届湖北名校华中师大一附中上学期高三期中检测 数学理.docx
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届湖北名校华中师大一附中上学期高三期中检测数学理
2019届湖北名校华中师大一附中上学期高三期中检测
数学理
时限:
120分钟满分:
150分
第I卷(选择题共60分)
注意事项:
务必将每小题的答案填在答题卡的相应位置.答在试卷上无效.
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将你认为正确的选项代号涂填在选择题的答题卡内.
1.集合
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.复数
,其中
为虚数单位,则
的虚部为()
A.
B.
C.
D.
3.已知
,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
4.在
中,
,
是直线
上的一点,若
,则实数
的值为()
A.
B.
C.
D.
5.已知函数
的图像向左平移
个单位后得到
的图像,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
6.
的值为( )
A.
B.
C.
D.
7.以下四个命题:
①命题“若
”的逆否命题为“若
”;
②“
”是“
”的充分不必要条件;
③若
为假命题,则
均为假命题;
④对于命题
.
其中,假命题的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.已知函数
,则
的值为()
A.
B.
C.
D.
9.若
,且
,则
的最小值为()
A.
B.
C.
D.
10.已知定义域为
的奇函数
的导函数为
,当
时,
,
若
,则
的大小关系正确的是()
A.
B.
C.
D.
11.在锐角
中,
分别为
三边
所对的角.若
,且满足关系式
,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
12.对于任意的实数
,总存在三个不同的实数
,使得
成立,则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡内相应题号对应的横线上.
13.已知
,
,且
,则向量
在
方向上的投影为:
__________.
14.等差数列
、
的前
项和分别为
和
,若
,则
_____.
15.某船只在海面上向正东方向行驶了
迅速将航向调整为南偏西
,然后沿着新的方向行驶了
,此时发现离出发点恰好
,那么
的值为:
____________.
16.已知函数
,数列
的通项公式为
,若数列
是单调递减数列,则实数
的取值范围是:
____________.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)已知等差数列
的前
项和为
,公差
,且
,
,公比为
的等比数列
中,
.
(1)求数列{
},{
}的通项公式
,
;
(2)若数列{
}满足
,求数列{
}的前
项和
.
18.(本小题满分12分)已知函数
.
(1)求函数
的单调减区间;
(2)已知
的内角
的对边分别为
.若
,锐角
满足
,且
,求
的值.
19.(本小题满分12分)如图,已知等边
的边长为
,圆
的半径为
,
为圆
的任意一条直径.
(1)判断
的值是否随点
的变化而变化,请说明理由;
(2)求
的最大值.
20.(本小题满分12分)如图,四棱锥
,侧面
是边长为
的正三角形且与底面垂直,底面
是
的菱形,
为棱
上的动点且
.
(1)求证:
为直角三角形;
(2)试确定
的值,使得二面角
的平面角余弦值为
.
21.(本小题满分12分)已知点
,
是抛物线
上相异两点,且满足
.
(1)若
的中垂线经过点
,求直线
的方程;
(2)若
的中垂线交
轴于点
,求
的面积的最大值及此时直线
的方程.
22.(本小题满分12分)已知函数
,其中
e是自然对数
(1)求
的极小值;
(2)当
时,设
为
的导函数,若函数
有两个不同的零点
,且
,求证:
.
华中师大一附中2018—2019学年度上学期高三理数期中检测答案
一选择题:
1.D2.A3.B4.B5.C6.C7.A8.D9.C10.B11.D12.A
二填空题:
13.
14.
15.3或616.
17.解:
(1)因为
为等差数列,所以
又
又公差
所以
所以
所以
解得
所以
因为公比为
的等比数列
中,
所以,当且仅当
时成立.此时公比
所以
(2)由
由
故
的前
项和
18.解:
(1)
由
的单调递减区间为
。
(2)由
为锐角,
又
,由正弦定律:
又
且
由余弦定律知:
19.解:
(1)
的值不会随点
的变化而变化。
(2)由
(1)知:
,故
,又设
,
,此时
,此时,
∥
。
20.解:
(I)取
中点
连结
,依题意可知
均为正三角形,所以
又
平面
平面
,
所以
平面
,又
平面
,所以
因为
所以
,即
从而
为直角三角形.
(II)[向量法]由(I)可知
又平面
平面
平面
平面
平面
,所以
平面
.
以
为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,则
由
可得点
的坐标
所以
设平面
的法向量为
,则
即
解得
,令
,得
,
显然平面
的一个法向量为
依题意
,
解得
或
(舍去),所以,当
时,二面角
的余弦值为
.
[传统法]由(I)可知
平面
所以
所以
为二面角
的平面角,即
在
中,
所以
,
由正弦定理可得
,即
解得
,又
所以
所以,当
时,二面角
的余弦值为
.
21.解:
(
)方法一(I)当
垂直于
轴时,显然不符合题意,
所以可设直线
的方程为
,代入方程
得:
∴
得:
∴直线
的方程为
∵
中点的横坐标为1,∴
中点的坐标为
∴
的中垂线方程为
∵
的中垂线经过点
,故
,得
∴直线
的方程为
(Ⅱ)由(I)可知
的中垂线方程为
,∴
点的坐标为
因为直线
的方程为
∴
到直线
的距离
由
得,
,
∴
设
则
,
,
,由
,得
在
上递增,在
上递减,当
时,
有最大值
得:
时,
直线
方程为
法二:
(Ⅰ)当
垂直于
轴时,显然不符合题意,当
不垂直于
轴时,根据题意设
的中点为
,则
由
、
两点得
中垂线的斜率为
,由
,得
∴直线
的方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线
的方程为
中垂线方程为
,中垂线交
轴于点
点
到直线
的距离为
由
得:
,
当
时,
有最大值
,此时直线
方程为
22.解:
(1)
①当
时,
恒成立
为增函数,无极小值
②当
时,令
,解得
在
单调递减,在
单调递增
有极小值为
(2)解:
有两个不同的零点
考虑:
,设
,因为
在
单调递减,在
单调递增
再考虑
设
,则
设
在
单调递减
,进而
综上可得:
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