排列组合和排列组合计算公式.docx

排列组合和排列组合计算公式.docx

《排列组合和排列组合计算公式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合和排列组合计算公式.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

排列组合和排列组合计算公式

排列P------和顺序有关

组合C——不牵涉到顺序的问题

排列分顺序，组合不分

例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法."排列"

把5本书分给3个人，有几种分法"组合"

1排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m（mcn）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（mcn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p（n,m）表示.

p（n,m）=n（n-1）（n-2）（n-m+1）=n!

/（n-m）!

（规定0!

=1）.

2.组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m（mcn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（贰n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c（n,m）表示.

c（n,m）=p（n,m）/m!

=n!

/（（n-m）!

*m!

）;c（n,m）=c（n,n-m）;

3.其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p（n,r）/r二n!

/r（n-r）!

.

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,…nk这n个元素的

全排列数为

n!

/（n1!

*n2!

*..*nk!

）.

k类元素,每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为

c（m+k-1,m）.

排列（Pnm（n为下标，m为上标））

Pnm=rX（n-1）....（n-m+1）;Pnm=n/（n-m）!

（注：

！

是阶

乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n!

;0!

=1;Pn1（n为下标1为上标）=n

组合（Cnm（n为下标，m为上标））

Cnm二Pnm/PmmCnm二n/m!

（n-m）!

;Cnn（两个n分别为上标和下标）=1;Cn1（n为下标1为上标）二n;Cnm二Cnn-m2008-07-0813:

30

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列

N-元素的总个数

R参与选择的元素个数

!

-阶乘，如9!

=9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1）*（n-2）..（n-r+1）;

因为从n到（n-叶1）个数为n—（n-叶1）=r

举例：

Q1:

有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

A1:

123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排列P'计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式=P（3,9）=9*8*7,（从9倒数3个的乘积）

Q2:

有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

A2:

213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球

在一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C'计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C（3,9）=9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1设有3名学生和4个课外小组．

（1）每名学生都只参加一个课外小组；

（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？

解

（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．

点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．

例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

二符合题意的不同排法共有9种.

点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型.

例3判断下列问题是排列问题还是组合问题？

并计算出结

果.

（1）高三年级学生会有11人：

①每两人互通一封信，共通了多少封信？

②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组共10人：

①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？

②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2，3，5,7，11，13，17，19八个质数：

①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？

②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：

①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？

②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

分析

（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）.

（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．

（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．

例4证明.

证明左式

右式.

二等式成立.

点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化.

例5化简.

解法一原式

解法二原式

点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的

性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化.

例6解方程：

（1）；

（2）

解

（1）原方程

解得．

（2）原方程可变为

*>>

•••原方程可化为.

即，解得

第六章排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.

2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.

3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.

二、知识结构

三、知识点、能力点提示

（一）加法原理乘法原理

说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原

理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?

解：

5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有

3X3X3X3X3=35（种）

（二）排列、排列数公式

说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.

例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）

解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有戸3,得P13P33P12=36（个）由此可知此题应选C.

例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?

解：

将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应

3种填法，因此共有填法为

3P13=9（种）.

例四例五可能有问题，等思考

三）组合、组合数公式、组合数的两个性质

说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.

例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）

种

种种种

解：

抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14-C?

5种；

甲型2台乙型1台的取法有戊•C,种

根据加法原理可得总的取法有

戊•戊+芒4•C；=40+30=70（种）

可知此题应选C.

例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?

解：

甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C38种；

乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有戊种；

丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有^2种.

根据乘法原理可得承包方式的种数有C38xC5xC4xC22=x

1=1680（种）.

（四）二项式定理、二项展开式的性质

说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幕的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.

B.27C：

o

-9C

例6在（x-）10的展开式中，X6的系数是（）

-27C

D.9&0

解设（x-）10的展开式中第丫+1项含x6,因TY+1=CY10X10-Y（-）Y,10-y=6,y=4

于是展开式中第5项含x6，第5项系数是出。

（-）4=9C410故此题应选D.

例7（x-1）-（x-1）2+（x-1）3-（x-1）+（x-1）'的展开式中的x2

的系数等于

解：

此题可视为首项为x-1,公比为-（x-1）的等比数列的前5项的和，则其和为

在（x-1）6中含x3的项是C6X3（-1）3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-20.

（五）综合例题赏析

例8若（2x+）4二a°+a1X+a2X2+a3X3+aiX4，贝H（a0+82+84）2-（a1+a3）2的值为（）

解：

A.

例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分

配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）

种种种

种

解分医生的方法有P22=2种，分护士方法有戊=6种，所以共有6X2=12种不同的分配方法。

应选B.

例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少

要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有（）.

种种种

种

解：

取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.

•C4•+C5•C4=5x6+10X4=70.

二应选C.

例11某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有（）

种种种种

解：

分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：

•C3•C17+C23=3X7+3=24,

二应选D.

例12由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，

其中个位数字小于十位数字的共有（）.

解：

先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个？

应有P15•P55=600个.

由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.

•••有x600=300个符合题设的六位数.

应选B.

）.

例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（

个个

解：

如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为戊=70个.

其中共面四点分3类：

构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形如（ADB1C1）的有4组.

•能形成四面体的有70-6-2-4=58（组）

应选C.

例14如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）.

对对

解：

设正六棱锥为O—ABCDEF.

任取一侧棱OA（Ce）则0A与BCCDDEEF均形成异面直线对

•••共有C6X4=24对异面直线.

应选B.

例15正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的

三角形共个（以数字作答）.

解：

7点中任取3个则有C?

7=35组.

其中三点共线的有3组（正六边形有3条直径）.

•三角形个数为35-3=32个.

例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元

素组成的子集数为T,则的值

为。

解10个元素的集合的全部子集数有:

S=C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C10+C010=210=1024

其中，含3个元素的子集数有T=&0=120

故二

例17

例17在50件产品n中有4件

是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共_种（用数字作答）.

解：

“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.

•C?

4•戊6+戊•C46=4186（种）

例18有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人

承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有

（）.

种种种种解：

先从10人中选2个承担任务甲（C210）再从剩余8人中选1人承担任务乙（C18）又从剩余7人中选1人承担任务乙（C17）

•••有C210•C8C17=2520（种）.

应选C.

例19集合｛1,2,3｝子集总共有（）.

解三个元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一个,由一个元素组成的子集数

C3,由二个元素组成的子集数戊。

由3个元素组成的子集数C3。

由加法原理可得集合子集的总个数是

C3+C3+C3+1=3+3+1+1=8

故此题应选B.

例20假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有两件次品的抽法有（）.

23C种23C+C33C2197

13C4197

解：

5件中恰有二件为次品的抽法为C23C3197

5件中恰三件为次品的抽法为C33C2197，

「•至少有两件次品的抽法为C3C197+C3C197

应选B.

例21两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一个座位），则不同座法的总数是（）.

58C

12C58C38