成人高考专升本《高等数学二》公式大全.docx
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成人高考专升本《高等数学二》公式大全
第一章节公式
1、数列极限的四则运算法则
如果limxn
A,lim
ynB,那么
n
n
lim(xn
yn)
limxn
limynAB
lim(xn
yn)
limxn
limynAB
n
n
n
n
n
n
xn
limxn
A
lim(xn.yn)lim(xn).lim(yn)A.B
n
0)
lim
limyn
(B
n
n
n
n
yn
B
n
推广:
上面法则可以推广到有限多个数列的情况。
例如,若
an
,bn
,cn
有极限,则:
..
lim(anbn
cn)liman
limbn
limcn
n
n
n
n
特别地,如果
C是常数,那么
lim(C.an)
limC.liman
CA
n
n
n
2、函数极限的四算运则
如果lim
f(x)A,limg(x)B,那么
limf(x)
limg(x)
limf(x)
limg(x)
AB
limf(x)
limg(x)
limf(x)
limg(x)
A
B
limf(x)
limf(x)
A(B
limg(x)
0)
limg(x)
g(x)
B
推论设lim
f1(x),lim
f2(x),lim
f3(x),......lim
fn(x),limf(x)都存在,k为常数,n为正整数,则有:
lim[f1(x)
f1(x)
....fn(x)]
limf1(x)
limf2(x)
....lim
fn(x)
lim[kf(x)]
klim
f
(x)
lim[f(x)]n
[lim
f
(x)]n
3、无穷小量的比较:
设,是同一过程中的两个无穷小,且lim0,lim0.
(1)如果lim0,就说是比高阶的无穷小,记作o();
(2)如果limC(C0),就说是与同阶的无穷小;
(3)特殊地如果lim1,则称与是等价的无穷小量;记作~;
(4)如果limC(C0,k0),就说是的k阶的无穷小.
k
(5)如果lim,则称是比低阶的无穷小量.
常用等级无穷小量的比较:
当x0时,
1
sinx~x,arcsinx~x,tanx~x,arctanx~x,ln(1
x)~x,ex1~x,
1
cosx~
1
x2.
2
重要极限limsinx
1.lim(1
1
)x
e.lim(1x)
1
1
)n
e
e对数列有lim(1
x
x
x
n
x0
x0
x0
n
第二章节公式
1.导数的定义:
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
f(x0+
lim
x→0
f(x0+
=lim
x→0
x)-f(x0
)=lim
f,我们称它为函数
=
(
x
)在
x
=
0处的导数,记作
′(0)或
′|=
0即
′(0)
x
x
yf
x
fx
yxx
fx
x→0
x)-f(x0)
.
x
2.导数的几何意义
函数
f
(
x
)在
x
=
0处的导数就是切线的斜率
k
,即
=lim
f(x0+
x)-f(x0)=
f
′(0).
x
k
x
x
x→0
3.导函数(导数)
当
x
变化时,
f
′()便是
x
的一个函数,我们称它为
f
(
x
)的导函数(简称导数),
y
=
(
)的导函数有时也记作
y
′,即
x
f
x
f′(x)=y′=lim
f(x+x)-f(x)
x
.
x→0
4.几种常见函数的导数
(1)c′=0(c为常数),
(2)(
xn)′=nxn-1(n∈Z),(3)(
ax)′=axlna(a>0,a
1),(
ex)′=ex
(4)(ln
x)′=
1
,(log
ax)′=
1
log
1
(a>0,a
1)
x
x
ae=
xlna
(5)(sin
x)′=cosx,(6)(cosx)′=-sinx
(7)
(tanx)'
1
(8)
1
(cotx)'
x
cos2x
sin
2
(9)
(arcsinx)'
1
(
1x
1),(10)
(arccosx)'
1
x
1)
1
x2
(1
1
x2
(11)
(arctanx)'
1
(arccotx)'
1
1
x2,
(12)
1
x2
5.函数的和、差、积、商的导数
(u±v)′=u′±v′,(uv)′=u′v+uv′
u
u′v-uv′
,(ku)′=cu′(k为常数).
v′=
v2
2
(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′
微分公式:
(1)d(c)
o(c为常数)
a
a1
()d
x
)
axdx
a为任意实数)
2(
(
x
1
dx(a0,a1),d(lnx)
1dx
(3)d(loga
)
xlna
x
()
d(a
x
)
a
x
lnadx(a
4
(5)d(sinx)
cosxdx
(7)
d(tanx)
1
dx,
cos2
x
0,a1)
d(ex)exdx
(6)d(cosx)
sinxdx
(8)
d(cotx)
1
dx
sin2
x
(9)
1
dx,
(10)
(arccosx)'
1
dx
(arcsinx)'
x2
1
x2
1
(11)
d(arctanx)
1
(12)
d(arccotx)
1
dx
dx
1
x2
1
x2
6.微分的四算运则
d(u±v)=du±dv,
d(
uv)=vdu+udv
d(u)
vduudv
(v
0)d(ku)=kdu(k为常数).
v
v2
洛必达法则:
在一定条件下通过分子分母分别求导,再求极限来确定未定式的值的方法。
f(x)
‘
f''(x)
f(x)
A(或)
lim
lim
lim
xag(x)
xag'(x)
xag''(x)
7.导数的应用:
f'(x)=0的点为函数f(x)的驻点,求极值;
(1)
x
x0时,f'(x)
0
;
x
x0时
f(x)'
0
则f(x0)为f(x)的极大值,x0为极大值点
;
(2)
x
x0时,f'(x)
0;
x
x0时,f(x)'
0,
则f(x0)为f(x)的极大值,x0为极小值点;
(3)如果f'(x)在x0的两端的符号相同,那么f(x0)不是极值,x0不是极值点。
;
f''(x)=0的点为函数f(x)的拐点,求凹凸区间;
f''(x)0的x取值范围内,曲线yf(x)为凸的(下凹)
f''(x)0的x取值范围内,曲线yf(x)为凹的(上凹)
第三章知识点概况
不定积分的定义:
函数
f(x)的全体原函数称为函数
f(x)dx
,并称
为积分符号,函数
f(x)
f(x)的不定积分,记作
为被
3
f(x)dx
积函数,为被积表达式,x为积分变量。
因此f(x)dxF(x)C
不定积分的性质:
(1)[
f(x)dx]'
f(x)或d
f(x)dx
f(x)dx
(2)
F'(x)dx
F(x)
C或dF(x)
F(x)
C
(3)
[f(x)
(x)....
(x)]dx
f(x)dx
(x)dx....
(x)dx
(4)
kf(x)dx
kf(x)dx(k为常数且k
0)
基本积分公式:
(1)
0dx
C
(2)
a
dx
1
xa1
C(a
1)
(3)
1dx
lnx
C
x
1
a
1
x
(4)
x
ax
C(a
0,a
1)
(5)
exdx
ex
C
(6)
sinxdx
cosx
C
(7)cosxdx
sinxC
adx
1
lna
(8)
dx
tanx
C
cos2
x
(9)
1
dx
cotxC
(10)
1
dx
arcsinx
C(11)
1
dx
arctanxC
sin
2
1-x2
2
x
1x
换元积分(凑微分)法:
1.凑微分。
对不定积分
g(x)dx,将被积表达式
g(x)dx凑成g(x)dx
[(x)]
'(x)dx
u
(x),则du
d(x)
'(x)dx代入上式得:
g(x)dx凑微分
f[
(x)]
'(x)dx变换带量
f(u)du
2.作变量代换。
令
3.
用公式积分,,并用u
(x)换式中的u
f(u)du公式F(u)
C回代F[(x)]
C
常用的凑微分公式主要有:
(1)f(ax
b)dx
1f(ax
b)d(ax
b)
(2)f(axk
b)
xk
1dx
1
f(axk
b)d(axk
b)
a
ka
(3)f(x)
1
dx2f(x)d(x)
(4)f
(1)
12dx
f
(1)d
(1)
x
x
x
x
x
(5)f(ex)exdx
f(ex)d(ex)
(6)f(lnx)1dx
f(lnx)d(lnx)
x
(7)f(sinx)
cosxdx
f(sinx)d(sinx)
(8)f(cosx)
sinxdx
f(cosx)d(cosx)
(9)f(tanx)
1
dx
f(tanx)d(tanx)
(10)f(cotx)
1
dx
f(cotx)d(cotx)
cos2
sin2
x
x
(11)f(arcsinx)
1
dx
f(arcsinx)d(arcsinx)
1
x2
(12)f(arccosx)
1
dx
f(arccosx)d(arccosx)
1
x2
4
(13)f(arctanx)
1
dx
f(arctanx)d(arctanx)
1
x2
(14)'(x)dxd(ln
(x))(
(x)
0)
(x)
分部积分法:
d(uv)
vdu
udv两边对x积分得uv
vdu
udv移项得
udvuv
vdu或vduuv
udv适用于分
部积分法求不定积分的常见题型及
u和dv的选取法
ax
ax
dx
()
设
uP(x),dv
sinaxdx
(1)eP(x)dx设u
P(x),dve
2
P(x)sinaxdx
()
设
uP(x),dv
cosaxdx
(4)P(x)lnxdx设ulnx,dvP(x)dx
3P(x)cosaxdx
()
设
u
arcsinx,dv
(6)P(x)arctanxdx设u
arctanx,dv
P(x)dx
5P(x)arcsinxdx
P(x)dx
()eax
sin
bxdx其中u
v为任意选取,eax
cos
bxdx其中u
v为任意选取,
7
上述式中的P(x)为x的多项式,a,b为常数。
一些简单有理函数的积分,
可以直接写成两个分式之和,
或通过分子加减一项之后,很容易将其写成一个整式与一个分式之
和或两个分式之和,再求出不定积分。
b
n
定积分:
△此式子是个常数
f(x)dx
lim
f(i
)xi
a
n
0)
i
1
(△
(1)定积分的值是一个常数,它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关,而与积分变量的字母无关,即应有
b
b
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