高考数学椭圆检测.docx

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高考数学椭圆检测

一、基础过关题

1．（2016·湖南六校联考）已知椭圆的中心在原点，离心率e＝

，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为（　　）

A.

＋

＝1B.

＋

＝1

C.

＋y2＝1D.

＋y2＝1

【答案】　A

【解析】　依题意，可设椭圆的标准方程为

＋

＝1（a>b>0），由已知可得抛物线的焦点为（－1,0），所以c＝1，又离心率e＝

＝

，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为

＋

＝1.

2．已知椭圆

＋

＝1的离心率为

，则k的值为（　　）

A．－21B．21

C．－

或21D.

或－21

【答案】　D

3．（2017·青岛月考）已知A1，A2分别为椭圆C：

＋

＝1（a>b>0）的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－

，则椭圆C的离心率为（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】　D

【解析】　设P（x0，y0），则

×

＝－

，

化简得

＋

＝1，

则

＝

，e＝

＝

＝

，故选D.

4.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：

①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③

<

；④c1a2>a1c2.

其中正确式子的序号是（　　）

A．①③B．①④C．②③D．②④

【答案】　D

5．（2016·贵州七校联考）以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（　　）

A．1B.

C．2D．2

【答案】　D

【解析】　设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，

依题意知，当三角形的高为b时面积最大，

所以

×2cb＝1，bc＝1，

而2a＝2

≥2

＝2

（当且仅当b＝c＝1时取等号），故选D.

6．若椭圆

＋

＝1（a>0，b>0）的焦点在x轴上，过点（2,1）作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．

【答案】　

＋

＝1

7．已知P为椭圆

＋

＝1上的一点，M，N分别为圆（x＋3）2＋y2＝1和圆（x－3）2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．

【答案】　7

【解析】　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，

从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.

8．（2017·石家庄质检）椭圆

＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________________．

【答案】　（－

，

）

【解析】　设椭圆上一点P的坐标为（x，y），

则

＝（x＋

，y），

＝（x－

，y）．

∵∠F1PF2为钝角，∴

·

<0，即x2－3＋y2<0，①

∵y2＝1－

，代入①得x2－3＋1－

<0，

x2<2，∴x2<

.

解得－

，∴x∈（－

，

）．

9．（2016·长沙模拟）已知过椭圆

＋

＝1（a>b>0）的左顶点A（－a，0）作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且

＝2

，则椭圆的离心率为________．

【答案】　

10．如图，椭圆C：

＋

＝1（a>b>0）的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|＝

|BF|.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若斜率为2的直线l过点（0,2），且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．

【答案】:

（1）求椭圆C的离心率

；

（2）直线l的方程为2x－y＋2＝0.椭圆C的方程为

＋y2＝1.

【解析】

（1）由已知|AB|＝

|BF|，即

＝

a，

4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4（a2－c2）＝5a2，∴e＝

＝

.

（2）由

（1）知a2＝4b2，∴椭圆C：

＋

＝1.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

直线l的方程为y－2＝2（x－0），即2x－y＋2＝0.

由

消去y，得x2＋4（2x＋2）2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0.

Δ＝322＋16×17（b2－4）>0，解得b>

.

x1＋x2＝－

，x1x2＝

.

∵OP⊥OQ，∴

·

＝0，

即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋（2x1＋2）（2x2＋2）＝0，5x1x2＋4（x1＋x2）＋4＝0.

从而

－

＋4＝0，

解得b＝1，满足b>

.∴椭圆C的方程为

＋y2＝1.

二、能力提高题

1.（2016·济南质检）设A1，A2为椭圆

＋

＝1（a>b>0）的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得

·

＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）

A．（0，

）B．（0，

）

C．（

，1）D．（

，1）

【答案】　D

∵f（0）＝－a2b2<0，f（a）＝0，如图，

Δ＝（a3）2－4（b2－a2）·（－a2b2）＝a2（a4－4a2b2＋4b4）＝a2（a2－2b2）2≥0，

∴对称轴满足0<－

∴

<1，∴

>

.又0<

<1，∴

<

<1，故选D.

2．（2015·天津）已知椭圆

＋

＝1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为

.

（1）求直线BF的斜率；

（2）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.

①求λ的值；

②若|PM|sin∠BQP＝

，求椭圆的方程．

【答案】:

（1）直线BF的斜率为2；

（2）λ＝

.椭圆方程为

＋

＝1.

（2）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）．

①由

（1）可得椭圆的方程为

＋

＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－

.

因为BQ⊥BP，所以直线BQ的方程为y＝－

x＋2c，与椭圆方程联立，消去y，

整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝

.

又因为λ＝

及xM＝0，可得λ＝

＝

＝

.

②因为

＝

，所以

＝

＝

，即|PQ|＝

|PM|.

又因为|PM|sin∠BQP＝

，所以|BP|＝|PQ|sin∠BQP＝

|PM|sin∠BQP＝

.

又因为yP＝2xP＋2c＝－

c，所以|BP|＝

＝

c，

因此

c＝

，得c＝1.

所以，椭圆方程为

＋

＝1.

3．（2016·长春调研）已知椭圆

＋

＝1（a>b>0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点．过F，B，A三点的圆的圆心坐标为（p，q）．

（1）当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；

（2）若点D（b＋1,0），在

（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（

＋

）·

的最小值为

，求椭圆的方程．

【答案】:

（1）

≤e<1.；

（2）椭圆的方程为

＋

＝1.

（2）当e＝

时，a＝

b＝

c，此时椭圆的方程为

＋

＝1，

设M（x，y），则－

c≤x≤

c，

所以（

＋

）·

＝

x2－x＋c2＝

（x－1）2＋c2－

.

当c≥

时，上式的最小值为c2－

，即c2－

＝

，得c＝2；

当0

时，上式的最小值为

（

c）2－

c＋c2，即

（

c）2－

c＋c2＝

，

解得c＝

，不合题意，舍去．

综上所述，椭圆的方程为

＋

＝1.

4．（2018江苏高考18）

如图，在平面直角坐标系

中，椭圆C过点

，焦点

，圆O的直径为

．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于

两点．若

的面积为

，求直线l的方程．

（2）①设直线l与圆O相切于

，则

，

所以直线l的方程为

，即

．

由

，消去y，得

．（*）

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

所以

．

因为

，所以

．

因此，点P的坐标为

．

点评．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．

5（2018全国高考I卷19）设椭圆

的右焦点为

，过

的直线

与

交于

两点，点

的坐标为

.

（1）当

与

轴垂直时，求直线

的方程；

（2）设

为坐标原点，证明：

.

（2）当l与x轴重合时，

.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以

.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为

，

，

则

，直线MA，MB的斜率之和为

.

由

得

.

将

代入

得

.

所以，

.

则

.

从而

，故MA，MB的倾斜角互补，所以

.

综上，

.