=AP
B
•••A(4,0),B(0,4),则OA=OB=4
又OAP=OBC
•△OAP◎△OBC(SAS)
PB一papct~
•••OC=OP,且COP=AOB=90,贝yPO=PO=2
切线与一个圆答案:
1、70;2、20;3、80;4、120;5、130;6、45
1、
如图,ADBO0于A,BC为直径,若ACB=20
,贝yCAD=
如图,APBO0于P,PB过圆心,B在O0上,若如图,PA、PB为O0的切线,C为ACB上一点,若
ABP=35,贝UAPB=
第1题
第2题
第3题
第4题
BCA=50,贝UAPB=
如图,PA、PB为O0的切线,C为Ab上一点,
若BCA=150,贝UAPB=
如图,点0是厶ABC的内切圆的的圆心,若
BAC=80,贝UB0C=
如图,PA切O0于A,若PA=AB,PD平分
APB交AB于D,贝UADP=
.(设元,列方程)
8、
切线与两个圆
如图,两同心圆的圆心为0,大圆的弦AB、AC
分别切小圆于d、e,小圆的De的度数为110,则大圆的Bc的度数为.
第5题
A
R
第6题
第7题
第8题
第9题
如图,O01和O02交于A、B两点,且点
01在O02上,若
如图,O01和O02外切于D,AB过点D,若AO2D=100
D=110,贝UC=—
c为优弧Bd上任一点,
.答案:
7、140;8、40;9、50
(过点D作两圆的切线)
1、如图,在OO的内接△ACB中,ABC=30,AC的延长线与过点D的切线BD交于
点D,若OO的半径为1,BD//OC,贝UCD=.(CD=-y)
2、如图△ABC内接于OO,AB=BC,过点A的切线与OC的延长线交于D,BAC=75,
CD=,3,贝UAD=.(AD=3)3、如图,OOBCD的外接圆,过点C的切线交BD的延长线于A,ACB=75,
ABC=45,则DB的值为.(CD=2)
第1题第2题
C
第3题
A
第4题
4、如图,
AB为OO的直径,弦
DC交AB于E,过C作OO的切线交
DB的延长线于
若AB=4,ADC=45,
M=75,贝UCD=
5、如图,等边△ABC内接于OO,BDBOO于B,ADBD于D,AD交OO于E,OO
的半径为1,贝UAE=.(AE=1)
6、如图,△ABC中,C=90,BC=5,OO与ABC的三边相切于D、E、F,若OO的
半径为2,则厶ABC的周长为.(C=30)
7、如图,△ABC中,C=90,AC=12,BC=16,点O在AB上,OO与BC相切于D,
连接AD,贝UBD=.(示:
过D作DEAB,设CD=DE=x,BD=10)
第5题第6题第7题
解题策略:
连半径,有垂直;寻找特殊三角形;设元,构建勾股定理列方程
1、如图,AB为OO的直径,C为AE的中点,CDBE于D
).D
(1)判断DC与OO的位置关系,并说明理由;
(2)若DC=3,OO的半径为5,求DE的长.
解:
(1)DC是OO的切线,理由如下:
r
如图,连接OC,BC,贝UABC=CBD=OCB
•OC//BD,又CDBE
•••OCCD,又0C为OO的半径
•••DC是O0的切线
(2)如图,过0作OFBD,则四边形OFDC是矩形,且BE=EF
•-0F=CD=3,DF=OC=5,
EF=BF=52324,•••DE=DF—EF=1
2、如图,AB为OO的直径,D是BBC的中点,DEAC交AC的延长线于E,OO的切线BF交A
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