新教材人教B版必修二534 频率与概率.docx
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新教材人教B版必修二534频率与概率
5.3.4 频率与概率
课标要求
素养要求
1.了解频率、概率的区别与联系.
2.能用频率估计概率.
通过本节课的学习,提升学生的数学抽象和数据分析素养.
新知探究
随机抛一个瓶盖,观察它落地后的状态(如图).
问题 1.样本空间有几个样本点?
2.这样的随机试验是古典概型吗?
3.你能求出盖口朝下的概率吗?
4.怎样估计盖口朝下的概率?
提示 1.3
2.不是古典概型.
3.不能.
4.可做大量重复试验,用盖口朝下的频率估计盖口朝下的概率.
用频率估计概率
一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为
,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为
.此时也有0≤P(A)≤1,而且,可以验证,此时两对立事件的概率和为1以及互斥事件的概率加法公式等概率的性质也成立.
这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率.
拓展深化
[微判断]
1.在大量重复的试验过程中,一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率.(√)
2.试验的次数越多,频率与概率之间差距很小的可能性越大.(√)
3.频率是变化的,所以概率也是变化的.(×)
提示 概率是确定的值,与试验无关.
[微训练]
“某彩票的中奖率为
”意味着( )
A.买100张彩票就一定能中奖
B.买100张彩票能中一次奖
C.买100张彩票一次奖也不中
D.购买彩票中奖的可能性为
解析 某彩票的中奖率为
,意味着中奖的可能性为
,买100张彩票可能中奖,也可能不中奖.
答案 D
[微思考]
李明同学有三张奖券(每张奖券的中奖率为0.5,奖金2元),则李明同学的中奖金额有可能是多少?
提示 0,2,4,6元
题型一 对概率的正确理解
【例1】 下列说法正确的是( )
A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女
B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖
C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1
解析 一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确.
答案 D
规律方法 概率意义上的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说,单独一次试验结果的不确定性与大量重复试验积累结果的有规律性,才是概率意义上的“可能性”.事件A的概率是事件A的本质属性.
【训练1】 试解释下面情况中概率的意义:
(1)某商场为促进销售,举办有奖销售活动,凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20;
(2)一生产厂家称,我们厂生产的产品合格的概率是0.98.
解
(1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%;
(2)是说该厂生产的产品合格的可能性是98%.
题型二 用频率估计概率
【例2】 某市统计的2008~2011年新生儿出生数及其中男婴数(单位:
人)见下表:
时间
2008年
2009年
2010年
2011年
出生婴儿数
21840
23070
20094
19982
出生男婴数
11453
12031
10297
10242
(1)分别计算各年男婴出生的频率(精确到0.001);
(2)该市男婴出生的概率约是多少(精确到0.1)?
解
(1)2008年男婴出生的频率为
≈0.524.
同理可求得2009、2010年和2011年男婴出生的频率分别约为0.521,0.512,0.513.
(2)由以上计算可知,该市男婴出生的概率约为0.5.
规律方法
(1)在大量重复试验的情况下,频率会呈现出稳定性,即频率在一个“常数”附近摆动,随着试验次数增加,摆动的幅度具有越来越小的趋势.
(2)有时候也可能出现频率偏离“常数”较大的情形,但是随着试验次数的增大,频率偏离“常数”的可能性会减小.
【训练2】 某射击运动员进行双向飞碟射击训练,各次训练的成绩记录如下:
射击次数
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟的次数
81
95
123
82
119
127
121
击中飞碟的频率
(1)将各次训练记录击中飞碟的频率填入表中(精确到0.01);
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少(精确到0.01)?
解
(1)表中由左至右,依次填入的数据是0.81,0.79,0.82,0.82,0.79,0.79,0.81.
(2)由于频率稳定在常数0.80附近,所以这个运动员击中飞碟的概率约为0.80.
题型三 根据频率(数)分布图表估计概率
【例3】 某篮球运动员统计了他最近几次参加比赛投篮的得分情况,得到的数据如下表所示.
投篮次数
投中两分的次数
投中三分的次数
没投中的次数
75
45
12
注:
每次投篮,要么得两分,要么得三分,要么没投中得零分.
(1)该篮球运动员有多少次投篮没投中;
(2)记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分为事件A,投中三分为事件B,没投中为事件C,试估计P(A),P(B),P(C).
解
(1)该篮球运动员投篮没投中的次数为75-(45+12)=18.
(2)因为
=0.6,
=0.16,
所以可以估计P(A)=0.6,P(B)=0.16.
注意到C=
,而且A与B互斥,因此估计
P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.24.
或P(C)=
=0.24.
规律方法
(1)频数、频率分布图表中各频数、频率或各小区间内的频数(频率)对应的事件是互斥的.
(2)互斥事件的概率加法公式在频率估计概率时仍成立.
【训练3】 为了了解某次数学考试全校学生的得分情况,数学老师随机选取了若干名学生的成绩,并以[50,60),[60,70),…,[90,100]为分组,作出了如图所示的频率分布直方图.从该学校中随机选取一名学生,估计这名学生该次数学考试成绩在[80,100]内的概率.
解 由频率分布直方图可以看出,所抽取的学生成绩中,在[80,100]内的频率为
(0.03+0.01)×(90-80)=0.4.
因为由样本的分布可以估计总体的分布,所以全校学生的数学得分在[80,100]内的频率可以估计为0.4.
根据用频率估计概率的方法可知,随机选取一名学生,这名学生该次数学考试成绩在[80,100]内的概率可以估计为0.4.
一、素养落地
1.通过本节学习频率与概率的区别与联系,加强对概率本质的认识,提升数学抽象和数据分析素养.
2.用频率估计概率
①进行大量的随机试验,得频数;
②由频率计算公式fn(A)=
,得频率;
③由频率与概率的关系,估计概率.
3.根据频数、频率分布图表估计概率是重点也是难点,要注意互斥事件概率加法公式在概率估计中的应用.
二、素养训练
1.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下:
组别
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在[10,40)上的频率为( )
A.0.13B.0.39
C.0.52D.0.64
解析 [10,40)包含[10,20),[20,30),[30,40)三部分,所以数据在[10,40)的频数nA=13+24+15=52,由fn(A)=
可得频率为0.52,故选C.
答案 C
2.若某个班级内有40名学生,抽10名学生去参加某项活动,每个学生被抽到的概率为
,则下列说法正确的是( )
A.4个人中,必有1个被抽到
B.每个人被抽到的可能性为
C.由于有被抽到与不被抽到两种情况,故不被抽到的概率为
D.以上说法都不正确
解析 A选项忽略了是从整个班级内抽取,而不是仅从一部分中抽取,误解了前提条件和概率的意义.易知B正确,C,D错误.
答案 B
3.把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次,其中有496次正面朝上,504次反面朝上,则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________.
解析 通过做大量的试验可以发现,正面朝上的频率都在0.5附近摆动,故掷一次硬币,正面朝上的概率是0.5,故填0.5.
答案 0.5
4.抛掷一枚硬币10000次,出现正面向上的次数为5000,试估计“正面向上”和“反面向上”的概率.“若第一次抛出硬币时正面向上,则第二次抛出硬币的结果一定是反面向上.”这种说法对吗?
解 通过试验,估计出现“正面向上”和“反面向上”的概率均为0.5.
这只是说明抛掷一枚硬币时出现“正面向上”和“反面向上”的可能性均为0.5,并不能根据上次结果来断定下次结果.故说法不对.
三、审题答题
示范(四) 利用频率估计概率
【典型示例】 (12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指:
一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率①;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率②;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?
③
审题答题
看到①想到概率的计算公式,求第四类电影中获得好评的电影部数和所有的电影部数.
看到②想到先求获得好评的概率.
看到③想到第五类电影的部数最多,第二类电影的部数最少,则第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,可使改变投资策略后总的好评率达到最大.
满分示范
解
(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.
故所求概率为
=0.025.4分
(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是
140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1
=56+10+45+50+160+51
=372.8分
故所求概率估计为1-
=0.814.9分
(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.12分
满分心得
1.关键是利用频率与概率的关系解题.
2.概率的计算公式要理解透.
基础达标
一、选择题
1.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n),则随着n的逐渐增加,有( )
A.f(n)与某个常数相等
B.f(n)与某个常数的差逐渐减小
C.f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D.f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
解析 随着n的增大,频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定,这也是频率与概率的关系.
答案 D
2.成语“千载难逢”意思是说某事( )
A.一千年中只能发生一次
B.一千年中一次也不能发生
C.发生的概率很小
D.为不可能事件,根本不会发生
解析 根据概率的意义可知选项A、B、D都不正确.
答案 C
3.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析 抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,每一次出现正面朝上的概率均为
.
答案 D
4.在天气预报中,有“降水概率预报”,如预报“明天降水概率为78%”,这是指( )
A.明天该地区有78%的地区降水,其他22%的地区不降水
B.明天该地区约有78%的时间降水,其他时间不降水
C.气象台的专家中,有78%的专家认为会降水,另外22%的专家认为不降水
D.明天该地区降水的可能性为78%
解析 概率是指随机事件发生的可能性的大小.
答案 D
5.(多选题)下列说法正确的是( )
A.一年按365天计算,则两名学生的生日相同的概率是
B.买彩票中奖的概率是0.001,那么买1000张彩票一定能中奖
C.设某厂产品的次品率为2%,估算该厂8000件产品中次品的件数可能为160
D.昨天没有下雨,则说明关于气象局预报昨天“降水概率为90%”是错误的
解析 根据概率的意义逐一判断可知AC正确,BD不正确.
答案 AC
二、填空题
6.(多空题)一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下:
[10,20)2个;[20,30)3个;[30,40)x个;[40,50)5个;[50,60)4个;[60,70]2个;并且样本在[30,40)之间的频率为0.2.则x=________;根据样本的频率分布估计,数据落在[10,50)的频率约为________.
解析 样本总数为20个,∴x=20-(2+3+5+4+2)=4,
∴P=
=0.7.
答案 4 0.7
7.(多空题)样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为________,数据落在[2,10)内的概率约为________.
解析 由于[6,10)范围内,频率/组距=0.08,所以频率=0.08×4=0.32,而频数=频率×样本容量,所以频数=0.32×200=64.同样,估计数据落在[2,10)范围内的概率为(0.02+0.08)×4=0.4.
答案 64 0.4
8.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:
g):
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5g~501.5g之间的概率约为________.
解析 易知袋装白糖质量在497.5g~501.5g之间的袋数为5,故其频率为
=0.25,即其概率约为0.25.
答案 0.25
三、解答题
9.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表:
认为作业多
认为作业不多
总数
喜欢电脑游戏
18
9
27
不喜欢电脑游戏
8
15
23
总数
26
24
50
如果校长随机地问这个班的一名学生,下面事件发生的概率是多少?
(1)认为作业多;
(2)喜欢电脑游戏并认为作业不多.
解
(1)记“认为作业多”为事件A,则由公式可知,
P(A)=
=0.52.
(2)记“喜欢电脑游戏并认为作业不多”为事件B,则由公式知P(B)=
=0.18.
10.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:
小时)进行了统计,统计结果如下表所示:
分组
频数
频率
[700,900)
48
[900,1100)
121
[1100,1300)
208
[1300,1500)
223
[1500,1700)
193
[1700,1900)
165
[1900,+∞)
42
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1500小时的概率.
解
(1)利用频率的定义可得:
[700,900)的频率是0.048;[900,1100)的频率是0.121;[1100,1300)的频率是0.208;[1300,1500)的频率是0.223;[1500,1700)的频率是0.193;[1700,1900)的频率是0.165;[1900,+∞)的频率是0.042.
所以频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1500小时的灯管的频数是48+121+208+223=600,
所以样本中使用寿命不足1500小时的灯管的频率是0.6,
所以估计灯管使用寿命不足1500小时的概率是0.6.
能力提升
11.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:
“你的身份证号码的尾数是奇数吗?
”敏感的问题是:
“你服用过兴奋剂吗?
”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.
如我们把这种方法用于300个被调查的运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为________.
解析 因为掷硬币出现正面向上的概率为
,大约有150人回答第一个问题,又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的,在回答第一个问题的150人中大约有一半人,即75人回答了“是”,另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂.
≈0.0333,因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂.
答案 3.33%
12.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200h的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200h,试估计该产品是甲品牌的概率.
解
(1)甲品牌产品寿命小于200h的频率为
=
,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200h的概率为
.
(2)根据抽样结果,寿命大于200h的产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命大于200h的产品是甲品牌的频率是
=
,用频率估计概率,所以已使用了200h的该产品是甲品牌的概率为
.
创新猜想
13.(多选题)下列叙述正确的是( )
A.频率反映的是事件发生的频繁程度,概率反映的是事件发生的可能性大小
B.做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率
就是事件的概率
C.百分率是频率,但不是概率
D.频率是不能脱离具体的n次试验的试验值,而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值
解析 根据频率与概率的定义及关系可知A,D正确,B,C不正确.
答案 AD
14.(多选题)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是( )
A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1
解析 任找一个人,其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′,B′、C′、D′,它们两两互斥.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′,根据概率的加法公式,得P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64,故A正确;B型血的人能为B型、AB型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B错误;由O型血只能接受O型血的人输血知,C错误;由任何人的血都可以输给AB型血的人,知D正确.故选AD.
答案 AD
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