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误差理论与数据处理课后答案
误差理论与数据处理》练习题
参-考-答-案
第一章绪论
绝对误差等于:
180o0002180°2
相对误差等于:
222
°—0.000003086410.000031%
180°1806060648000
1—5测得某三角块的三个角度之和为解:
180°00'02”,试求测量的绝对误差和相对误差
1-8在测量某一长度时,读数值为2.31m,其最大绝对误差为20m,试求其最
大相对误差
8.6610-4%
1—10检定2.5级(即引用误差为2.5%)的全量程为I00V的电压表,发现50V刻度点的示值误差2V为最大误差,问该电表是否合格?
解:
2V
2/100=2%
%<2.5%
依题意,该电压表的示值误差为由此求出该电表的引用相对误差为因为2
所以,该电表合格。
1-12用两种方法分别测量L1=50mmL2=80mm测得值各为50.004mm80.006mm
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差
5000450
L1:
50mmI1100%0.008%
50
L2:
80mmI280.00680100%0.0075%
80
I1I2所以L2=80mn方法测量精度高。
1—13多级弹导火箭的射程为10000km时,其射击偏离预定点不超过0.1km,优秀射手能
在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心,试评述哪一个射击精度高?
解:
多级火箭的相对误差为:
01
0.000010.001%
10000
射手的相对误差为:
1cm0.01m
——0.00020.002%
50m50m
多级火箭的射击精度高。
第二章误差的基本性质与处理
2-6测量某电路电流共5次,测得数据(单位为mA)为168.41,168.54,168.59,168.40,
168.50。
试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
解:
Ii
i1
168.49(mA)
5
4i1(HI)4
-i1-0.080.06
5「515
2—7在立式测长仪上测量某校对量具,重复测量5次,测得数据(单位为mm为20.0015,
定测量结果。
解:
求算术平均值
20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。
若测量值服从正态分布,试以99%的置信概率确
n
li
xJ—20.0015mm
n
求单次测量的标准差
2
Vi
求算术平均值的标准差
确定测量的极限误差
因n=5较小,算术平均值的极限误差应按t分布处理。
现自由度为:
v=n—1=4;a=1—0.99=0.01,
查t分布表有:
ta=4.60
极限误差为
imxtx4.601.141045.24104mm
写出最后测量结果4
Lx|imx20.00155.2410mm
2-9用某仪器测量工件尺寸,在排除系统误差的条件下,其标准差0.004mm,若要求测量结果的置信限为0.005mm,当置信概率为99%寸,试求必要的测量次数。
正态分布p=99%时,t2.58
limx
厂2.580.004ccc,
、n2.064
0.005
n4.26
取n5
即要达题意要求,必须至少测量5次。
2—10用某仪器测量工件尺寸,已知该仪器的标准差^=0.001mm,若要求测量的允许极
限误差为土0.0015mm,而置信概率P为0.95时,应测量多少次?
解:
根据极限误差的意义,有
txt—0.0015
Vn
根据题目给定得已知条件,有
查教材附录表3有
若n=5,v=4,a=0.05,有t=2.78,
若n=4,v=3,a=0.05,有t=3.18,
注1.59
t3.18
.n,4
即要达题意要求,必须至少测量5次。
2-12某时某地由气压表得到的读数(单位为Pa)为102523.85,102391.30,
102257.97,102124.65,101991.33,101858.01,101724.69,101591.36,其权各为1,3,5,7,8,6,4,2,试求加权算术平均值及其标准差。
8
_PiXi
XT102028.34(Pa)
Pi
i1
86.95(Pa)
2-13测量某角度共两次,测得值为1241336,22413'24'',其标准差
分别为13.1,213.8,试求加权算术平均值及其标准差。
11
P1:
P22:
219044:
961
12
2-14甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各重复测量5次,测得值如下:
甲:
7220,730,7235,7220,7215;
乙:
7225,7225,7220,7250,7245;
试求其测量结果
18.4"
:
」y3648:
6773
8.2326.042
364830"677333"壮
36486773
Xx3x7232”15''
0.014m/s2。
另夕卜30次测量具有平均值为9.802m/s2,标准差为
0.022m/s2。
假设这两组测量属于同一正态总体。
试求此50次测量的平
均值和标准差。
11
P1:
P2厂:
p
xf
11
2:
2242:
147
0.0140.022
.30
20
X2429・8111479.8029.808(m/s2)
242147
242
O.014_242_0.002(m/s2)
20242147
2-17对某量进行10次测量,测得数据为14.7,15.0,15.2,14.8,15.5,14.6,
14.9,14.8,15.1,
15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差。
x14.96
按贝塞尔公式
10.2633
按别捷尔斯法
1.253
10
Vi
i1
0.2642
10(101)
0.67
所以测量列中无系差存在。
2-18对一线圈电感测量
10次,前4次是和一个标准线圈比较得到的,后6次
是和另一个标准线圈比较得到的,测得结果如下(单位为mH:
50.82,50.83,50.87,50.89;
50.78,50.78,50.75,50.85,50.82,50.81。
试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。
使用秩和检验法:
排序:
序号
1
2
3
4
5
第一组
第二组
50.75
50.78
50.78
50.81
50.82
序号
6
7
8
9
10
第一组
50.82
50.83
50.87
50.89
第二组
50.85
T=5.5+7+9+10=31.5
查表T14T30
TT所以两组间存在系差
0.1
2-21对某量进行两组测量,测得数据如下:
Xi
0.62
0.86
1.13
1.13
1.16
1.18
1.20
1.21
1.22
1.30
1.34
1.39
1.41
1.57
yi
0.99
1.12
1.21
1.25
1.31
1.31
1.38
1.41
1.48
1.59
1.60
1.60
1.84
1.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。
解:
按照秩和检验法要求,将两组数据混合排列成下表:
T
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Xi
0.62
0.86
1.13
1.13
1.16
1.18
1.20
yi
0.99
1.12
1.21
T
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Xi
1.21
1.22
1.30
1.34
1.39
1.41
yi
1.25
1.31
1.31
1.38
T
21
22
23
24
25
26
27
28
Xi
1.57
yi
1.41
1.48
1.59
1.60
1.60
1.84
1.95
现nx=14,ny=14,取x的数据计算T,得T=154。
由
可以认为两组数据间没有系统误差。
第三章误差的合成与分配
3-2为求长方体体积V,直接测量其各边长为a161.6mm,
b44.5mm,c11.2mm,已知测量的系统误差为a1.2mm,b0.8mm,
c0.5mm,测量的极限误差为a0.8mm,
0.5mm,c0.5mm,试求立方体的体积及其体积的极限误差
VabcVf(a,b,c)
V0abc161.644.511.2
80541.44(mm)
体积V系统误差V为:
Vbcaacbabc
33
2745.744(mm)2745.74(mm)
立方体体积实际大小为:
VV0V77795.70(mm3)
(bc)2a2(ac)2b2(ab)2「
体积的标准差应为:
VJ』)I2
Vai
V2
()2
a2
()23
a3
现可求出:
a2
a3;
若:
则有:
若:
3-4
ai
aia2
V
a3;
a3
ai
a2
22.V22.V22
1()2()3
a?
;(a293)2(da3)2(a(a2)2
则有:
V.(a2a3)1(a1a3)2(a1a2)3
1
23
测量某电路的电流I
22.5mA,电压U
0.5mA,u0.1V,
求所耗功率
UI
12.622.5283.5(mw)
f(U,I)U、I成线性关系
UI
U)2
r)2
)(
£)2(=2
a?
12.6V,测量的标准差分别为
PUI及其标准差
1%
即V1%251.21%2.51
现按等作用原则分配误差,可以求出测定r的误差应为:
12.511
r0.007cm
2V/r1.412hr
测定h的误差应为:
12.511
h20.142cm
<2V/h1.41r2
3-14对某一质量进行4次重复测量,测得数据(单位g)为428.6,429.2,426.5,
430.8。
已知测量的已定系统误差2.6g,测量的各极限误差分量及其相应的
传递系数如下表所示。
若各误差均服从正态分布,试求该质量的最可信赖值及其极限误差。
序号
极限误差/g
误差传递系数
随机误差
未定系统误差
1
2.1
一
1
2
一
1.5
1
3
一
1.0
1
4
一
0.5
1
5
4.5
一
1
6
一
2.2
1.4
7
1.0
一
2.2
8
一
1.8
1
-428.6429.2426.5430.8
x
4
428.775(g)428.8(g)
4.9(g)
4—1某圆球的半径为r,若重复10次测量得r±cr=(3.132±0.005)cm,试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度,置信概率P=99%。
解:
①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度
已知圆球的最大截面的圆周为:
D2r
=0.0314cm
确定包含因子。
查t分布表to.01(9)=3.25,及K=3.25故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为:
U=Ku=3.25X0.0314=0.102
②求圆球的体积的测量不确定度
43
圆球体积为:
V4r3
3
其标准不确定度应为:
12,
uJ上2V4r22r2V163.1415923.13240.00520.616
r
确定包含因子。
查t分布表tc.01(9)=3.25,及K=3.25
最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U=Ku=3.25X0.616=2.002
4-4某校准证书说明,标称值10的标准电阻器的电阻R在20C时为
10.000742129(P=99%,求该电阻器的标准不确定度,并说明属于哪一
类评定的不确定度
Q由校准证书说明给定
属于B类评定的不确定度
QR在[10.000742-129,10.000742+129]围概率为99%不为
100%
不属于均匀分布,属于正态分布
a129当p=99%寸,Kp2.58
4-5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径,量块组
由三块量块研合而成,其尺寸分别是:
l140mm,l210mm,
0.20(m)
2V量程的测量误差不超过
4—6某数字电压表的说明书指出,该表在校准后的两年,其
±(14X10-6读数+1X10-6X量程)V,相对标准差为20%,若按均匀分布,求1V测量时电
压表的标准不确定度;设在该表校准一年后,对标称值为1V的电压进行16次重复测量,
得观测值的平均值为0.92857V,并由此算得单次测量的标准差为0.000036V,若以平均值
作为测量的估计值,试分析影响测量结果不确定度的主要来源,分别求出不确定度分量,说明评定方法的类别,求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。
第五章线性参数的最小二乘法处理
5-1测量方程为
3xy2.9
x2y0.9试求x、
y的最小二乘法处理及其相应精度。
误差
2x
3y
1.9
v1
2.9
(3x
y)
方程为v2
0.9
(x
2y)
V3
1.9
(2x
3y)
n
ai1ai1x
n
ai1ai
n
2yai1
列正规方程
i1n
i1n
i1n
i1
i1
a2a
i2yai
i1
14x5y
13.4
解得
x
0.962
0.015
y
li
代入数据得
2li
5x14y4.6
解得d11d220.082
x3y5.6,p11
5-7不等精度测量的方程组如下:
4xy8.1,P22
2xy0.5,p33
试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度
V1
5.6(x
3y),P1
1
列误差方程V2
8.1
(4x
y),P2
2
V3
0.5
(2x
y),P3
3
3
3
3
Piai1a
|Xp
iai1ai2ypiai1
正规方程为
i1
3
i1
3
i1
3
pai2£^ix碍心Pi^lj
i1i1i1
代入数据得
45xy
x14y
62.2解得
x1.434
31.5
y2.352
0.022
将x、y代入误差方程可得
0.012
0.016
3
2
则测量数据单位权标准差为
PiVi
求解不定乘数d11
d21
d12
d22
45d11
dn
45d21
d21
d12
14d12
d22
14d22
1
0
0
1
wd110.022
解得11
d220.072
x、y的精度分别为
...d110.006
0.010
第六章回归分析
6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。
对某种材料试验的数据如下:
正应力x/Pa
26.8
25.4
28.9
23.6
27.7
23.
9
抗剪强度
y/Pa
26.5
27.3
24.2
27.1
23.6
25.
9
正应力x/Pa
24.7
28.1
26.9
27.4
22.6
25.
6
抗剪强度
y/Pa
26.3
22.5
21.7
21.4
25.8
24.
9
假设正应力的数值是正确的,求
(1)抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。
(2)当正应力为24.5Pa时,抗剪强度的估计值是多少?
(1)设一元线形回归方程
y
b0
bx
N12
b
〔xy
lxx
lxx
43.047
lxy29.533
b0
y
bx
1
x311.625.97
12
lxy
b
29.533
0.69y
1
297.224.77
lxx
43.047
12
bo24.770.6925.9742.69
y?
42.690.69x
(2)当X=24.5Pa
y?
42.690.6924.525.79(Pa)
6-10用直线检验法验证下列数据可以用曲线yabx表示。
x
30
35
40
45
50
55
60
y
-0.4786
-2.188
-11.22
-45.71
-208.9
-870.9
-3802
x
yablog(y)log(a)logbx
ZiIog(y)Z2x
取点做下表
Z2
30
40
50
60
乙
-0.32
1.05
2.32
3.58
以Zi与Z2画图
所得到图形为一条直线,故选用函数类型yabx合适
210.0034
1
I22.50.112.60.5
8.55(mw)
3—12按公式V=nr2h求圆柱体体积,若已知r约为2cm,h约为20cm,要使体积的相对误差等于1%,试问r和h测量时误差应为多少?
解:
若不考虑测量误差,圆柱体积为
Vr2h3.142220251.2cm3
根据题意,体积测量的相对误差为1%,即测定体积的相对误差为:
i10.039
32
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