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空间解析几何习题答案

空间解析几何习题答案

【篇一：

空间解析几何（练习题参考答案）】

0及2x?

y?

z?

1?

0的平面方程．

39．y?

z?

2?

0

3．在平面x?

y?

2z?

0上找一点p，使它与点（2,1,5）,（4,?

3,1）及（?

2,?

1,3）之间的距离

相等．

7．（,1,）．

5．已知：

a（1,2,3）,b（5,?

1,7）,c（1,1,1）,d（3,3,2），则prja．4b．1c．

?

7

515

cd

ab=（）

?

1

d．22

7．设平面方程为x?

y?

0，则其位置（）

a．平行于x轴b．平行于y轴c．平行于z轴d．过z轴．8．平面x?

2y?

7z?

3?

0与平面3x?

5y?

z?

1?

0的位置关系（）a．平行b．垂直c．相交d．重合9．直线

x?

3y?

4z

?

?

与平面4x?

2y?

2z?

3?

0的位置关系（）?

2?

73

a．平行b．垂直c．斜交d．直线在平面内10．设点a（0,?

1,0）到直线?

?

?

y?

1?

0

的距离为（）

?

x?

2z?

7?

0

c．

a．b．

16

11d．58

5．d7．d8．b9．a10．a．

3．当m=_____________时，2?

3?

5与3?

m?

2互相垂直．

4

．

设

?

2?

?

，

?

?

2?

2，

?

3?

4?

2，则

pcr（a?

jb）=．

（2，?

8，3）4．过点且垂直平面x?

2y?

3z?

2?

0直线方程为______________．

10．曲面方程为：

x?

y?

4z?

4，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．

2

2

2

4x?

2y?

2x?

319y2

?

?

?

z2?

1绕z轴3．m?

?

；4．9．；10．曲线

312?

3429

旋转而成．

1．设a?

?

2,?

3,1?

b?

?

1,?

1,3?

c?

?

1,?

2,0?

，则（a?

b）?

c?

（）a．8b．10c．?

0,?

1,?

1?

d．?

2,1,21?

3

．若?

6?

3?

2//?

14，则?

（）

a．?

（?

6?

4）b．?

（12?

6）c．?

（12?

4）d．?

（6?

4）4．若m1（1,1,1）,m2（2,2,1）,m3（2,1,2），则m1m2与m1m3的夹角?

（）a．

?

?

?

?

b．c．d．6234

6．求平面x?

y?

2z?

6?

0与平面2x?

y?

z?

5?

0的夹角（）a．

?

?

?

?

b．c．d．2634

?

x?

y?

z?

1?

0

8．设点mo（3,?

1,2），直线l?

，则mo到l的距离为（）

2x?

y?

z?

4?

0?

a．9．直线

323532

b．c．d．2542

x?

2y?

3z?

4?

?

与平面2x?

y?

z?

6夹角为（）112

5

a．30ob．60oc．90od．arcsin

6

1．d3．a4．c6．c8．a9．d

7．求与平面2x?

6y?

3z?

4平行平面，使点（3,2,8）为这两个平面公垂线中点．3．确定k值，使三个平面：

kx?

3y?

z?

2,3x?

2y?

4z?

1,x?

8y?

2z?

3通过同一条直线．

5．求以向量i?

j,j?

k,k?

i为棱的平行六面体的体积．

体积为1的平面方程_____________________．

8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x轴的距离的曲面方程为________________．9．曲面方程：

16x?

9y?

9z?

25则曲面名称为________________．

2

2

2

22

?

?

z?

2?

x?

y

10．曲线?

在yz面上的投影方程______________．22

?

?

z?

（x?

1）?

（y?

1）

1．设?

?

2?

3，?

2?

，?

?

?

?

，则?

与是否平行__________．

1．不平行

7．2x?

y?

2z?

?

2；8．x?

10z?

?

25；

2

?

2y2?

2yz?

z2?

4y?

3z?

2?

0

9．双叶双曲面；10．?

?

x?

0

练习题选参考答案

b垂直，1．两非零向量a、则有a?

b?

0或prj?

a?

0；平行则有a?

b?

0或a?

?

b

b

?

?

?

?

?

?

?

?

?

或两向量对应坐标成比例。

86?

?

2．若a?

3i?

6j?

8k，b?

2，则与a，x轴均垂直的向量b?

?

0，?

，?

?

。

55?

?

?

?

?

?

?

?

?

22

?

?

（x?

2）?

z?

4

3．曲线?

在yoz面上的投影曲线方程为：

22

?

?

（x?

2）?

y?

4

?

?

?

4?

z2?

?

4?

y2?

4

，投影柱面方程为：

?

4?

z2?

?

4?

y2?

4。

?

?

?

x?

0

x2z2

?

?

1分别绕x轴和z轴旋转所成旋转曲面方程为：

4．xoz面上的曲线49x2y2z2x2y2z2

?

?

?

1，?

?

?

1。

499449

5．已知a?

?

?

3,0,4?

，b?

?

5,?

2,?

14?

，则两向量所成夹角的角平分线上的单位向

?

?

?

量为c?

a?

b

?

?

?

。

?

?

a0?

b0?

?

0?

0

6．以点a（2,0,0），b（0,3,0），c（0,0,6），d（2,3,8）为顶点的四面体的体积

1

v=ab?

ac）?

ad?

?

206?

14。

6

038

?

?

?

?

230

二计算

?

y?

z?

1?

0

1．求点p（3,6,?

2）关于直线l:

?

的对称点坐标。

2x?

2y?

z?

4?

0?

1?

i?

2j?

2k，解：

直线l的方向向量s?

n1?

n2?

01

2?

2?

?

x?

?

1?

t?

取直线上的定点（?

1，，将其化为参数式：

?

y?

1?

2t1，0）

?

z?

?

2t?

?

?

?

ijk

过点p与直线l垂直的平面为：

（x?

3）?

2（y?

6）?

2（z?

2）?

0，

x?

2y?

2z?

19?

0，

将直线的参数式代入垂面方程有t?

2，从而点p在直线l上的投影坐标（直线

5，?

4）与垂面的交点）为（1，，

（x，y，z），则有：

设点p关于直线l的对称点坐标为

3?

x6?

y?

2?

z

?

1?

5?

?

4，解之:

x?

?

1，y?

4，z?

?

6222

x?

1y?

1z

?

?

垂直，2．设直线l过点m（?

2,3,1）且其与y轴相交，与直线l1:

210

求该直线方程。

解：

设l与y轴的交点为n（0,t,0），其与直线l1垂直，则mn?

s1?

0?

t?

?

1，从而由两点式有直线l的方程为：

l:

3．求直线l:

x?

2y?

3z?

1

?

?

2?

4?

1

?

?

x?

1yz?

1

?

?

在平面?

:

x?

y?

2z?

1?

0上的投影直线方程。

11?

1

（1，0，1）1，0）解：

直线l与平面?

的交点为（2，，直线l上的点在平面?

上的投影为

11x?

2y?

1z

（，0）?

?

，则l在?

上的投影直线方程为：

22310

4．求两平面?

1:

x?

2y?

2z?

6?

0，?

2:

4x?

y?

8z?

8?

0所成二面角的角平分面方程。

解：

法一，设p（x,y,z）为所求平面上任意一点，则由题意有：

x?

2y?

2z?

62?

22?

（?

2）2

?

4x?

y?

8z?

8

222

4?

（?

1）?

8

消去绝对值得3（2?

2y?

2z?

6）?

?

（4x?

y?

8z?

8）即7x?

5y?

2z?

10?

0和x?

7y?

14z?

26?

0

法二，所求平面过两平面?

1与?

2的交线，故可设其方程为：

4x?

y?

8z?

8?

?

（x?

2y?

2z?

6）?

0

在该平面上任取一点，如令x?

y?

0可得z?

然后由点（0,0,

3?

?

4

，?

?

4

3?

?

4

）到两平面的距离相等可解得?

?

?

3，从而得到所求平面方?

?

4

程。

5．设有直线l1和l2的方程分别为：

x?

2y?

2z?

9x?

1y?

6z?

4

?

?

?

?

l1：

，l2：

0181212

（1）证明l1与l2异面；

（2）求两直线之间的距离；

（3）求与两直线距离相等的平面方程；（4）求与两直线都垂直相交的直线方程。

解：

直线l1，l2上分别有定点p1（-2，2，-9），p2（1，-6，-4），其方向向量

1,2,12?

分别为s1?

?

0,1,8?

，s2?

?

?

?

（1）由于（s1?

s2）?

p1p2?

1212?

?

81?

0，所以两直线异面。

3?

85

?

?

?

?

?

018

ijk

（2）由于s1?

s2?

018?

?

4i?

8j?

k

1212故过l2与l1平行的平面方程为4x?

8y?

z?

48?

0则两直线的距离转化为求点p1到该平面的距离：

d?

4?

（?

2）?

8?

2?

1?

（?

9）?

48

4?

（?

8）?

1

2

2

2

?

9

113p（?

?

2,?

），其法向量为p（3）由题意，所求平面过线段p的中点12

22

【篇二：

_7_空间解析几何与向量代数习题与答案】

txt>a

一、

1、平行于向量a?

（6,7,?

6）的单位向量为______________.

2、设已知两点m1（4,2,1）和m2（3,0,2），计算向量m1m2的模，方向余弦和方向角.3、设m?

3i?

5j?

8k,n?

2i?

4j?

7k,p?

5i?

j?

4k，求向量a?

4m?

3n?

p在x轴

上的投影，及在y轴上的分向量.

二、

1、设a?

3i?

j?

2k,b?

i?

2j?

k，求

（1）a?

b及a?

b；

（2）（?

2a）?

3b及a?

2b（3）a、b的夹角的余弦.

2、知m1（1,?

1,2）,m2（3,3,1）,m3（3,1,3），求与m1m2,m2m3同时垂直的单位向量.3、设a?

（3,5,?

2）,b?

（2,1,4），问?

与?

满足_________时，?

a?

?

b?

z轴.三、

1、以点（1,3,-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2?

y2?

z2?

2x?

4y?

2z?

0表示______________曲面.

3、1）将xoy坐标面上的y2?

2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为___________________.

2）将xoy坐标面上的x?

y?

2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为___________________.

3）将xoy坐标面上的4x?

9y?

36绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为_____________，曲面名称为_____________________.

4）在平面解析几何中y?

x表示____________图形。

在空间解析几何中

y?

x表示______________图形.

2

2

2

2

2

2

5）画出下列方程所表示的曲面

（1）z?

4（x?

y）

（2）z?

4（x?

y）四、

2

?

x2y

?

?

1?

1、指出方程组?

4在平面解析几何中表示____________图形，在空间解析几何表9

?

y?

3?

22222

示______________图形.

2、求球面x2?

y2?

z2?

9与平面x?

z?

1的交线在xoy面上的投影方程.3、求上半球0?

z?

a?

x?

y

2

2

2

与圆柱体x2?

y2?

ax（a?

0）的公共部分在

xoy面及xoz面上的投影.五、

1、求过点（3,0,-1）且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.

2、求过点（1,1,-1），且平行于向量a=（2,1,1）和b=（1,-1,0）的平面方程.3、求平行于xoz面且过点（2,-5,3）的平面方程.

4、求平行于x轴且过两点（4,0,-2）和（5,1,7）的平面方程.六、

1、求过点（1,2,3）且平行于直线

x2?

y?

31

?

z?

15

的直线方程.

2、求过点（0,2,4）且与两平面x?

2z?

1,y?

3z?

2平行的直线方程.

?

x?

2y?

4z?

7?

0?

3x?

5y?

2z?

1?

0x?

45

?

y?

32

?

z1

3、求过点（2,0,-3）且与直线?

垂直的平面方程.

4、求过点（3,1,-2）且通过直线

?

x?

y?

3z?

0?

x?

y?

z?

0

的平面方程.

5、求直线?

与平面x?

y?

z?

1?

0的夹角.

6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系

?

x?

2y?

z?

7x?

1y?

3z

?

?

1）直线?

与直线;

?

2x?

y?

z?

72?

1?

1?

2）直线

x?

23

?

y?

21

?

z?

3?

4

和平面x+y+z=3.

7、求点（3,-1,2）到直线?

?

x?

y?

z?

1?

0?

2x?

y?

z?

4?

0

的距离.

1、已知a?

b?

c?

0（a,b,c为非零矢量），试证:

a?

b?

b?

c?

c?

a.2、a?

b?

3,a?

b?

{1,1,1},求?

（a,b）.

3、已知a和b为两非零向量，问t取何值时，向量模|a?

tb|最小？

并证明此时b?

（a?

tb）.4、求单位向量n，使n?

a且n?

x轴，其中a?

（3,6,8）.5、求过z轴，且与平面2x?

y?

5z?

0的夹角为

?

3

的平面方程.

6、求过点m1（4,1,2），m2（?

3,5,?

1），且垂直于6x?

2y?

3z?

7?

0的平面.

?

x?

2y?

z?

1?

0xyz

7、求过直线?

，且与直线l2：

?

?

平行的平面.

1?

12?

2x?

y?

z?

2?

0

8、求在平面?

:

x?

y?

z?

1上，且与直线l：

?

?

y?

1?

z?

?

1

垂直相交的直线方程.

9、设质量为100kg的物体从空间点m1（3,1,8），移动到点m2（1,4,2），计算重力所做的功（长度单位为m）.

?

y2?

z2?

2x?

0

10、求曲线?

在xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲

z?

3?

线？

11、已知oa?

i?

3k,ob?

j?

3k，求?

oab的面积

?

2x?

4y?

z?

0?

3x?

y?

2z?

9?

0

12、.求直线?

在平面4x?

y?

z?

1上的投影直线方程.

c

1、设向量a,b,c有相同起点,且?

a?

?

b?

?

c?

0，其中?

?

?

?

?

?

0，?

?

?

不全为零,证明:

a,b,c终点共线.

2、求过点m0（1,2,?

1），且与直线l：

x?

22

?

y?

1?

1

?

21

相交成

x?

11z?

20

?

3

角的直线方程.

y?

31

?

z2

3、过（?

1,0,4）且平行于平面3x?

4y?

z?

10?

0又与直线程.

4、求两直线l1：

x?

10

?

y?

1

?

z?

1

?

相交的直线方

与直线l2：

x6

?

y?

3

?

的最短距离.

5、柱面的准线是xoy面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量g?

{1,1,1}，求此柱面方程.

6、设向量a,b非零，b?

2,（a,b）?

?

3

，求lim

a?

xb?

a

x

x?

0

.

?

7、求直线l:

?

x?

2y?

绕?

?

?

1

y轴旋转一周所围成曲面方程.?

z2（y?

1）

第七章空间解析几何与向量代数

习题答案

a

一、1、?

?

?

6

?

6?

11,

7

11,11?

?

?

2、m?

1m2=2,cos?

?

?

12

cos?

?

22

cos?

?

12

?

?

2?

3

?

?

3?

4

?

?

3

3、a在x轴上的投影为13，在y轴上的分量为7j二、1、1）a?

b?

3?

1?

（?

1）?

2?

（?

2）?

（?

1）?

3

i

jk

a?

b?

3

?

1?

2?

5i?

j?

7k1

2

?

1

（2）（?

2a）?

3b?

?

6（a?

b）?

?

18，a?

2b?

2（a?

b）?

10i?

2j?

14k

^

（3）cos（a,b）?

a?

b3a?

b

?

221

2、m1m2?

{2,4,?

1},m2m3?

{0,?

2,2}

i

jk

a?

m1m2?

m2m

3

?

24?

1?

6i?

4j?

4k0

?

22

?

a6?

4a

?

?

{

2,

?

42,

2

即为所求单位向量。

3、?

?

2?

三、1、（x?

1）2?

（y?

3）2?

（z?

2）2?

14

2、以（1,-2,-1）为球心,半径为6的球面

3、1）y2?

z2?

2x,旋转抛物面2）x2

?

y2

?

z2

?

2x,球面

3）绕x轴：

4x2?

9y2?

9z2?

36旋转双叶双曲面

绕y轴：

4x2?

4z2?

9y2?

36旋转单叶双曲面4、抛物线，抛物柱面5、

四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平

面的交线。

?

2x2?

2x?

y2?

8

2、?

?

z?

0

a2?

22

?

x2?

z2?

a2?

（x?

）?

y?

a

3、在xoy面的投影为：

?

在xoz面的投影为：

?

2

?

y?

0?

z?

0

?

五、1、3x?

7y?

5z?

4?

02、1?

（x?

1）?

1?

（y?

1）?

3（z?

1）?

0

3、y?

5?

04、9y?

z?

2?

0六、1、

x?

12

?

y?

21

?

z?

35

2、

x?

2

?

y?

23

?

z?

41

3、16x?

14y?

11z?

65?

04、8x?

9y?

22z?

59?

05、06、1）垂直2）直线在平面上7、

b

1、证明思路：

?

a?

b?

c?

0，?

a?

（a?

b?

c）?

0

即a?

b?

a?

b?

a?

c?

0，又a?

a?

0，

?

a?

b?

?

a?

c?

c?

a同理得a?

b?

b?

c

322

2、思路：

a?

b?

absin（a,b）a?

b?

abcos（a,b）。

答案：

（a,b）?

3、思路?

|a?

tb|?

（a?

tb）?

（a?

tb）?

|a|?

t|b|?

2t（a?

b）

该式为关于t的一个2次方程，求其最小值即可。

答案：

t?

?

2

2

2

2

?

6

a?

b|b|

2

【篇三：

高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案】

txt>一填空题5’x9=45分

1、平行于向量a?

（6,7,?

6）的单位向量为______________.

2、设已知两点m1（4,2,1）和m2（3,0,2），计算向量m1m2的模_________________，方向余弦_________________和方向角_________________

3、以点（1,3,-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.

4、方程x2?

y2?

z2?

2x?

4y?

2z?

0表示______________曲面.

5、方程x2?

y2?

z表示______________曲面.

6、x2?

y2?

z2表示______________曲面.

7、在空间解析几何中y?

x2表示______________图形.

二计算题11’x5=55分

1、求过点（3,0,-1）且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.

2、求平行于x轴且过两点（4,0,-2）和（5,1,7）的平面方程.

3、求过点（1,2,3）且平行于直线xy?

3z?

1

2?

1?

5的直线方程.

4、求过点（2,0,-3）且与直线?

?

x?

2y?

4z?

7?

0

?

3x?

5y?

2z?

1?

0垂直的平面方

5、已知：

?

?

i?

3k?

，?

?

j?

3k?

，求?

oab的面积。

1

参考答案

一填空题

1、?

?

?

67?

6?

?

11,11,11?

?

2、m1

1m2=2,cos?

?

?

2,cos?

?

2

2,cos?

?

12?

2,?

?

3,?

?

3?

4,?

?

?

3

3、（x?

1）2?

（y?

3）2?

（z?

2）2?

14

4、以（1,-2,-1）为球心,半径为6的球面

5、旋转抛物面

6、圆锥面

7、抛物柱面

二计算题

1、3x?

7y?

5z?

4?

02、9y?

z?

2?

03、x?

1y?

2z?

3

2?

1?

54、16x?

14y?

11z?

65?

0

5s?

?

?

2

2