高中数学易错题举例解析.docx
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高中数学易错题举例解析
高中数学易错题举例解析
高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被忽略。
也就是在转化进程中,没有注意转化的等价性,会常常出现错误。
本文通过几个例子,剖析致错原因,希望能对同窗们的学习有所帮忙。
增强思维的周密性训练。
●轻忽隐含条件,致使结果错误。
【例1】
(1)设
是方程
的两个实根,则
的最小值是
思路分析本例只有一个答案正确,设了3个陷阱,很容易被骗。
利用一元二次方程根与系数的关系易患:
有的学生一看到
,常受选择答案(A)的诱惑,盲从附和。
这正是思维缺乏反思性的表现。
若是能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就可以从当选出正确答案。
原方程有两个实根
,∴
当
时,
的最小值是8;
当
时,
的最小值是18。
这时就可以够作出正确选择,只有(B)正确。
(2)已知(x+2)2+
=1,求x2+y2的取值范围。
错解由已知得y2=-4x2-16x-12,因此x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+
)2+
,
∴当x=-
时,x2+y2有最大值
,即x2+y2的取值范围是(-∞,
]。
分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制,丢掉了最小值。
事实上,由于(x+2)2+
=1(x+2)2=1-
≤1-3≤x≤-1,
从而当x=-1时x2+y2有最小值1。
∴x2+y2的取值范围是[1,
]。
注意有界性:
偶次方x2≥0,三角函数-1≤sinx≤1,指数函数ax>0,圆锥曲线有界性等。
●轻忽不等式中等号成立的条件,致使结果错误。
【例2】已知:
a>0,b>0,a+b=1,求(a+
)2+(b+
)2的最小值。
错解(a+
)2+(b+
)2=a2+b2+
+
+4≥2ab+
+4≥4
+4=8,
∴(a+
)2+(b+
)2的最小值是8.
分析上面的解答中,两次用到了大体不等式a2+b2≥2ab,第一次等号成立的条件是a=b=
第二次等号成立的条件是ab=
,显然,这两个条件是不能同时成立的。
因此,8不是最小值。
事实上,原式=a2+b2+
+
+4=(a2+b2)+(
+
)+4=[(a+b)2-2ab]+[(
+
)2-
]+4
=(1-2ab)(1+
)+4,
由ab≤(
)2=
得:
1-2ab≥1-
=
且
≥16,1+
≥17,
∴原式≥
×17+4=
(当且仅当a=b=
时,等号成立),
∴(a+
)2+(b+
)2的最小值是
。
●不进行分类讨论,致使错误
【例3】
(1)已知数列
的前
项和
,求
错误解法
错误分析显然,当
时,
。
错误原因:
没有注意公式
成立的条件是。
因此在运用
时,必需查验
时的情形。
即:
。
(2)实数
为何值时,圆
与抛物线
有两个公共点。
错误解法将圆
与抛物线
联立,消去
,
得
①
因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得
,解之得
错误分析(如图2-2-1;2-2-2)显然,当
时,圆与抛物线有两个公共点。
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时,得
解之,得
因此,当
或
时,圆
与抛物线
有两个公共点。
试探题:
实数
为何值时,圆
与抛物线
,
(1)有一个公共点;
(2)有三个公共点;(3)有四个公共点;(4)没有公共点。
●以偏概全,致使错误
以偏概尽是指试探不全面,遗漏特殊情形,致使解答不完全,不能给出问题的全数答案,从而表现出思维的不周密性。
【例4】
(1)设等比数列
的全
项和为
.若
,求数列的公比
.
错误解法
,
。
错误分析在错解中,由
,
时,应有
。
在等比数列中,
是显然的,但公比q完全可能为1,因此,在解题时应先讨论公比
的情形,再在
的情形下,对式子进行整理变形。
正确解法若
,则有
但
,即得
与题设矛盾,故
.
又依题意
⇒
⇒
即
因为
,所以
所以
解得
说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第(21)题,很多考生的解法同错误解法,按照评分标准而痛失2分。
(2)求过点
的直线,使它与抛物线
仅有一个交点。
错误解法设所求的过点
的直线为
,则它与抛物线的交点为
,消去
得
整理得
直线与抛物线仅有一个交点,
解得
所求直线为
错误分析此处解法共有三处错误:
第一,设所求直线为
时,没有考虑
与斜率不存在的情形,实际上就是承认了该直线的斜率是存在的,且不为零,这是不周密的。
第二,题中要求直线与抛物线只有一个交点,它包括相交和相切两种情形,而上述解法没有考虑相切的情形,只考虑相交的情形。
原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三,将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程,要考虑它的判别式,所以它的二次项系数不能为零,即
而上述解法没作考虑,表现出思维不周密。
正确解法①当所求直线斜率不存在时,即直线垂直
轴,因为过点
,所以
即
轴,它正好与抛物线
相切。
②当所求直线斜率为零时,直线为y=1平行
轴,它正好与抛物线
只有一个交点。
③一般地,设所求的过点
的直线为
则
,
令
解得k=
∴所求直线为
综上,知足条件的直线为:
《章节易错训练题》
1、已知A=
,求
(注意元素的肯定性)
二、已知A=
且
求a的取值范围。
(答案
注意空集)
3、写出“若
或
则
”的否命题。
4、求函数
的概念域。
五、已知函数
,求函数
的值域。
答案
六、判断函数
的奇偶性。
(既是奇函数又是偶函数,注意概念域特征)
7、已知函数
是R上的增函数,求a的范围。
答案
,(本题若把概念域改成整数集再求a的范围)
错因:
从二次函数的角度试探,用
8、函数
在x=1处有极值10,求a、b的值。
(a=4,b=-4,另外一组要舍去,注意要查验)
9、若函数
在R上为减函数,求实数a取值范围。
(
注意利用
)
10、已知A=
,若A∩R*=Φ,则实数t集合T=___。
(空集)
11、若是kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,则实数k的取值范围是C(等号)
(A)-1≤k≤0(B)-1≤k<0(C)-1 12、命题 <3,命题 <0,若A是B的充分没必要要条件,则 的取值范围是C(等号) (A) (B) (C) (D) 13、若不等式x2-logax<0在(0, )内恒成立,则实数 的取值范围是A(等号) (A)[ 1)(B)(1,+∞)(C)( 1)(D)( 1)∪(1,2) 14、若不等式(-1)na<2+ 对于任意正整数n恒成立,则实数 的取值范围是A(等号) (A)[-2, )(B)(-2, )(C)[-3, )(D)(-3, ) 15、已知概念在实数集 上的函数 知足: ;当 时, ;对于任意 的实数 、 都有 。 证明: 为奇函数。 (特殊与一般关系) 16、已知函数f(x)= ,则函数 的单调区间是_____。 递减区间(-∞,-1)和(-1,+∞) (单调性、单调区间) 17、函数y= 的单调递增区间是________。 [- ,-1)(概念域) 18、函数f(x)=log (x2+ax+2)值域为R,则实数a的取值范围是D(正确利用△≥0和△<0) (A)(-2 2 )(B)[-2 2 ] (C)(-∞,-2 )∪(2 +∞)(D)(-∞,-2 ]∪[2 +∞) 19、若x≥0,y≥0且x+2y=1,那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件) (A)2(B) (C) (D)0 20、函数y= 的值域是________。 (-∞, )∪( 1)∪(1,+∞)(概念域) 21.已知f(3)=2,f’(3)=-2,则 的值为() A.-4B.0C.8D.不存在 22、已知f(x)是周期为2的奇函数,当x∈[0,1)时,f(x)=2x,则f(log 23)=D(对数运算) (A) (B) (C)- (D)- 23、已知函数 在 处取得极值。 (1)讨论 和 是函数 的极大值仍是极小值;(a=1,b=0, 是极大值, 是极小值) (2)过点 作曲线 的切线,求此切线方程。 (y=9x+16,(2004天津) (求极值或最值推理判断不充分(建议列表);求过点切线方程,不判断点是不是在曲线上。 ) 24、函数y=sinx(1+tanxtan )的最小正周期是C(概念域) (A) (B)π(C)2π(D)3 25、已知tan(α- )=- 则tanα=; =。 、 (化齐次式) 26、若3sin2α+2sin2β-2sinα=0,则cos2α+cos2β的最小值是__。 (隐含条件) 27、已知sinθ+cosθ= ,θ∈(0,π),则tanθ=_______。 (隐含条件) 28、在△ABC中,用a、b、c和A、B、C别离表示它的三条边和三条边所对的角,若a=二、 、 ,则∠B=B(隐含条件) (A) (B) (C) (D) 29、已知x≠kπ(k∈Z),函数y=sin2x+ 的最小值是______。 5(三相等) 30、求 的最小值。 错解1 错解2 错误分析在解法1中, 的充要条件是 即 这是自相矛盾的。 在解法2中, 的充要条件是 这是不可能的。 正确解法1 其中,当 正确解法2取正常数 ,易患 其中“ ”取“=”的充要条件是 因此,当 31.已知 是递增数列,且对任意 都有 恒成立,则实数 的取值范围(D) A、( B、( C、( D、( 错解: C 32. 是 成等比数列的() A.充分没必要要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也没必要要条件 解: 不必然等比 如 若 成等比数列 则 选D 33.已知Sk表示{an}的前K项和,Sn—Sn+1=an(n∈N+),则{an}必然是_______。 A、等差数列B、等比数列C、常数列D、以上都不正确 正确答案: D 错误原因: 忽略an=0这一特殊性 34.等比数列{an}的公比为q,则q>1是“对于任意n∈N+”都有an+1>an的_______条件。 A、必要不充分条件B、充分没必要要条件 C、充要条件D、既不充分也没必要要条件 正确答案: D 错误原因: 忽略a1与q一路限制单调性这一特性 35、已知a1=1,an=an-1+2n-1(n≥2),则an=________。 2n-1(认清项数) 36、已知
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