高中数学 第三章 三角恒等变换单元综合测试 新人教A版必修4.docx
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高中数学第三章三角恒等变换单元综合测试新人教A版必修4
2019-2020年高中数学第三章三角恒等变换单元综合测试新人教A版必修4
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是( )
A.sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)>cosα+cosβ
C.cos(α+β) 解析: 当α=β=30°时可排除A,B;当α=β=15°时,代入C得0 <4sin215°=4× =2- ≈0.268,矛盾.故选D. 答案: D 2.化简cos2( -α)-sin2( -α)得到( ) A.sin2αB.-sin2α C.cos2αD.-cos2α 解析: 原式=cos2( -α)=cos( -2α)=sin2α. 答案: A 3. =( ) A. B. C.2D. 解析: 原式= = =2. 答案: C 4.已知tanα= ,tan(α-β)=- ,那么tan(β-2α)的值为( ) A.- B.- C.- D. 解析: tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]=- . 答案: B 5.已知函数f(x)= sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是( ) A. ,k∈Z B. ,k∈Z C. ,k∈Z D. ,k∈Z 解析: f(x)= sinωx+cosωx=2sin(ωx+ ),由已知得周期T=π. ∴ω=2,即f(x)=2sin(2x+ ). 由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 答案: C 6.在△ABC中,sinAsinB A.直角三角形B.钝角三角形 C.锐角三角形D.等腰三角形 解析: sinAsinB -cos(A+B)<0,所以cosC<0,从而角C为钝角,△ABC为钝角三角形. 答案: B 7. · 等于( ) A.tanαB.tan2α C.1D. 解析: 原式= · = = =tan2α. 答案: B 8.若cos2θ+cosθ=0,则sin2θ+sinθ=( ) A.0B.± C.0或 D.0或± 解析: 由cos2θ+cosθ=0得2cos2θ-1+cosθ=0, 所以cosθ=-1或 . 当cosθ=-1时,有sinθ=0; 当cosθ= 时,有sinθ=± . 于是sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0或 或- . 答案: D 9.已知等腰三角形顶角的余弦值等于 ,则这个三角形底角的正弦值为( ) A. B.- C. D.- 解析: 设等腰三角形的底角为α(0<α< ),则其顶角为π-2α.由已知cos(π-2α)= , ∴cos2α=- . 故1-2sin2α=- ,sin2α= . 又0<α< ,∴sinα= . 答案: C 10.已知sin2α= ( <2α<π),tan(α-β)= ,则tan(α+β)=( ) A.-2B.-1 C.- D. 解析: 由sin2α= ,且 <2α<π, 可得cos2α=- ,∴tan2α=- , ∴tan(α+β)=tan[2α-(α-β)] = =-2. 答案: A 11.已知向量a=(cos2α,sinα),b=(1,2sinα-1),α∈( ,π),若a·b= ,则tan(α+ )=( ) A. B. C. D. 解析: 由题意,得cos2α+sinα(2sinα-1)= , 解得sinα= .又α∈( ,π), 所以cosα=- ,tanα=- , 则tan(α+ )= = . 答案: C 12.将函数f(x)= sin2xsin +cos2xcos - sin( + )的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)在[0, ]上的最大值和最小值分别为( ) A. ,- B. ,- C. ,- D. ,- 解析: f(x)= × sin2x+ cos2x- sin = sin2x+ cos2x- = sin2x+ × - = sin(2x+ ), 所以g(x)= sin(4x+ ). 因为x∈[0, ],所以4x+ ∈[ , ],所以当4x+ = 时,g(x)取得最大值 ;当4x+ = 时,g(x)取得最小值- . 答案: C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.已知α,β为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tanα=________. 解析: ∵cos(α+β)=sin(α-β), ∴cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ. ∴cosα(sinβ+cosβ)=sinα(sinβ+cosβ). ∵β为锐角,∴sinβ+cosβ≠0,∴cosα=sinα, ∴tanα=1. 答案: 1 14.已知cos(α- )+sinα= ,则sin(α+ )的值为________. 解析: 由已知得 cosα+ sinα= , 所以 cosα+ sinα= , 即sin(α+ )= , 因此,sin(α+ )=-sin(α+ )=- . 答案: - 15.已知0 ,化简: lg(cosx·tanx+1-2sin2 )+lg[ cos(x- )]-lg(1+sin2x)=________. 解析: 原式=lg(sinx+cosx)+lg(sinx+cosx)-lg(sinx+cosx)2=0. 答案: 0 16.设函数f(x)=2cos2x+ sin2x+a,已知当x∈[0, ]时,f(x)的最小值为-2,则a=________. 解析: f(x)=1+cos2x+ sin2x+a =2sin(2x+ )+a+1. ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ]. ∴sin(2x+ )∈[- ,1], ∴f(x)min=2×(- )+a+1=a.∴a=-2. 答案: -2 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知cos(x- )= ,x∈( , ). (1)求sinx的值; (2)求sin(2x+ )的值. 解: (1)∵x∈( , ),∴x- ∈( , ), ∵cos(x- )= ,∴sin(x- )= . ∴sinx=sin[(x- )+ ] =sin(x- )cos +cos(x- )sin = × + × = . (2)由 (1)可得cosx=- , ∴sin2x=- ,cos2x=- , ∴sin(2x+ )=sin2xcos +cos2xsin =- . 18.(12分)已知cosα= ,cos(α-β)= ,且0<β<α< . (1)求tan2α的值; (2)求β的值. 解: (1)∵0<α< 且cosα= , ∴sinα= = , ∴tanα= =4 . tan2α= = =- . (2)∵0<β<α< ,∴0<α-β< , 由cos(α-β)= . 得sin(α-β)= = , ∴sinβ=sin[α-(α-β)] =sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β) = × - × = , ∵0<β< ∴β= . 19.(12分)已知函数f(x)= cos(x- ),x∈R. (1)求f(- )的值; (2)若cosθ= ,θ∈( ,2π),求f(2θ+ ). 解: (1)f(- )= cos(- - ) = cos(- )= cos =1. (2)f(2θ+ )= cos(2θ+ - ) = cos(2θ+ ) =cos2θ-sin2θ. 因为cosθ= ,θ∈( ,2π),所以sinθ=- . 所以sin2θ=2sinθcosθ=- ,cos2θ=cos2θ-sin2θ=- . 所以f(2θ+ )=cos2θ-sin2θ=- -(- )= . 20.(12分)已知函数f(x)=sin(x- )+cos(x- ),g(x)=2sin2 . (1)若α是第一象限角,且f(α)= ,求g(α)的值; (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合. 解: f(x)=sin(x- )+cos(x- ) = sinx- cosx+ cosx+ sinx = sinx, g(x)=2sin2 =1-cosx, (1)由f(α)= ,得sinα= ,又α是第一象限角,所以cosα>0.从而g(α)=1-cosα=1- =1- = . (2)f(x)≥g(x)等价于 sinx≥1-cosx,即 sinx+cosx≥1. 于是sin(x+ )≥ . 从而2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 即2kπ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为 {x|2kπ≤x≤2kπ+ ,k∈Z}. 21.(12分)点P在直径为AB=1的半圆上移动,过点P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大? 解: 如图,因为AB为直径,PT切圆于P点,所以∠APB=90°,PA=cosα,PB=sinα, S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB = PA·PB+ PT·PBsinα = sinαcosα+ sin2α= sin2α+ = (sin2α-cos2α)+ = sin(2α- )+ . 因为0<α< ,因为- <2α- < , 所以当2α- = ,即α= 时,四边形ABTP的面积最大. 22.(12分)已知向量a=( sin2x,cos2x),b=(cos2x,-cos2x). (1)若x∈( , )时,a·b+ =- ,求cos4x的值; (2)cosx≥ ,x∈(0,π),若方程a·b+ =m有且仅有一个实根,求实数m的值. 解: (1)∵a·b= sin2xcos2x-cos22x ∴a·b+ = sin2xcos2x-cos22x+ = sin4x- + = sin4x- cos4x =sin(4x- )=- , ∵x∈( π, π),∴4x∈( π, π), 4x- ∈(π, π),∴cos(4x- )=- , ∴cos4x=cos[(4x- )+ ] =cos(4x- )cos -sin(4x- )sin =(- )× -(- )× = . (2)因为cosx≥ ,又余弦函数在(0,π)上是减函数, 所以0 , 令f(x)=a·b+ =sin(4x- ),g(x)=m, 在同一坐标系中作出两个函数的图象, 由图可知m=1或m=- . 2019-202
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