七彩阳光联盟高三上学期期初联考数学试题及答案.docx
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七彩阳光联盟高三上学期期初联考数学试题及答案
2020届浙江省七彩阳光联盟高三上学期期初联考数学试题
、单选题
答案】C
详解】
故选:
C.
点睛】
本题考查了集合的交集运算,属于简单题
答案】
详解】
故选:
D
点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质,属于基础题
xy30,
3.设变量x,y满足约束条件
xy20,则目标函数z2xy的最大值为(x2y0.
A.6B.5C.7D.0
2
【答案】B
【解析】画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】作出满足约束条件的平面区域,如图所示,目标函数即y2xz,z表示直线与y轴的截距,根据图像知:
当x2,y1时z2xy有最大值为5.故选:
B.
A.1
【点睛】
本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键
4.某几何体的三视图所示(单位:
cm),则该几何体的体积(单位:
cm3)是()
B.2
答案】D
【解析】由三视图还原出原几何体,确定几何体的结构后求体积.
【详解】
由三视图知,原几何体是一个正方体在旁边挖去一个三棱柱,尺寸见三视图,
31
其体积为V232126.
2
故选:
D.
【点睛】
本题考查三视图,考查柱体的体积.解题关键是由三视图还原出原几何体.
5.若ab0,则()
A.lnalnb0B.a3b30C.tanatanb0D.ab
【答案】B
【解析】由ab得a3b3b3,所以a3b30,其他选项用特殊值法排除,
得到答案.
【详解】
由ab得a3b3b3,所以a3b30.
对于A,取ab1,不成立;对于C取ab,不成立;对于D取ab1,不成立.
故选:
B.
【点睛】
本题考查了不等式的性质,取特殊值排除可以快速得到答案,是解题的关键.
6.“点a,b在圆x2y21内”是“直线axby10与圆x2y21相离”的
()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据点与圆,直线与圆的位置关系判断即可.
【详解】
若点a,b在圆xy1内,则a2b21
1则圆心O到直线axby10的距离d221
a2b2
则直线axby10与圆x2y21相离
反之
必要条件
故选:
C
【点睛】
详解】
故选:
A.
【点睛】
本题考查了图像的识别,利用排除法可以快速得到答案,是解题的关键.
8.如图,四棱锥SABCD中,底面是正方形,各侧棱都相等,记直线SA与直线AD所
成角为,直线SA与平面ABCD所成角为,二面角SABC的平面角为,则
答案】C
解析】过S作SO平面ABCD,过O分别作OEBC,OFCD于E、F,连接
OC,SE,SF,则SCE,SCO,SFO,比较大小得到答案
【详解】
如图,过S作SO
平面ABCD,过O分别作OEBC,OF
CD于E、F,
连接OC,
SE,SF,
则SCE
,SCO
SE
,SFO,因为sin
sin
SO
,所以
SC
SC
SO
SE
SO
SO
又因为tan
tan
,所以,而tan
tan
,所以
OF
CE
OF
OC
综上可得,
故选:
C.
点睛】
本题考查了直线夹角,线面夹角,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力
9.设fx
xe
bxc,若方程f
xx无实根,则
()
A.b1,c
1
B.b1,c
1C.b
1,c1
D.b1,c
1
【答案】D
【解析】f
x
x无实根,当x
时,fx
,故f
xx恒成立,
画出
函数图像,根据图像得到答案
【详解】
即ex1bxc对任意实数x恒成立,根据图像知:
1b0,c1,或b1,c0,
故选:
D.
【点睛】
本题考查了函数的零点问题,意在考查学生的计算能力和转化能力,画出图像是解题的关键.
nn1
10.已知数列an满足an1ann12,前n项和为Sn,且mS20191009,下列说法中错.误.的()
A.m为定值B.ma1为定值C.S2019a1为定值D.ma1有最大值
【答案】A
【解析】
当n2k时,
a2k
a2k1
2k
k2k
1k2k
1
,计算ma11,S2019-a1=-
1010,
1
ma114得到答案.
【详解】
当n2k时,由已知得
a2k
a2k1
2k
k2k
1
1
所以S2019
a1a2a3
a2019
a1
a2a
3a4
a5a2018a2019
a12
46810
2018
a1
1008
2018
a11010,
故S2019
a11010,m
a1
1010
1009,故
ma1
2ma1
1,所以ma121
1,
4,
ma1
1时等号成立
2
故选:
A.
【点睛】
本题考查了数列的求和,
确定
a2k
a2k
12k
k2k
1
1
1是解题的关键,意在考查学生的
计算能力和应用能力
、填空题
11.设fx2xlgx,则f1,f2f5
【答案】237
【解析】直接代入数据计算得到答案.
【详解】
f12,f2f522lg225lg537.
故答案为:
2;37.
【点睛】本题考查了函数值的计算,属于简单题.
12.已知两条平行直线l1:
axy10与l2:
xy30的距离为d,则a,d.
【答案】-122
【解析】根据直线平行和平行直线距离公式得到答案.
【详解】
因为l1Pl2,所以a1,两直线的距离为d22.
故答案为:
-1;22.
点睛】
本题考查了根据平行求参数,平行直线的距离,意在考查学生的计算能力
详解】
而log2ann1,所以log2an
的前
n项和为
nn
故答案为:
2n1;
nn1
2.
【点睛】
本题考查了等比数列通项公式,等差数列求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
14.在VABC中,a3,bc12,B120,则bc,sinBC
答案】23314
解析】根据余弦定理计算得到b7,c5,再利用正弦定理计算得到答案
详解】
由余弦定
理得,b2
2a
2c
2accosB,b29c2
3c,即bcbc93c,
4b5c
3,所以b
7,c
5,
bc2,
a
7
3
14
,即sinAsinBC
33.
而
,故
sinA
sinA
sinB
3
14
故答案为:
2;33
14
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22
xy
15.已知F是椭圆C:
221(ab0)的一个焦点,P为C上一点O为坐标原ab
点,若VPOF为等边三角形,则C的离心率为.
【答案】31
【解析】设F为椭圆C的右焦点,P为椭圆C在第一象限内的点,由题意可知
c3c
P,,代入计算得到答案.
22
【详解】
设F为椭圆C的右焦点,P为椭圆C在第一象限内的点,由题意可知Pc2,23c,
故答案为:
31.
点睛】
本题考查了椭圆离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力
16.已知函数
xxx
1,
1
若存在x1,x2,xn16,1,使得
fx1fx2
fxn1
xn
,则正整数n的最大值为
答案】
解析】
根据单调性得到f
1
1,31,要使正整数n尽可能大,则可以是
4
115
4
1
31,得到答案.
4
详解】
当x16
11
1时,x,1
4
要使正整数
n尽可能大,则可以是
115
4
1
11单调递减,故fx
1
3,故n的最大值为4.
4
1,314
故答案为:
4.
点睛】
本题考查了函数的单调性,值域,意在考查学生的计算能力和综合应用能力
17.已知向量a,b满足,
av
4,
bvtavtR的最小值为1,当br
ab
最大时,
a2b
答案】
解析】
设OuuAur
ruuura,OB
b,由题意知OA4,B点到直线OA的距离为
1,计算
bab
uuur2
4BC3,故
a2b
uuuv
2BC,得到答案.
详解】
uuur设OA
a,
uuurr
OBb,由题意知
4,B点到直线OA的距离为1,
uuuruuuruuur
设OA的中点为C,BABO2BC,
uuuruuuruuuruuuruuur
BABO2CA,故BOBA
uuur2BC
uuur2CA.
rb
则
uuruu
uuu
uuur
uuur
uuur
2uuur
2uuur
2uuur
uuuv
当且仅当BC1时,等号成立,此时,
vvuuuvuuuvuuuv
a2bOA2OB2BC2.
故答案为:
2.
【点睛】
本题考查了向量的数量积,向量的模,意在考查学生的计算能力和转化能力三、解答题
18.已知函数fx2cosxcosx3sinx1,xR.(Ⅰ)求函数fx的最小正周期和对称轴;
(Ⅱ)求函数fx在x0,的最值及相应的x值.
2
答案】(Ⅰ)周期为,对称轴方程为x
6,kZ;(Ⅱ)当x6时,fx
有最大值2;
当x2时,fx有最小值
解析】(Ⅰ
)化简得到fx
2sin2x
,得到周期和对称轴.
Ⅱ)当
0,2时,2x6
,得到值域.
详解】
(Ⅱ)fx2sin2x,当x0,时,2x,,
62666
因此当x时,fx有最大值2;当x时,fx有最小值1.
62
【点睛】本题考查了三角函数的周期,对称轴,值域,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
19.如图,ABCDFE是由两个全等的菱形ABEF和CDFE组成的空间图形,AB2,∠BAF=∠ECD=60°.
(1)求证:
BDDC;
(2)如果二面角B-EF-D的平面角为60°,求直线BD与平面BCE所成角的正弦值
27
【答案】
(1)见解析;
(2)27
7
【解析】
(1)取EF的中点G,连接BG、DG,BF,DE.利用菱形的性质、等边三角形的性质分别证得EFBG,EFDG,由此证得EF平面BDG,进而求得EFBD,根据空间角的概念,证得BDDC.
(2)根据
(1)得到BGD就是二面角BEFD的平面角,即BGD60,由此求得BD的长.利用等体积法计算出D到平面BCE的距离h,根据线面角的正弦值的计算公式,计算出直线BD与平面BCE所成角的正弦值.
【详解】
(1)取EF的中点G,连接BG、DG,BF,DE.在菱形ABEF中,
∵BAF60,∴BEF是正三角形,∴EFBG,
同理在菱形CDEF,可证EFDG,∴EF平面BDG,∴EFBD,又∵CD//EF,∴CDBD.
又BGGD3,所以BDG是正三角形,故有BD3,
所以S
1
BCE
74
37,
设
BCE2
4
4
1
SDCE
13
3
VBDCE
BO
4
3
32
4
3
所以,BO平面CDFE,且BO,又BDCD,在直角BDC中,BC7,
2
D到平面BCE的距离为h,则
3,
2,
【点睛】
本小题主要考查线线垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
*3332
20.已知正项数列an的前n项和为Sn,且对一切nN*,有a13a23an3Sn2.
求证:
(Ⅰ)对一切n∈N,有
an1
an1
2Sn;
(Ⅱ)
数列a是等差数列;
数列n是等差数列;
1
2
3
n
(Ⅲ)
对一切nN*,2
2
2
23
a1
a2
a3
an
答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析
解析】(Ⅰ
)a13
3
a2
323anSn,a1
3
a2
3
an
a3n1Sn21,相减化简得到答
1,
案.
Ⅱ)
2
an
an1
2S
n,
2
an
an2Sn1(n
2),相减得到
an
1an1(n2),得到
证明.
Ⅲ)
an
n,故
n
2
an
1
,代入计算得到答案.
详解】
Ⅰ)由
33
a1a2
anSn,得
3
a1
3
a2
3
an
Sn21,
两式相减得a3n1
Sn21
Snan1Sn
Sn
因为an>0,
所以
Sn1Sn
2Sn
an
1,
所以,对一切
N,
2
有an1an
12Sn.
2
Ⅱ)an21
an1
2Sn可得
2
an
an2Sn1(n
2),
两式相减得,
2
an1
2
anan1
an2an(n2),
2
即an1
2an
an
ann2,
由于an0,所以
an1an
1(n2),又n
1时,
解得
a1
1;
n2时,1
2
1a2,解得a2
2,满足an1
an
1,
因此对一切n
,都有an1
1,即an是等差数列
Ⅲ)由(Ⅱ
)知
ann,而当
2时,
n1
n3
2
an
nn
n1n12n
1
n1
所以当n
2时,
12
22
a1a2
3
2
a3
2
an
11
324
22
2
1
n1
又当n1时,
a3
n
2
an
3显然成立,
所以对一切n
N,
3
a32
2n3
an
点睛】
本题考查了等差数列的证明,
证明数列不等式,意在考查学生的计算能力和综合应用能
力.
2
21.过抛物线y22pxp
0外一点P向抛物线作两条切线,切点为M、N,F为抛
物线的焦点.证明:
1)PF
MFNF;
2)PMFFPN.
答案】
(1)见解析;
(2)
见解析
解析】【详解】
设Px0,y0,Mx1,y1,
Nx2,y2.易求得切线PM:
y1ypxx1,
切线PN:
y2ypxx2.
因为点P在两条切线上,所以,
y1y0px0x1,y2y0px0x2.
故点M、N均在直线y0ypxx0上.
是,
lMN:
y0ypxx0.
y0yp
2
y
x0
2pxy02
2
y022
xx00.
p
由韦达定理知
2
x1x22y0x0,x1x2p
1)易知,Fp,0.
2
由抛物线的第二定义得
MF
x1
p,
NF
x2
MFNF
x1
x2
x1x2
px
2x1
x2
2
x0
2
y0
px0
2
p2
x0
2
y0
PF
因此,
PF
MF
NF.
2)
uuuv由FP
x02p,y0
uuuuvFM
puuuvx12,y1,FN
x22p,y2,知
uuuv
FP
uuuuv
FM
x02,y0
x1
2,y1
x0x1
x0
x1
y0y1
x0x1
x0
x1
2
p2
4
x0x1
又MN
cos
x0
x0x1
x0
x1
2x0
x1
PFM
x1
FPx1
类似地,cos
x1
,则
uuuv
FP
uuuuvFM
FPMF
x02p
FP
x0
PFM
p
2FP
故cosPFMcosPFN
PFM
PFN.
结合PF
MFNF,得MFP∽
PFN
PMF
FPN
x
22.已知函数fxexmx.
Ⅰ)m2时,求fx的单调区间;
Ⅱ)若x0时,不等式x
mx220恒成立,
求实数m的取值范围
答案】(Ⅰ)单调递增区间为
ln2,
,单调递减区间为
ln2);(Ⅱ)
解析】(Ⅰ)求导得到fx
,得到单调区间
Ⅱ)gxx2ex2mx
2,求导根据单调性得到
12,讨论
1
m两种情况,分别计算函数的最值得到答案
2
【详解】
Ⅰ)当m2时,fx
ex2x,
则f
x
xe
2,
当xln2时,
x0;x
ln2时,
0,
所以fx的单调递增区间为
ln2,
,单调递减区间为
ln2).
Ⅱ)设gx
2mx
2x
e
mx
2mx
2mx
2,
2m,令
1ex2m
,则h
xxe
于是当x>0时,
x0,
为增函数,又由
4m
20,知
1)
1,则g
2
12m0,g
e22m0
此时
x在区间
0,2上有唯一零点,设为
x0,
xx0时,g
0.
故g
在区间0,x0
上为减函数,gx0
g0
0,因此,
1不符合要
2
求.
2)
1
m2,则x
0时,gxg0
12m0,
此时
gx在区间[0,
)上为增函数.
故x
0时,gxg
1
00,因此m符合要求,
1综上,m的取值范围是,.
2
【点睛】
本题考查了函数的单调区间,恒成立问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力
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