初二因式分解难题2附答案及解析.docx
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初二因式分解难题2附答案及解析
2017年05月21日数学(因式分解难题)2
一.填空题(共10小题)
1.已知10,16,则x22的值为 .
2.两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来:
.
3.若多项式x24能用完全平方公式分解因式,则m的值是 .
4.分解因式:
4x2﹣4x﹣3= .
5.利用因式分解计算:
2022+202×196+982= .
6.△三边a,b,c满足a222,则△的形状是 .
7.计算:
12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= .
8.定义运算a★(1﹣a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论:
①2★(﹣2)=3
②a★★a
③若0,则(a★a)+(b★b)=2
④若a★0,则1或0.
其中正确结论的序号是 (填上你认为正确的所有结论的序号).
9.如果123=0,代数式2345678= .
10.若多项式x2﹣6x﹣b可化为()2﹣1,则b的值是 .
二.解答题(共20小题)
11.已知n为整数,试说明(7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.
12.因式分解:
4x2y﹣4.
13.因式分解
(1)a3﹣2
(2)(x﹣y)2+4.
14.先阅读下面的内容,再解决问题,
例题:
若m2+22n2﹣69=0,求m和n的值.
解:
∵m2+22n2﹣69=0
∴m2+222﹣69=0
∴()2+(n﹣3)2=0
∴0,n﹣3=0
∴﹣3,3
问题:
(1)若x2+2y2﹣244=0,求的值.
(2)已知△的三边长a,b,c都是正整数,且满足a22﹣6a﹣6183﹣0,请问△是怎样形状的三角形?
15.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20这三个数都是和谐数.
(1)36和2016这两个数是和谐数吗?
为什么?
(2)设两个连续偶数为22和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗?
为什么?
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 .
16.如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.
(1)如果现有小正方形①1张,大正方形③2张,长方形②3张,请你将它们拼成一个大长方形(在图2虚线框中画出图形),并运用面积之间的关系,将多项式a2+32b2分解因式.
(2)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169,长方形②的周长为34,求长方形②的面积.
(3)现有三种纸片各8张,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接),求可以拼成多少种边长不同的正方形.
17.
(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示,用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形,如图2.
①用两种不同的方法,计算图2中长方形的面积;
②由此,你可以得出的一个等式为:
.
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图;
②请你用拼图等方法推出2a2+52b2因式分解的结果,画出你的拼图.
18.已知1,﹣1,设s1,s222,s333,…,
(1)计算s2;
(2)请阅读下面计算s3的过程:
因为1,﹣1,
所以s333=()(a22)﹣()=1×s2﹣(﹣1)2+1=
你读懂了吗?
请你先填空完成
(2)中s3的计算结果,再用你学到的方法计算s4.
(3)试写出﹣2,﹣1,三者之间的关系式;
(4)根据(3)得出的结论,计算s6.
19.
(1)利用因式分解简算:
9.82+0.4×9.8+0.04
(2)分解因式:
4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)
20.阅读材料:
若m2﹣22n2﹣816=0,求m、n的值.
解:
∵m2﹣22n2﹣816=0,∴(m2﹣22)+(n2﹣816)=0
∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0,∴(m﹣n)2=0,(n﹣4)2=0,∴4,4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知x2+22y2+21=0,求x﹣y的值.
(2)已知△的三边长a、b、c都是正整数,且满足a22﹣6a﹣825=0,求△的最大边c的值.
(3)已知a﹣4,2﹣613=0,则a﹣ .
21.仔细阅读下面例题,解答问题:
例题:
已知二次三项式x2﹣4有一个因式是(3),求另一个因式以及m的值.
解:
设另一个因式为(),得x2﹣4(3)(),则x2﹣42+(3)3n
∴3=﹣4
3n解得:
﹣7,﹣21
∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21.
问题:
(1)若二次三项式x2﹣56可分解为(x﹣2)(),则 ;
(2)若二次三项式2x2﹣5可分解为(2x﹣1)(5),则 ;
(3)仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是(2x﹣3),求另一个因式以及k的值.
22.分解因式:
(1)2x2﹣x;
(2)16x2﹣1;
(3)62﹣9x2y﹣y3;
(4)4+12(x﹣y)+9(x﹣y)2.
23.已知a,b,c是三角形的三边,且满足()2=3(a222),试确定三角形的形状.
24.分解因式
(1)2x4﹣4x2y2+2y4
(2)2a3﹣4a222.
25.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分的面积为 ;
(2)观察图②请你写出三个代数式()2、(m﹣n)2、之间的等量关系是 .
(3)若7,10,则(x﹣y)2= .
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.
如图③,它表示了 .
(5)试画出一个几何图形,使它的面积能表示()(3n)2+43n2.
26.已知a、b、c满足a﹣8,2+16=0,求2的值.
27.已知:
一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足2006,
求:
这个长方体的体积.
28.(x2﹣4x)2﹣2(x2﹣4x)﹣15.
29.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1
(1)
(1)2
=
(1)[1
(1)]
=
(1)2
(1)
=
(1)3
(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次.
(2)若分解1
(1)
(1)2+…
(1)2004,则需应用上述方法 次,结果是 .
(3)分解因式:
1
(1)
(1)2+…
(1)n(n为正整数).
30.对于多项式x3﹣5x210,如果我们把2代入此多项式,发现多项式x3﹣5x210=0,这时可以断定多项式中有因式(x﹣2)(注:
把代入多项式能使多项式的值为0,则多项式含有因式(x﹣a)),于是我们可以把多项式写成:
x3﹣5x210=(x﹣2)(x2),
(1)求式子中m、n的值;
(2)以上这种因式分解的方法叫试根法,用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式.
2017年05月21日数学(因式分解难题)2
参考答案与试题解析
一.填空题(共10小题)
1.(2016秋•望谟县期末)已知10,16,则x22的值为 160 .
【分析】首先提取公因式,进而将已知代入求出即可.
【解答】解:
∵10,16,
∴x22()=10×16=160.
故答案为:
160.
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
2.(2016秋•新宾县期末)两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来:
2(x﹣3)2 .
【分析】根据多项式的乘法将2(x﹣1)(x﹣9)展开得到二次项、常数项;将2(x﹣2)(x﹣4)展开得到二次项、一次项.从而得到原多项式,再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式.
【解答】解:
∵2(x﹣1)(x﹣9)=2x2﹣2018;
2(x﹣2)(x﹣4)=2x2﹣1216;
∴原多项式为2x2﹣1218.
2x2﹣1218=2(x2﹣69)=2(x﹣3)2.
【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键.二次三项式分解因式,看错了一次项系数,但二次项、常数项正确;看错了常数项,但二次项、一次项正确.
3.(2015春•昌邑市期末)若多项式x24能用完全平方公式分解因式,则m的值是 ±4 .
【分析】利用完全平方公式()2=(a﹣b)2+4、(a﹣b)2=()2﹣4计算即可.
【解答】解:
∵x24=(x±2)2,
即x242±44,
∴±4.
故答案为:
±4.
【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键.
4.(2015秋•利川市期末)分解因式:
4x2﹣4x﹣3= (2x﹣3)(21) .
【分析】2(a≠0)型的式子的因式分解,这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c22c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:
2(a11)(a22),进而得出答案.
【解答】解:
4x2﹣4x﹣3=(2x﹣3)(21).
故答案为:
(2x﹣3)(21).
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式,正确分解各项系数是解题关键.
5.(2015春•东阳市期末)利用因式分解计算:
2022+202×196+982= 90000 .
【分析】通过观察,显然符合完全平方公式.
【解答】解:
原式=2022+2x202x98+982
=(202+98)2
=3002
=90000.
【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值.
6.(2015秋•浮梁县校级期末)△三边a,b,c满足a222,则△的形状是 等边三角形 .
【分析】分析题目所给的式子,将等号两边均乘以2,再化简得(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2=0,得出:
,即选出答案.
【解答】解:
等式a222等号两边均乘以2得:
2a2+2b2+2c2=222,
即a2﹣222﹣222﹣22=0,
即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2=0,
解得:
,
所以,△是等边三角形.
故答案为:
等边三角形.
【点评】此题考查了因式分解的应用;利用等边三角形的判定,化简式子得,由三边相等判定△是等边三角形.
7.(2015秋•鄂托克旗校级期末)计算:
12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= 5151 .
【分析】通过观察,原式变为1+(32﹣22)+(52﹣42)+(1012﹣1002),进一步运用高斯求和公式即可解决.
【解答】解:
12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012
=1+(32﹣22)+(52﹣42)+(1012﹣1002)
=1+(3+2)+(5+4)+(7+6)+…+(101+100)
=(1+101)×101÷2
=5151.
故答案为:
5151.
【点评】此题考查因式分解的实际运用,分组分解,利用平方差公式解决问题.
8.(2015秋•乐至县期末)定义运算a★(1﹣a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论:
①2★(﹣2)=3
②a★★a
③若0,则(a★a)+(b★b)=2
④若a★0,则1或0.
其中正确结论的序号是 ③④ (填上你认为正确的所有结论的序号).
【分析】根据题中的新定义计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:
①2★(﹣2)=(1﹣2)×(﹣2)=2,本选项错误;
②a★(1﹣a)b,b★(1﹣b)a,故a★b不一定等于b★a,本选项错误;
③若0,则(a★a)+(b★b)=(1﹣a)(1﹣b)﹣a2﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2,本选项正确;
④若a★0,即(1﹣a)0,则1或0,本选项正确,
其中正确的有③④.
故答案为③④.
【点评】此题考查了整式的混合运算,以及有理数的混合运算,弄清题中的新定义是解本题的关键.
9.(2015春•张掖校级期末)如果123=0,代数式2345678= 0 .
【分析】4项为一组,分成2组,再进一步分解因式求得答案即可.
【解答】解:
∵123=0,
∴2345678,
(123)5(123),
=0+0,
=0.
故答案是:
0.
【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值,注意合理分组解决问题.
10.(2015春•昆山市期末)若多项式x2﹣6x﹣b可化为()2﹣1,则b的值是 ﹣8 .
【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.
【解答】解:
∵x2﹣6x﹣(x﹣3)2﹣9﹣()2﹣1,
∴﹣3,﹣9﹣﹣1,
解得:
﹣3,﹣8.
故答案为:
﹣8.
【点评】此题主要考查了配方法的应用,根据题意正确配方是解题关键.
二.解答题(共20小题)
11.已知n为整数,试说明(7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.
【分析】用平方差公式展开(7)2﹣(n﹣3)2,看因式中有没有20即可.
【解答】解:
(7)2﹣(n﹣3)2=(7﹣3)(7﹣3)=20
(2),
∴(7)2﹣(n﹣3)2的值一定能被20整除.
【点评】主要考查利用平方差公式分解因式.公式:
a2﹣b2=()(a﹣b).
12.(2016秋•农安县校级期末)因式分解:
4x2y﹣4.
【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解:
4x2y﹣4
(4x2﹣41)
(2x﹣1)2.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
13.(2015秋•成都校级期末)因式分解
(1)a3﹣2
(2)(x﹣y)2+4.
【分析】
(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可;
(2)原式利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:
(1)原式(a2﹣b2)()(a﹣b);
(2)原式2﹣22+42+22=()2.
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
14.(2015春•甘肃校级期末)先阅读下面的内容,再解决问题,
例题:
若m2+22n2﹣69=0,求m和n的值.
解:
∵m2+22n2﹣69=0
∴m2+222﹣69=0
∴()2+(n﹣3)2=0
∴0,n﹣3=0
∴﹣3,3
问题:
(1)若x2+2y2﹣244=0,求的值.
(2)已知△的三边长a,b,c都是正整数,且满足a22﹣6a﹣6183﹣0,请问△是怎样形状的三角形?
【分析】
(1)首先把x2+2y2﹣244=0,配方得到(x﹣y)2+
(2)2=0,再根据非负数的性质得到﹣2,代入求得数值即可;
(2)先把a22﹣6a﹣6183﹣0,配方得到(a﹣3)2+(b﹣3)23﹣0,根据非负数的性质得到3,得出三角形的形状即可.
【解答】解:
(1)∵x2+2y2﹣244=0
∴x22﹣22+44=0,
∴(x﹣y)2+
(2)2=0
∴﹣2
∴
;
(2)∵a22﹣6a﹣6183﹣0,
∴a2﹣692﹣693﹣0,
∴(a﹣3)2+(b﹣3)23﹣0
∴3
∴三角形是等边三角形.
【点评】此题考查了配方法的应用:
通过配方,把已知条件变形为几个非负数的和的形式,然后利用非负数的性质得到几个等量关系,建立方程求得数值解决问题.
15.(2015秋•太和县期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“和谐数”.如4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20这三个数都是和谐数.
(1)36和2016这两个数是和谐数吗?
为什么?
(2)设两个连续偶数为22和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗?
为什么?
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 2500 .
【分析】
(1)利用36=102﹣82;2016=5052﹣5032说明36是“和谐数”,2016不是“和谐数”;
(2)设两个连续偶数为2n,22(n为自然数),则“和谐数”=(22)2﹣(2n)2,利用平方差公式展开得到(22+2n)(22﹣2n)=4(21),然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数;
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”中,最小的为:
22﹣02=4,最大的为:
502﹣482=196,将它们全部列出不难求出他们的和.
【解答】解:
(1)36是“和谐数”,2016不是“和谐数”.理由如下:
36=102﹣82;2016=5052﹣5032;
(2)设两个连续偶数为22和2k(n为自然数),
∵(22)2﹣(2k)2=(22+2k)(22﹣2k)
=(42)×2
=4(21),
∵4(21)能被4整除,
∴“和谐数”一定是4的倍数;
(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和,
(22﹣02)+(42﹣22)+(62﹣42)+…+(502﹣482)=502=2500.
故答案是:
2500.
【点评】本题考查了因式分解的应用:
利用因式分解把所求的代数式进行变形,从而达到使计算简化.
16.(2015春•兴化市校级期末)如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片.
(1)如果现有小正方形①1张,大正方形③2张,长方形②3张,请你将它们拼成一个大长方形(在图2虚线框中画出图形),并运用面积之间的关系,将多项式a2+32b2分解因式.
(2)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169,长方形②的周长为34,求长方形②的面积.
(3)现有三种纸片各8张,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接),求可以拼成多少种边长不同的正方形.
【分析】
(1)根据小正方形①1张,大正方形③2张,长方形②3张,直接画出图形,利用图形分解因式即可;
(2)由长方形②的周长为34,得出17,由题意可知:
小正方形①与大正方形③的面积之和为a22=169,将17两边同时平方,可求得的值,从而可求得长方形②的面积;
(3)设正方形的边长为(),其中(n、m为正整数)由完全平方公式可知:
()22a2+22b2.因为现有三种纸片各8张,
n2≤8,m2≤8,2≤8(n、m为正整数)从而可知n≤2,m≤2,从而可得出答案.
【解答】解:
(1)如图:
拼成边为(2b)和()的长方形
∴a2+32b2=(2b)();
(2)∵长方形②的周长为34,
∴17.
∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169,
∴a22=169.
将17两边同时平方得:
()2=172,整理得:
a2+22=289,
∴2289﹣169,
∴60.
∴长方形②的面积为60.
(3)设正方形的边长为(),其中(n、m为正整数)
∴正方形的面积=()22a2+22b2.
∵现有三种纸片各8张,
∴n2≤8,m2≤8,2≤8(n、m为正整数)
∴n≤2,m≤2.
∴共有以下四种情况;
①1,1,正方形的边长为;
②1,2,正方形的边长为2b;
③2,1,正方形的边长为2;
④2,2,正方形的边长为22b.
【点评】此题考查因式分解的运用,要注意结合图形解决问题,解题的关键是灵活运用完全平方公式.
17.(2014秋•莱城区校级期中)
(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示,用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形,如图2.
①用两种不同的方法,计算图2中长方形的面积;
②由此,你可以得出的一个等式为:
a2+21 =
(1)2 .
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图;
②请你用拼图等方法推出2a2+52b2因式分解的结果,画出你的拼图.
【分析】
(1)要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法,来推导公式;
(2)要能根据等式画出合适的拼图.
【解答】解:
(1)①长方形的面积2+21;长方形的面积=
(1)2;
②a2+21=
(1)2;
(2)①如图,可推导出()22+22;
②2a2+52b2=
(2)(2b).
【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式;运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解.
18.(2013秋•海淀区校级期末)已知1,﹣1,设s1,s222,s333,…,
(1)计算s2;
(2)请阅读下面计算s3的过程:
因为1,﹣1,
所以s333=()(a22)﹣()=1×s2﹣(﹣1)2+1= 4
你读懂了吗?
请你先填空完成
(2)中s3的计算结果,再用你学到的方法计算s4.
(3)试写出﹣2,﹣1,三者之间的关系式;
(4)根据(3)得出的结论,计算s6.
【分析】
(1)
(2)利用完全平方公式进行化简,然后代入,的值,即可推出结论;
(3)根据
(1)所推出的结论,即可推出﹣2﹣1;
(4)根据(3)的结论,即可推出a66645=2S43.
【解答】解:
(1)S222=()2﹣23;
(2)∵(a22)()322333(),
∴3×133﹣1,
∴a33=4,即S3=4;
∵S4=(a22)2﹣2()2=7,
∴S4=7;
(3)∵S2=3,S3=4,S4=7,
∴S234,
∴﹣2﹣1;
(3)∵﹣2﹣1,S2=3,S3=4,S4=7,
∴S5=4+7=11,
∴S6=7+11=18.
【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用,关键在于根据题意推出S2=3,S3=4,S4=7,分析归纳出规律:
﹣2﹣1.
19.(2013春•重庆校级期末)
(1)利用因式分解简算:
9.82+0.4×9.8+0.04
(2)分解因式:
4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)
【分析】
(1)利用完全平方公式因式分解计算即可;
(2)先利用提取公因式法,再利用完全平方公式因式分解即可.
【解答】解:
(1)原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22
=(9.8+0.2)2
=100;
(2)4a(a﹣1)2﹣(1﹣a)
=(a﹣1)(4a2﹣41)
=(a﹣1)(2a﹣1)2.
【点评】此题考查因式分解的实际运用,掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键.
20.(2013春•惠山区校级期末)阅读材料:
若m2﹣22n2﹣816=0,求m、n的值.
解:
∵m2﹣22n2﹣816=0,∴(m2﹣22)+(n2﹣816)=0
∴(m﹣n)2+(n﹣4)2=0,∴(m﹣n)2=0,(n﹣4)2=0,∴4,4.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知x2+22y2+21=0,求x﹣y的值.
(2)已知△的三边长a、b、c都是正整数,且满足a22﹣6a﹣825=0,求△的最大边c的值.
(3)已知a﹣4,2﹣613=0,则a﹣ 7 .
【分析】
(1)将多项式第三项分项后,结合并利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出x与y的值,即可求出x﹣y的值;
(2)将已知等式25分为9+16,重新结合后,利用完全平方公式化简,根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出a与b的值
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