中考数学压轴题之几何类比探究问题综合训练.docx
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中考数学压轴题之几何类比探究问题综合训练
中考数学压轴题之几何类比探究问题综合训练
1.社团活动课上,数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题:
如图1,∠MON=90°,点A为边OM上一定点,点B为边ON上一动点,以AB为一边在∠MON的内部作正方形ABCD,过点C作CF⊥OM,垂足为点F(在点O、A之间),交BD于点E,试探究△AEF的周长与OA的长度之间的等量关系.
该兴趣小组进行了如下探索.
【动手操作,归纳发现】
(1)通过测量图1、2、3中线段AE、AF、EF和OA的长,他们猜想△AEF的周长是OA长的 倍.请你完善这个猜想.
【推理探索,尝试证明】
为了探索这个猜想是否成立,他们作了如下思考,请你完成后续探索过程:
(2)如图4,过点C作CG⊥ON,垂足为点G,则∠CGB=90°,∴∠GCB+∠CBG=90°.又∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,则∠CBG+∠ABO=90°,∴∠GCB=∠ABO.在△CBE与△ABE中,……
【类比探究,拓展延伸】
(3)如图5,当点F在线段OA的延长线上时,直接写出线段AE、EF、AF与OA长度之间的等量关系为 .
2.小明遇到这样一个问题:
如图1,△ABC是等边三角形,点D为BC的中点,且满足∠ADE=60°,DE交等边△ABC外角平分线CE所在直线于点E,试探究AD与DE的数量关系.小明发现,过点D作DF∥AC,交AB于点F,通过构造全等三角形,经过推理论证,能够得到AD与DE的数量关系.
(1)AD与DE相等吗?
请你说明理由;
【类比探究】
(2)当点D是线段BC上(不与点B,C重合)任意一点时,其它条件不变,如图2,试猜想AD与DE之间的数量关系,并证明你的结论;
【拓展应用】
(3)当点D在BC的延长线上,且满足CD=BC,连接AE,其它条件不变,如图3,若AD=6,求DE的长.
3.已知:
Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,点P是BC边上的一个动点,
(1)如图①,若点P与点D重合,连接AP,则AP与BC的位置关系是 ;
(2)如图②,若点P在线段BD上,过点B作BE⊥AP于点E,过点C作CF⊥AP于点F,则CF,BE和EF这三条线段之间的数量关系是 ;
(3)如图③,在
(2)的条件下若BE的延长线交直线AD于点M,找出图中与CP相等的线段,并加以证明.
(4)如图④,已知BC=4,AD=2,若点P从点B出发沿着BC向点C运动,过点B作BE⊥AP于点E,过点C作CF⊥AP于点F,设线段BE的长度为d1,线段CF的长度为d2,试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值.
4.如图1,△ABC为等边三角形,点M是射线AE上任意一点(M不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转60°得到线段CN,连接BN,直线BN交射线AE于点D.
(1)直接写出直线BD与射线AE相交所成锐角的度数;
(2)如图2,当射线AE与AC的夹角∠EAC为钝角时,其他条件不变,
(1)中结论是否发生变化?
如果不变,加以证明;如果变化,请说明理由;
(3)如图3,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,射线AE交BC于点H,∠EAC=15°,点M是射线AE上任意一点(M不与A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,连接BN,直线BN交射线AE于点D.G,F分别是AH,AB的中点.求证:
CD=GF.
5.【问题探索】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D、E分别在AC、BC边上,DC=EC,连接DE、AE、BD,点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点,连接PM、PN、MN.探索BE与MN的数量关系.聪明的小华推理发现PM与PN的关系为 ,最后推理得到BE与MN的数量关系为 .
【深入探究】将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置,判断
(1)中的BE与MN的数量关系是否仍然成立,如果成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;
【解决问题】若CB=8,CE=2,在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中,当B、E、D三点在一条直线上时,求MN的长度.
6.已知:
△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,动点P在斜边AB所在的直线上,把线段CP绕着点C逆时针旋转90°得到CQ,连接PQ,探究并解决下列问题:
(1)如图1,若点P在线段AB上,请直接写出PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系:
;
(2)如图2,若点P在线段AB的延长线上,
(1)中的结论是否仍然成立,若成立请给予证明;若不成立请说明理由;
(3)若动点P满足
=
,求
的值.
7.在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α(0°<α<180°).点P是平面内不与A,C重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,CP.点M是AB的中点,点N是AD的中点.
(1)问题发现
如图1,当α=60°时,
的值是 ,直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数是 .
(2)类比探究
如图2,当α=120°时,请写出的
值及直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由.
(3)解决问题
如图3,当α=90°时,若点E是CB的中点,点P在直线ME上,请直接写出点B,P,D在同一条直线上时
的值.
8.如图1所示,矩形ABCD中,点E,F分别为边AB,AD的中点,将△AEF绕点A逆时针旋转α(0°<α≤360°),直线BE、DF相交于点P.
(1)若AB=AD,将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置,则线段BE与DF的数量关系是 .
(2)若AD=nAB(n≠1),将△AEF绕点A逆时针旋转,则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请就图3所示的情况加以证明,若不成立,请写出正确结论,并说明理由.
(3)若AB=8,BC=12,将△AEF旋转至AE⊥BE,请算出DP的长.
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB的中点,点P为直线BC上的动点(不与点B点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ.
(1)观察猜想:
如图①,线段BQ与CP的数量关系是 ;∠CBQ= ;
(2)探究证明:
如图②,当点P在CB的延长线上时,
(1)中结论是否成立?
若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
10.已知△ABC和△ADE,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,连接BD,CE.
(1)如图1,当点E在AB边上时,试判断线段BD,CE之间的关系是 .
(2)将图1中的△ADE绕点A旋转至如图2所示位置时,探究线段BD,CE之间的关系,并说明理由;
(3)将图1中的△ADE绕点A旋转至DE与直线AC垂直,直线BD交直线CE于点F,若AB=15,AD=5
,请直接写出线段BF的长度.
11.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.
(1)当点D在AC上时,如图1,试猜想线段BD和CE的数量关系是 ;位置关系是 .
(2)将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角,(0°<α<90°),如图2,
(1)中的结论是否成立,若成立,请给出证明;若不成立说明理由.
12.如图1,在△ABC中,已知∠ACB=90°,AC=BC,点D,E分别在边AC,BC上,且CD=CE,此时显然AD=BE,AD⊥BE成立.若保持△ABC不动,将△DCE绕点C逆时针旋转,旋转角为α.
(Ⅰ)如图2,当0°<α<90°时,问:
AD=BE,AD⊥BE是否成立?
若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(Ⅱ)如图3,当α=45°时,延长BE交AD于点F,若CE=
,BC=3,则线段EF= (直接写出结果即可).
13.已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE.∠DAE=∠BAC.
【初步感知】
(1)特殊情形:
如图①.若点D,E分别在边AB,AC上,则DB EC.(填“>”、“<”或“=”)
(2)发现证明:
如图②,将图①中的△ADE绕点A旋转,当点D在△ABC外部,点E在△ABC内部时,求证:
DB=EC.
【深入探究】
(1)如图③,△ABC和△ADE都是等边三角形,点C,E,D在同一条直线上,则∠CDB的度数为线段CE,BD之间的数量关系为 ;
(2)如图④,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点C、D、E在同一直线上,AM为△ADE中DE边上的高.则∠CDB的度数为 ;线段AM.BD,CD之间的数量关系为 ;
【拓展提升】如图⑤,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,将△ADE绕点A逆时针旋转,连接BE、CD.当AB=5.AD=2时,在旋转过程中,△ADE与△ADC的面积和的最大值为 .
14.已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合),以AD为边作△ADE,使∠DAE=90°,AD=AE,连接CE.
发现问题:
如图1,当点D在边BC上时,
(1)请写出BD和CE之间的位置关系为 ,并猜想BC和CE、CD之间的数量关系:
.
尝试探究:
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,
(1)中BD和CE之间的位置关系,BC和CE、CD之间的数量关系是否成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出新的数量关系,说明理由;
拓展延伸:
(3)如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,若BC=7,CE=5,直接写出线段ED的长.
15.已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合),以AD为边作△ADE,使∠DAE=90°,AD=AE,连接CE.
发现问题:
如图1,当点D在边BC上时,
(1)请写出BD和CE之间的位置关系为 ,并猜想BC和CE、CD之间的数量关系:
.
尝试探究:
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,
(1)中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出新的数量关系,说明理由;
拓展延伸:
(3)如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,若BC=6,CE=2,求线段ED的长.
16.已知Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合),以AD为边作Rt△ADE,AD=AE,连接CE.
(1)发现问题:
如图①,当点D在边BC上时,
①请写出BD和CE之间的数量关系 ,位置关系 ;
②线段CE、CD、BC之间的关系是 ;
(2)尝试探究:
如图②,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,
(1)中CE、CD、BC之间存在的数量关系是否成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)拓展延伸:
如图③,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,若BC=4,CE=2,求线段CD的长.
17.在Rt△ABC中与Rt△DCE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠BAC=∠DEC=30°,AC=DC=
,将Rt△DCE绕点C顺时针旋转,连接BD,AE,点F,G分别是BD,AE的中点,连接CF,CG.
(1)观察猜想
如图1,当点D与点A重合时,CF与CG的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)类比探究
当点D与点A不重合时,
(1)中的结论是否成立?
如果成立,请仅就图2的情形给出证明;如果不成立,请说明理由.
(3)问题解决
在Rt△DCE旋转过程中,请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值.
18.综合与实践
动手操作
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED.延长ED分别交CB于点F,交AB于点G,连接AF.
思考探究
(1)∠CAF= °,∠EAG= °;
(2)若BC=(
+1)AC,则①∠DAG= °;②
= ,请证明你的结论;
开放拓展
(3)如图2,若改变旋转角,已知AC=3,BC=4,当∠EAF=90°时,△AFB的面积为 .
19.如图,已知在△ABC和△DCE中,∠ACB=∠DCE,且满足
=
=k,将△DEC绕点C旋转.连接BD,F,G,
H分别是AB,BD,DE的中点,连接FG,GH.
(1)当k=1时,①如图
(1),点D在AC边上时,判断FG,GH的数量关系是 ;
②如图
(2),点D不在AC边上时,①中的结论是否成立,并说明理由;
(2)如图(3),当k=
时,探索FG,GH的数量关系.直接写出探究结论,不需证明.
20.如图1,已知△ABC和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点D在线段AC上,点F为AB的中点,点M为BE的中点,点N为AD的中点.
(1)如图1,请直接写出∠FMN的大小以及FM和MN之间的数量关系.
(2)如图2,将△DCE绕点C顺时针旋转,此时
(1)中的结论是否成立?
若成立,请证明,若不成立,请写出相应正确的结论.
(3)如图3,若AB=4
,CE=2,在将△DCE绕点C顺时针旋转360°过程中,直线BD,AE交于点G,△ABG的面积的最小值为 .
21.在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,△DEC绕点C逆时针旋转,连接BD,F,G,H分别是AB,BD,DE的中点,连接FG,FH,HG.
(1)如图1,当∠A=∠EDC=45°,点D在AC边上时,直接猜想FG,HG的数量关系和位置关系是 ;
(2)如图2,当∠A=∠EDC=45°,点D不在AC边上时,
(1)猜想的结论是否成立?
如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;
(3)如图3,当∠A=∠EDC=30°时,猜想FG,HG的数量关系和位置关系,请直接写出猜想结论.
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