高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案.docx
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高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
抛
物
线
定义
平面内与一个定点
和一条定直线
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点
叫做抛物线的焦点,直线
叫做抛物线的准线。
{
=点M到直线
的距离}
范围
对称性
关于
轴对称
关于
轴对称
焦点
(
0)
(
0)
(0,
)
(0,
)
焦点在对称轴上
顶点
离心率
=1
准线
方程
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦半径
焦点弦长
焦点弦
的几条性质
以
为直径的圆必与准线
相切
若
的倾斜角为
,则
若
的倾斜角为
,则
切线
方程
一.直线与抛物线的位置关系
直线
,抛物线
,
,消y得:
(1)当k=0时,直线
与抛物线的对称轴平行,有一个交点;
(2)当k≠0时,
Δ>0,直线
与抛物线相交,两个不同交点;
Δ=0,直线
与抛物线相切,一个切点;
Δ<0,直线
与抛物线相离,无公共点。
(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?
(不一定)
二.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线
:
抛物线
,
1 联立方程法:
设交点坐标为
,则有
以及
,还可进一步求出
,
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如
1.相交弦AB的弦长
或
b.中点
,
2 点差法:
设交点坐标为
,
,代入抛物线方程,得
将两式相减,可得
a.在涉及斜率问题时,
b.在涉及中点轨迹问题时,设线段
的中点为
,
,
即
,
同理,对于抛物线
,若直线
与抛物线相交于
两点,点
是弦
的中点,则有
(注意能用这个公式的条件:
1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)
抛物线练习及答案
1、已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为。
(
-1)
2、已知点P是抛物线
上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为。
3、直线
与抛物线
交于
两点,过
两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为
,则梯形
的面积为。
4、设
是坐标原点,
是抛物线
的焦点,
是抛物线上的一点,
与
轴正向的夹角为
,则
为。
5、抛物线
的焦点为
,准线为
,经过
且斜率为
的直线与抛物线在
轴上方的部分相交于点
,
,垂足为
,则
的面积是。
6、已知抛物线
的焦点为
,准线与
轴的交点为
,点
在
上且
,则
的面积为。
7、已知双曲线
,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为。
8、在平面直角坐标系
中,有一定点
若线段
的垂直平分线过抛物线
则该抛物线的方程是。
9、在平面直角坐标系
中,已知抛物线关于
轴对称,顶点在原点
,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是。
10、抛物线
上的点到直线
距离的最小值是。
11、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是。
32
12、若曲线
=|
|+1与直线
=
+
没有公共点,则
、
分别应满足的条件是。
=0,-1<
<1
13、已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于()C
A.3B.4C.3
D.4
14、已知抛物线
的焦点为
,点
,
在抛物线上,且
,则有( )C
A.
B.
C.
D.
15、已知点
是抛物线
上的两个动点,
是坐标原点,向量
满足
.设圆
的方程为
。
(1)证明线段
是圆
的直径;
(
)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为
时,求p的值。
解:
(1)证明1:
,
,整理得:
,
,
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
,
即
,整理得:
,
故线段
是圆
的直径。
证明2:
,
,整理得:
,
……..
(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即
,
去分母得:
,
点
满足上方程,展开并将
(1)代入得:
,
故线段
是圆
的直径。
证明3:
,
,
整理得:
,
……
(1)
以线段AB为直径的圆的方程为
,
展开并将
(1)代入得:
,
故线段
是圆
的直径
(2)解法1:
设圆C的圆心为C(x,y),则
,
,又因
,
,
,
,
,
,
所以圆心的轨迹方程为
,
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
,
当y=p时,d有最小值
由题设得
,
.
解法2:
设圆C的圆心为C(x,y),则
,
,又因
,
,
,
,
,
,
所以圆心的轨迹方程为
,
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为
则
,因为x-2y+2=0与
无公共点,
所以当x-2y-2=0与
仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
将
(2)代入(3)得
,
,
解法3:
设圆C的圆心为C(x,y),则
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
,
,又因
,
,
,
,
,
,
当
时,d有最小值
由题设得
,
.
16、已知椭圆C1:
抛物线C2:
且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(1)当AB⊥
轴时,求
、
的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
(2)是否存在
、
的值,使抛物线C2的焦点恰在直线AB上?
若存在,求出符合条件的
、
的值;若不存在,请说明理由.
解:
(1)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为(1,
)或(1,-
).因为点A在抛物线上,所以
,即
.此时C2的焦点坐标为(
,0),该焦点不在直线AB上.
(2)解法一 当C2的焦点在AB时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为
.
由
消去y得
.……①
设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1,x2是方程①的两根,x1+x2=
.
因为AB既是过C1的右焦点的弦,又是过C2的焦点的弦,
所以
,且
.
从而
.
所以
,即
.
解得
.
因为C2的焦点
在直线
上,所以
.
即
.
当
时,直线AB的方程为
;
当
时,直线AB的方程为
.
解法二 当C2的焦点在AB时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程
为
.
由
消去y得
. ……①
因为C2的焦点
在直线
上,
所以
,即
.代入①有
.
即
.……②
设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1,x2是方程②的两根,x1+x2=
.
由
消去y得
. ……③
由于x1,x2也是方程③的两根,所以x1+x2=
.
从而
=
.解得
.
因为C2的焦点
在直线
上,所以
.
即
.
当
时,直线AB的方程为
;
当
时,直线AB的方程为
.
解法三 设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
因为AB既过C1的右焦点
,又是过C2的焦点
,
所以
.
即
.……①
由(Ⅰ)知
,于是直线AB的斜率
, ……②
且直线AB的方程是
所以
.……③
又因为
,所以
.……④
将①、②、③代入④得
,即
.
当
时,直线AB的方程为
;
当
时,直线AB的方程为
.
17、如图,倾斜角为a的直线经过抛物线
的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。
(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
(2)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。
(1)解:
设抛物线的标准方程为
,则
,从而
因此焦点
的坐标为(2,0).
又准线方程的一般式为
。
从而所求准线l的方程为
。
答(21)图
(2)解法一:
如图(21)图作AC⊥l,BD⊥l,垂足为C、D,则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记A、B的横坐标分别为xxxz,则|FA|=|AC|=
解得
,
类似地有
,解得
。
记直线m与AB的交点为E,则
,
所以
。
故
。
解法二:
设
,
,直线AB的斜率为
,则直线方程为
。
将此式代入
得
,故
。
记直线m与AB的交点为
,则
,
,故直线m的方程为
.
令y=0,得P的横坐标
故
。
从而
为定值。
18、已知正三角形
的三个顶点都在抛物线
上,其中
为坐标原点,设圆
是
的内接圆(点
为圆心)
(1)求圆
的方程;
(2)设圆
的方程为
,过圆
上任意一点
分别作圆
的两条切线
,切点为
,求
的最大值和最小值.
(1)解法一:
设
两点坐标分别为
,
,由题设知
.
解得
,所以
,
或
,
.
设圆心
的坐标为
,则
,所以圆
的方程为
.
解法二:
设
两点坐标分别为
,
,由题设知
.又因为
,
,可得
.即
.由
,
,可知
,故
两点关于
轴对称,所以圆心
在
轴上.设
点的坐标为
,则
点坐标为
,于是有
,解得
,所以圆
的方程为
.
(2)解:
设
,则
.
在
中,
,由圆的几何性质得
,
,
所以
,由此可得
.则
的最大值为
,最小值为
.
19、若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时,点P(x,0)存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
(1)证明:
点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同;
(2)试问:
点P(x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?
若存在,求其最大值(用x0表示):
若不存在,请说明理由.
解:
(1)设AB为点P(x0,0)的任意一条“相关弦”,且点A、B的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2)(x1
x2),则y21=4x1,y22=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).因为x1
x2,所以y1+y2
0.设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M(xm,ym),则k=
.
从而AB的垂直平分线l的方程为
又点P(x0,0)在直线
上,所以
而
于是
故点P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0
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- 高中 抛物线 知识点 归纳 总结 练习题 答案