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高数第9章答案
高数第9章答案
高等数学(化地生类专业)(下册)
姜作廉主编
〈〈习题解答》
习题9
1指出下列平面与坐标系的位置关系,并作图:
(1)x-2y+1=0;
(2)3z+2=0;(3)x+2y+3z=1;(4)2y+z=0.
2已知A(2,-1,2)和B(8,-7,5),求一平面通过A且垂直于线段AB.
vvuuv
解:
设所求平面的法向量为n,nAB{6,6,3},由点法式方程,有:
6(x2)6(y1)3(z2)0,故平面方程为:
2x2yz80.
3求过点(2,3,0),(2,3,4),(0,6,0)
By
解:
设所求平面方程为Ax
4求过点(-1,-1,2)且在三个坐标轴上有相同截距的平面方程。
解:
设平面在三个坐标轴上的截距为t,则平面方程由截距式可得:
1,将点(1,-1,2)代入,1-1+2=tt=2.
x_yzttt故平面方程:
x+y+z-2=0.5
(1)通过x轴和M(2,-1,1)
解:
设所求过x轴平面方程为By+Cz+D=0,将M弋入:
-B+C+D=0,又D=0,故B=C(0),平面方程y+z=0
⑵平行于yOz平面且经过点(3,0,5)解:
设平面为Ax+D=0,将点代入:
3A+D=0,A=-D,显然
D0,故平面方程x3
⑶通过(1,2,-1)和(-5,2,7)且平行于x轴。
解:
设平面方程为
7过点(1,2,3)且平行于x-2y-z+6=0.
解:
设平面方程为tx-2ty-tz+D=0(t0)
将点代入:
t-4t-3t+D=0,t=D.故平面方程为:
6
x2yz60
8过点(1,1,1)且垂直于2x4yz10和x3y5z0.
解:
设平面方程AxByCzD
0,由题意得:
ABCD0
2A4BC0,解得:
A23
92
BC,DC,
10
105
A3B5C0
故平面方程为:
23x9y10z4
0
9判别下列每组中两个平面是否平行,垂直,重合或相交:
(1)x-3y+2z-1=0,2x-6y+4z+2=0;
(2)x-y+z-1=0,2x+y+z+1=0;
(3)3x+y+z+1=0,x-4y+z+2=0;
(4)2x+3y+z-1=0,4x+6y+2z-2=0;
10求经过原点及(6,-3,2)且与平面4x-y+2z=8垂直的平面。
解:
设平面方程Ax+By+Cz+D=0,由题意得:
D=0
6A-3B+2C+D=0,解得:
AB,C3B,D0,显然B0,4A-B+2C=02
故平面方程为:
2x2y3z0
11求过(0,1,0)和(0,0,1)且与xOy平面成一角的平面方程
3
解:
设平面方程为AxByCzD0
BD0
CD0,解得:
AV2D,BD,CD.
1~B2C2C
2
显然D0,故平面方程为V2xyz10
12分别求满足下列每组条件的直线标准方程:
(1)过点(1,2,3)且平行于向量v{2,1,3};
⑵过原点及(1,2,3);
⑶过点(1,0,-1)且平行与x轴;
(4)经过点(0,-3,2)而与两点(3,4,-7)和(2,7,-6)的连线平行。
13化下列直线的一般方程为标准方程:
0,
0;
(1)X+2y-z-6=0,
(2)Xy1
2x-y+z+1=0;yz1
16求下列两直线的交角:
x-1yz2x2
(1)——丄「,「
1011
x2yz10,xyz1
⑵
x2yz10,xy2z10.
17判定下列每组直线是否共面?
若共面,求它们所在的平面方程。
xy3z亠八、
(1)一——-直线:
x_y_3=0,3x_y_z_4=0;
234'
(2)x+2y8z9x7y6z7
345,122.
18判定下列每组直线是平行还是垂直
3x+z=46xy7
(1),
y+2z=93y6z1
4xy3z240xy30
(2),
z50x20
19讨论下列直线与平面的位置关系:
(1)兰U乙和4z2y2z3;
273
⑵圣y-和3x-2y+7z=8;
327
⑶X-2以和xyz3;
314
20求(1,2,1)到平面x2y2z100的距离。
解:
过点且垂直于已知平面的直线方程为:
x-1丄上互」,由直线与平面位置关系(垂直)可知交点坐标:
122
x11t0,y122t0,z1
其中t0江-〜
A
By。
Cz°
222
B2C
12t0,故距离d[(x11)2(%2)2
D,解得:
d卩—0|7
V1443
1
(Z11)2]2
21求两平行平面3x4y5z1
22求过点(1,2,1)且与直线匚2
1
23求过点(1,2,3),垂直于直线-
4
0及3x4y5z30间的距离。
—」垂直的平面方程。
1
-且平行于平面7x8y9z100
y4
3
y_
56
的直线方程。
x+1
24求经过点(2,-1,3),平行于平面x-y+z=1并与直线T
相交的直线方程。
25求点M(3,2,1)到直线—y三_?
的距离
011
y--与平面2x3yz10的交点。
26
x-1y1
V~2-且与空
3
26求直线
1
27求经过直线
28过M(2,1,3)
z2
1
y1
2
且垂直于平面x-4y+3z+6=0
-垂直相交的直线方程。
1
的平面方程。
解:
设所求直线方程的方向向量为v
S{m,n,p}
3m2np
x2y1
n
0
z3
(1)又两直线共面:
p
mnp
32-1
2+11-13
0
(2)
综上,
解得:
2m,n^m,故所求直线方程为:
2
x2
2
29求通过直线
4
y
2y
z
z0,x
3z4
50
30求直线L:
x
3x
31求垂直于平面
解:
设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,
5A-B+3C=0
(A-5t)x+(B+t)y+(C-3t)z+D+2t=0(t
26丄f
孑D
yz10和点M(1,1,1)的平面方程。
0,且在y轴和Z轴上有相等截距的平面方程。
5x-y+3z-2=0
且与它的交线在
xOy平面上的平面方程。
5AB3C0
z0
综上,解得:
A5t,Bt.C
2t,
故所求平面方程为:
15x3y26z60
31求垂直于平面5x-y+3z-2=0
且与y轴和z轴上有相等截距的平面方程。
32求直线Xyz10在平面xyz0上的投影方程。
xyz10
解:
设通过直线L的平面方程为:
xyz1(xyz1)0即:
(1+)x+(1-)y+(1+)z-1+=0,与所给平面垂直,贝U:
1++1-+1+=0,解得:
=-3,所求平面为:
-2x+4y-2z-4=0
故投影方程为-x+2y-z-2=0
x+y+z=0
33求到两定点M(1,2,3),M2(2,1,4)的距离相等点的轨迹方程。
34求下列球面的中心和半径:
(1)x2y2z24z50;
(2)x2y2z22x4y2z100.
35求满足下列条件的各球面的方程:
(1)中心在点(1,2,3)且半径为4
(2)中心在(1,-1,2)且过点(2,1,4)
解:
设所求球面方程为:
(x-1)2(y1)2(z2)2R2,将点坐标代入,解得:
R2329
故球面:
(x1)2(y1)2(z2)29
⑶中心在点(1,2,1)且与平面x+2y+2z-10=0相切。
36指出下列方程组表示的曲线:
2
/八x
4y2
4z
2x
22
yz
16
(1)
⑵
2
z
4;
x
y2(z
2)216
37求圆
2x
2
y
2z
25
的圆心和半径
2x
y
2z
12
0
38下列方程代表什么曲面,并作出他们的草图:
22
(1)——1;
(2)z24x;(3)x24;⑷4x29y20;
916
22
⑸x2y20;(6)乡七1.
49
39分别求母线平行于x轴和y轴而通过曲线x22y22z216,
x2y2z20的柱面方程。
40求母线平行于z轴,准线为L:
x2y2z29,xyz3的柱面方程。
41求以曲线F(x,y)0,z0为准线,以l,m,n为柱面母线的方向数的柱面方程。
42求以曲线:
43求曲面x2y2z0,zx2在xOy坐标面上的投影曲线。
44柱面x2y24x0与球面x投影曲线。
y2z216的交线在各坐标平面上的
x2
解:
在xOy坐标平面投影:
z
2
y4x0,在yOz坐标平面投影
0
16y216z2z4
0在xOz坐标平面投影:
x0
4x+z216
y0
45试把曲线方程
2
y
2y2
3z2
z2
8x
12z
换成母线平行于x轴与z轴的投影柱面
的交线的方程。
4x
4z
2
y
2
y
47写出下列曲线绕指定轴旋转一周所得曲面方程,并作出草图:
(1)x2z216,y0绕z轴;
(2)y=5x,z=0绕x轴;
(3)4x29y236,z0绕x轴;
(4)z22x,y0绕x轴。
48求直线L:
口口—」绕定直线x2旋转一周所产生曲面。
231y3
解:
设M0(x0,y0,z0)为L为任一点M(x,y,z)为M0(x0,y0,z0)旋转定直线所得的点。
由于定直线平行于z轴,故:
46求维维安尼(
Vviani)曲线
2x
2x
ax
2a
在三个坐标面上的投影曲线。
0
帆
2)2(y°
3)2
(x
Z。
z
X。
3y01
z°
1
2
3
1
24xy26y
3
13z
218z0
2)2(y3)2
所得曲面方程为:
x
49求以原点为顶点,下列曲线为标准的锥面方程:
2
(1心
a
⑶y2
2
y_
b2
2
z
1,z
9,x
50求顶点在
A(0,
c;
(2)x2
1;(4)x2
0,1),
2py,z
c;
(xt)2
解:
a2
1(z
(yt)2
b2
1)t0
22
yz
x2
准线飞
a
1,x
2yb2
yz1.
1,z0的锥面方程。
\消去t,得:
笃
a
2
£
b2
即得所求锥面为:
22
笃£(z1)20
ab
51指出下列二次方程表示什么曲面?
若它们为旋转曲面,指出它们
是如何产生的?
并作出草图:
2
(1)x_
4
2
z
1;
(2)9x4y4z
9
222
36;(3)4xyz4
2
222z
y(5)xy-
4
2
x0;(8)x2L
9
2
0;(6)x
2
y2z0;
2
—0
16
52求一动点与(0,0,1)距离为与平面z轨迹方程,并指出类型。
⑺y2
距离的
半,试求其所成
解:
设该动点为(x,y,z),则2,x2y2(z1)2
22
4[xy(z
222
xyz
334
22222
1)](z4)4x4y3z
1,及该轨迹方程为旋转椭球面。
xyyz5x0与直线——5
13
54作出下列各组曲面所围成立体的图形:
(1)五个平面y=0,z=0,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6;
1;
4;
53求曲面z2
(2)曲面z=x2y2,三个坐标面及x
(3)曲面z4x2,三个坐标面及2x
(4)曲面zx2y21,三个坐标面及
(5)在第一卦限内两圆柱面
(6)曲面z=,z2
(7)曲面x2y22ax,az
(8)曲面xjy~丄曲
2
22
xy
2x及z0;
x2y2(a0)及z
x及y1.
84已知函数uxy
的条件极值。
解:
构造辅助函数
F(x,y,z,)=x+y+z+
4;
2
Z
0;
11
乙求该函数满足丄-
xy
(1+1+1-1)
xyz
U即:
1,
12,
宁的交点
r2和三个坐标面;
1
1,x0,y0,z0
z
3
3
3。
故满足条件的极值为:
3
9
9.由题意可知原函数存在最小值,而现在仅有一个驻点,故该点(3,3,3)为极小值点
y2z21的条件极值。
85已给函数u=x-2y+2z,求该函数满足x
解:
构造辅助函数
由题意可知存在最小表面积尺寸,且仅有一驻点,故当长,宽为迈丘深1V2k时满足。
2
、X2
92在旋转椭球面屮z21上求距离平面3x+4y+12z-288=0
96
为最近和最远的点。
解:
问题等价于求d=|3x+4y+12z-288_,d2丄(3x4y12z288)2
J916144169
13230
最远点(极大值):
d(-9,--,-3)=230
8813
最近点(极小值):
d(9,-,3)空
8813
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