动点问题练习含答案.docx
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动点问题练习含答案
动点问题
所谓动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放
性题目•解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题•
关键动中求静•
数学思想:
分类思想数形结合思想转化思想
1、如图1,梯形ABCD中,AD//BC,/B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A
开始沿AD边以1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移动,
如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t秒。
当t=时,四边形是平行四边形;6
.8
2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M
意一点,贝UDN+MN的最小值为5
3、如图,在Rt△ABC中,ACB=9°°,
在边DC上,且DM=1
-B=60°,BC=2.点O是AC的中点,
过点O的直线I从与AC重合的位置开始
绕点O作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作
CE//AB交直线于点E,设直线l的旋转角为.
(1)①当〉二度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为
②当〉二度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为
(2)当〉=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由
解:
(1)①30,1:
②60,1.5;
(2)当/a90°时,四边形EDBC是菱形.
(备用图)
•••/=ZACB=90°,ABC//ED.••CE//AB,二四边形EDBC是平行四边形
在Rt△ABC中,/ACB=90°,/B=60°,BC=2,/.zA=300
1AC
••AB=4,AC=2
.••A0=1=-.在Rt△AOD中,/A=30°,「.AD=2.
•••BD=2.•••BD=BC.又••四边形EDBC是平行四边形
••四边形EDBC是菱形
(3)当MN旋转至U图3的位置时,DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等)
VzADC=/CEB=/ACB=90°/./ACD=JCBE,又••AC=BC,
•••△ACDCBE,.-AD=CE,CD=BE,•••DE=CD-CE=BE-AD.
5、数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点..AEF=90;,且EF交正方形外角.DCG的平行线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,贝UAM=EC,易证
△AMEECF,所以AE二EF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)
小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论
(3)
证明:
在BA的延长线上取一点N•使AN二CE,连接NE•
.△ANE◎△ECF(ASA).
.AE二EF.
6、如图,射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动,设P的运动时间为t.
求
(1)APAB为等腰三角形的t值;
(2)APAB为直角三角形的t值;
(3)若AB=5且4BM=45。
,其他条件不变,直接写出△PAB为直角三角形的t值
7、如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,过点E作EFIIBC交CD于点
F.AB=4,BC=6,/B=60.求:
(1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM_EF交BC于点M,过M作MN//AB交折线ADC于点N,连结PN,设EP=x.
1当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?
若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;
2当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使厶PMN为等腰三角形?
若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由
Am
M
M图3
图1
图2
C
BE」AB=2.
2
解
(1)如图1,过点E作EG_BC于点G.-/E为AB的中点,
在RtAEBG中,/B=60:
:
厶BEG=30°;.B^2B^1,EG_"2一1一即点E到BC的距离为、3.
(2)①当点N在线段AD上运动时,△PMN的形状不发生改变.
/PM-EF,EG-EF,/-PM//EG.
•••EF//BC,/.EP^GM,PM=EG=.3.同理MN=AB=4.
如图2,过点P作PH_MN于H,:
MN//AB,
PMN的周长=PMPNMN=^3.74.
②当点N在线段DC上运动时,△PMN的形状发生改变,但厶MNC恒为等边三角形.
当PM=PN时,如图3,作PR_MN于R,则MR二NR.
3
类似①,MR.•••MN=2MR=3.•/△MNC是等边三角形,•MC二MN=3.
2
此时,x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2.
图3
G
M
图4
M
G
图5
此时,x=EP=GM=6-1一.3=5-込.
当MP=MN时,如图4,这时MC=MN二MP=、3.
当NP=NM时,如图5,/NPM二/PMN=30.则/PMN=120,又/MNC=60,
•••/PNM'ZMNC=180.因此点P与F重合,△PMC为直角三角形.
•••MC二PM[jan30=1.此时,x=EP=GM=6-1-1=4.
综上所述,当X=2或4或5-'、3时,△PMN为等腰三角形.
8、如图,已知△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A
点运动
1若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与°CQP是否全等,请说明理
由;
2若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与
3
△CQP全等?
BP=PC=4,CQ=BD=5
••点p,点Q运动的时间
80
••经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.
9、如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,/BAD=120°,ZAEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边
BC.CD上滑动,且E、F不与B.C.D重合.
(1)证明不论E、F在BC.CD上如何滑动,总有BE=CF;
(2)当点E、F在BC.CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和厶CEF的面积是否发生变化?
如果不变,
求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.
••在△ABE和厶ACF中,:
ZBAE=/FAC,AB=AC,EABE=ZAFC,
•△ABEgACF(ASA)o「.BE=CFo
(2)四边形AECF的面积不变,△CEF的面积发生变化。
理由如下:
由
(1)得△ABE=^ACF,则Ssbe=acf。
•'•S四边形aecf=Saaec+Saacf=Saaec+Saabe=Saabc,是定值。
由垂线段最短”可知:
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短.
故厶AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最
小,
又SACEF=S四边形AECF"SAAEF,则此时△CEF的面积就会最大
/-SaceF=S四边形aecf—Saaef=43「
•△CEF的面积的最大值是3。
考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,垂直线段的性
质。
分析】
(1)先求证AB=AC,进而求证△ABC、AACD为等边三角形,得ZACF=60°,AC=AB,从而求证△ABE^AACF,即可求得BE=CFo
(2)由△ABE^AACF可得Saabe=Saacf,故根据S四边形AECF=Saaec+Saacf=Saaec+SaabE=Saabc即可得四边形AECF的面积是定值。
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短.△AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,根据Sacef=S四边形AECF-Saaef,则△CEF的面积就会最大。
10、如图,在AAOB中,/AOB=90°QA=0B=6,C为OB上一点,射线CD丄OB交AB于点D,0C=2.点P从点A出发以每秒匚个单位长度的速度沿AB方向运动,点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动,P、Q两点同时出发,当点P到达到点B时停止运动,点Q也随之停
止.过点P作PELOA于点E,PF丄OB于点F,得到矩形PEOF.以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN,斜边MIN/OB且MN=QC.设运动时间为t(单位:
秒).
(1)求t=1时FC的长度.
(2)求MN=PF时t的值.
(3)当厶QMN和矩形PEOF有重叠部分时,求重叠(阴影)部分图形面积S与t的函数关系式.
(4)
直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值.
考点:
相似形综合题.
分析:
(1)根据等腰直角三角形,可得人二「7,OF=EP=t,再将t=1代入求出FC的长度;
(2)根据MN=PF,可得关于t的方程6-t=2t,解方程即可求解;
(3)分三种情况:
求出当1 (4)分M在OE上;N在PF上两种情况讨论求得△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值. 解答: 解: (1)根据题意,△AOB△AEP都是等腰直角三角形. OF=EP=t, •••当t=1时,FC=1; (2)TAP畀t,AE=t,PF=0E=6-t MN=QC=2t ■'■6-t=2t 解得t=2. 故当t=2时,MN=PF; (3)当1WtW时,S=2t2-4t+2; 当2vtW时,S=-些t2+30t-32; 32 当一vtW3寸,S=-2t2+6t; 3 (4)△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=2或卫. 3 点评: 考查了相似形综合题,涉及的知识有等腰直角三角形的性质,图形的面积计算,函数思想,方 程思想,分类思想的运用,有一定的难度.
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