第1章 14 绝对值的三角不等式.docx
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第1章14绝对值的三角不等式
1.4 绝对值的三角不等式
1.理解绝对值不等式的性质定理.
2.会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式;会求简单绝对值不等式的最值.
[基础·初探]
教材整理 绝对值的三角不等式
1.定理1
若a,b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
2.定理2
设a,b,c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,等号成立⇔(a-b)(b-c)≥0,即b落在a,c之间.
若|a+b|=|a|+|b|成立,a,b∈R,则有( )
A.ab<0 B.ab>0
C.ab≥0D.以上都不对
【解析】 由定理1易知答案选C.
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
解惑:
疑问3:
解惑:
[小组合作型]
绝对值不等式的理解与应用
已知|a|≠|b|,m=
,n=
,则m,n之间的大小关系是________.
【精彩点拨】 利用绝对值三角不等式定理分别判定m,n与1的大小.
【自主解答】 因为|a|-|b|≤|a-b|,
所以
≤1,
即m≤1.
又因为|a+b|≤|a|+|b|,
所以
≥1,即n≥1.
所以m≤1≤n.
【答案】 m≤n
1.本题求解的关键在于|a|-|b|≤|a-b|与|a+b|≤|a|+|b|的理解和应用.
2.在定理1中,以-b代b,得|a-b|≤|a|+|b|;以a-b代替实数a,可得到|a|-|b|≤|a-b|.
[再练一题]
1.若将“本例的条件”改为“n=
”,则n与1之间的大小关系是________.
【解析】 ∵|a+b|≤|a|+|b|,
∴
≤1,∴n≤1.
【答案】 n≤1
运用绝对值不等式求最值与
范围
对任意x∈R,求使不等式|x+1|+|x+2|≥m恒成立的m的取值范围.
【精彩点拨】 令t=|x+1|+|x+2|,只需m≤tmin.
【自主解答】 法一:
对x∈R,|x+1|+|x+2|
≥|(x+1)-(x+2)|=1,
当且仅当(x+1)(x+2)≤0时,
即-2≤x≤-1时取等号.
∴t=|x+1|+|x+2|的最小值为1,故m≤1.
∴实数m的取值范围是(-∞,1].
法二:
t=|x+1|+|x+2|=
∴t≥1,则t=|x+1|+|x+2|的最小值为1,故m≤1.
因此实数m的取值范围是(-∞,1].
1.本题也可利用绝对值的几何意义求解.
2.对于含有两个绝对值以上的代数式,通常利用分段讨论的方法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质求函数最值.
[再练一题]
2.若|x+1|+|x-3|>k对任意的x∈R恒成立,则实数k的取值范围为________.
【导学号:
38000013】
【解析】 设f(x)=|x+1|+|x-3|,则有f(x)=
当x≤-1时,f(x)有最小值为4;
当-1≤x≤3时,f(x)有最小值为4;
当x≥3时,f(x)有最小值为4.
综上所述,f(x)有最小值为4,所以k<4.
【答案】 (-∞,4)
含绝对值不等式的证明
设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证:
<2.
【精彩点拨】 不管|a|,|b|,1的大小,总有m≥|a|,m≥|b|,m≥1,然后利用绝对值不等式的性质证明.
【自主解答】 依题意m≥|a|,m≥|b|,m≥1,
又|x|>m,
∴|x|>|a|,|x|>|b|,|x|>1,从而|x|2>|b|.
因此
≤
+
=
+
<
+
=2,
即
<2.
1.将文字语言“m等于|a|,|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|,m≥|b|,m≥1”是证明本题的关键.
2.运用绝对值不等式的性质证明不等式时,要注意放缩的方向和“尺度”,切忌放缩过度.
[再练一题]
3.若f(x)=x2-x+c(为常数),且|x-a|<1,求证:
|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
【证明】 |f(x)-f(a)|
=|(x2-x+c)-(a2-a+c)|
=|x2-x-a2+a|
=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|
=|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|.
又|x-a|<1,
∴|f(x)-f(a)|≤|x-a|+|2a-1|
≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1
=2(|a|+1).
[探究共研型]
绝对值的三角不等式
探究1 绝对值的三角不等式|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|的几何意义是什么?
【提示】 绝对值的三角不等式:
|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|的几何意义是三角形任意两边之差小于第三边,三角形任意两边之和大于第三边.
探究2 绝对值的三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的结构特点是什么?
【提示】 对|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的诠释:
定理的构
成部分
特征
大小
关系
等号成立的条件
左端
|a|-|b|
可能是
负的
≤中间
部分
中间部分为|a+b|时,ab≤0,且|a|≥|b|时,左边的等号成立;中间部分为|a-b|时,ab≥0,且|a|≥|b|时,左边等号成立.
中间部分
|a±b|
肯定是
非负的
≥左端
≤右端
用“+”连接时,ab≥0,右端取等号,ab≤0,且|a|≥|b|时,左端取等号;用“-”连接时,ab≥0,且|a|≥|b|时,左端取等号,ab≤0,右端取等号.
右端
|a|+|b|
是非
负的
≥中间
部分
中间部分为|a+b|时,ab≥0,等号成立;中间部分为|a-b|时,ab≤0,等号成立.
探究3 含绝对值不等式的证明思路是什么?
【提示】 含绝对值不等式的证明题主要分两类:
一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式性质定理:
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,进而特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.
设a,b∈R,求证:
+
≥
.
【精彩点拨】 利用绝对值不等式性质或构造函数证明.
【自主解答】 法一:
①若ab=0或a+b=0,不等式显然成立.
②若ab≠0且a+b≠0,∵|a+b|≤|a|+|b|,
∴
=
≥
=
(*)
又
>
,
>
,
∴
+
>
.
又由(*)式可知
+
>
.
综上①②可知
+
>
.
法二:
若ab=0或a+b=0,不等式显然成立.
若ab≠0且a+b≠0,∵|a+b|≤|a|+|b|,
∴0<1+
≤1+
.
即0<
≤
.
取倒数得
≥
,
又由法一知,原不等式成立.
法三:
∵|a|+|b|≥|a+b|,
∴|a|+|b|+(|a|+|b|)·|a+b|≥|a+b|+(|a|+|b|)·|a+b|,
即(|a|+|b|)(1+|a+b|)≥|a+b|(1+|a|+|b|).
两边同除以(1+|a+b|)(1+|a|+|b|)得
≥
.又由法一知,原不等式成立.
法四:
构造函数f(x)=
,
任取x1,x2∈[0,+∞)且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=
-
=
<0.
∴f(x)在[0,+∞)上为增函数.
又|a|+|b|≥|a+b|,∴f(|a|+|b|)≥f(|a+b|),
即
≥
.
又由法一知,所证不等式成立.
[构建·体系]
1.已知实数a,b满足ab<0,那么有( )
A.|a-b|<|a|+|b|B.|a+b|>|a|-|b|
C.|a+b|<|a-b|D.|a-b|<||a|-|b||
【解析】 ∵ab<0,
∴|a-b|>|a+b|成立,|a-b|
=|a|+|b|,|a+b|≥|a|-|b|也成立.
【答案】 C
2.若a,b∈R,则使|a|+|b|>1成立的充分不必要条件( )
【导学号:
38000014】
A.|a|≥
且|b|≥
B.|a+b|≥1
C.|a|≥1D.b<-1
【解析】 当b<-1时,|b|>1,
∴|a|+|b|>1,
但|a|+|b|>1⇒/b<-1(如a=2,b=0),
∴“b<-1”是“|a|+|b|>1”的充分不必要条件.
【答案】 D
3.若|a-c|
A.|a|<|b|+|c|B.|c|<|a|+|b|
C.b>||c|-|a||D.b<|a|-|c|
【解析】 由|a-c|0,∴b=|b|.
∵|a|-|c|≤|a-c|,∴|a|-|c|
则|a|
同理,由|c|-|a|≤|a-c|,得|c|-|a|
∴|c|<|a|+b=|a|+|b|,故选项B成立.
而由选项A成立,得|c|-|a|>-|b|,
由选项B成立,得|c|-|a|<|b|.
∴-|b|<|c|-|a|<|b|,
即||c|-|a||<|b|=b.故选项C成立.
由选项A成立知选项D不成立.故选D.
【答案】 D
4.已知α,β是实数,给出三个论断:
①|α+β|=|α|+|β|;
②|α+β|>5;
③|α|>2
,|β|>2
.
以其中的两个论断为条件,另一个论断作为结论,下列正确的命题是( )
A.①③⇒②B.①②⇒③
C.②③⇒①D.都不正确
【解析】 当①,③成立时,
则|α+β|=|α|+|β|>4
>5.
【答案】 A
5.已知f(x)=|x-10|+|x-20|(x∈R),求f(x)的最小值,并求当f(x)有最小值时,实数x的取值范围.
【解】 ∵|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x|
≥|(x-10)+(20-x)|=10.
当且仅当(x-10)(20-x)≥0时取等号.
由(x-10)(20-x)≥0,得10≤x≤20,
因此f(x)的最小值为10,此时实数x的取值范围是[10,20].
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- 第1章 14 绝对值的三角不等式 绝对值 三角 不等式