集合充分必要条件逻辑连接词.docx
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集合充分必要条件逻辑连接词
第1讲 集合的概念和运算
抓住3个考点(考点梳理)
1.集合的基本概念
(1)集合元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:
列举法、描述法、图示法、区间法.
(4)常用数集:
自然数集N;正整数集N+(或N*);整数集Z;有理数集Q;实数集R.
(5)集合的分类:
按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集.
2.集合间的基本关系
(1)子集:
对任意的x∈A,都有x∈B,则A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集:
若A⊆B,且A≠B,则AB(或BA).
(3)空集:
空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即∅⊆A,∅B(B≠∅).
(4)集合相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
3.集合的基本运算及其性质
(1)并集:
A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(2)交集:
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(3)补集:
∁UA={x|x∈U,且x∉A},U为全集,∁UA表示A相对于全集U的补集.
(4)集合的运算性质
①A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B;②A∩A=A,A∩∅=∅;
③A∪A=A,A∪∅=A;④A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.
常用一条性质
若集合A中含有n个元素,则A的子集有2n个,A的真子集有2n-1个.
关注两个“易错点”
(1)注意空集在解题中的应用,防止遗漏空集而导致失误,如A⊆B,A∩B=A,A∪B=B中A=∅的情况需特别注意;
(2)对于含参数的两集合具有包含关系时,端点的取舍是易错点,对端点要单独考虑.
考点自测
1.(2012·)设集合M={-1,0,1},N={x|x2=x},则M∩N=( ).
A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.{0}
2.(2012·)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1B.2C.3D.4 3.(2012·皖南八校三模)设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={3,4,5},则图中的阴影部分表示的集合为( ). A.{5}B.{4} C.{1,2}D.{3,5} 4.(2012·南昌一模)设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B) A.{1,4}B.{1,5}C.{2,5}D.{2,4} 5.(2012·天津)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________. 考向一 集合的基本概念 【例1】►已知a∈R,b∈R,若 ={a2,a+b,0},则a2014+b2014=________. 【训练1】(2012·东北四校一模)集合 中含有的元素个数为( ). A.4B.6C.8D.12 考向二 集合间的基本关系 【例2】►已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 【训练2】已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________. 考向三 集合的基本运算 【例3】► (1)(2012·)设集合A={x|-3≤2x-1≤3},集合B为函数y=lg(x-1)的定义域,则A∩B=( ). A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2] (2)(2012·)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(∁UA)∪B为( ). A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4} 【训练3】集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( ). A.0B.1C.2D.4 热点突破1: 集合问题的求解策略 【命题研究】高考对集合的考查有两种形式: 一是考查集合间的包含关系或交、并、补的基本运算;二是以集合为工具考查集合语言和集合思想在方程、不等式、解析几何等中的运用. 一、集合与不等式交汇问题的解题策略 【真题探究1】►(2012·)已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},则A∩B=( ).A.(-∞,-1)B. C. D.(3,+∞) 【试一试1】已知全集U={y|y=log2x,x>1},集合P= ,则∁UP=( ). A. B. C.(0,+∞)D.(-∞,0)∪ 二、集合中新定义问题的求解策略 【真题探究2】►(2012·新课标全国)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( ).A.3B.6C.8D.10 【试一试2】定义集合运算: AB={z|z=xy,x∈A,y∈B},设A={-2014,0,2014},B={lna,ea},则集合AB的所有元素之和为( ). A.2014B.0C.-2014D.ln2014+e2014 限时训练A级 基础演练(时间: 30分钟 满分: 55分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.(2012·新课标全国)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1 A.ABB.BAC.A=BD.A∩B=∅ 2.(2012·)设全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(∁UQ)= A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5}D.{1,2} 3.(2012·渭南质检)设集合U={x|x<5,x∈N*},M={x|x2-5x+6=0},则∁UM=( ). A.{1,4}B.{1,5}C.{2,3}D.{3,4} 4.(2012·长春名校联考)若集合A={x||x|>1,x∈R},B={y|y=2x2,x∈R},则(∁RA)∩B A.{x|-1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.∅ 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.(2013·榆林模拟)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a= 6.(2012·天津)集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为________ . 三、解答题(共25分) 7.(12分)若集合A={-1,3},集合B={x|x2+ax+b=0},且A=B,求实数a,b. 8.(13分)已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值. (1)9∈(A∩B); (2){9}=A∩B. B级 能力突破(时间: 30分钟 满分: 45分) 一、选择题(每小题5分,共10分) 1.(2012·南昌一模)已知全集U=R,函数y= 的定义域为M,N={x|log2(x-1)<1},则如图所示阴影部分所表示的集合是( ). A.[-2,1)B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪[3,+∞)D.(-∞,2) 2.(2012·潍坊二模)设集合A= ,B={y|y=x2},则A∩B=( ). A.[-2,2]B.[0,2]C.[0,+∞)D.{(-1,1),(1,1)} 二、填空题(每小题5分,共10分) 3.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论: ①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合; ③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.其中正确结论的序号是________. 4.已知集合A= ,B={x|x2-2x-m<0},若A∩B={x|-1 三、解答题(共25分) 5.(12分)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,则求实数m的值. 6.(13分)(2013·衡水模拟)设全集I=R,已知集合M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}. (1)求(∁IM)∩N; (2)记集合A=(∁IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若B∪A=A,求实数a的取值范围. 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 抓住2个考点(考点梳理) 1.四种命题及其关系 (1)命题的概念 可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. (2)四种命题间的相互关系 (3)四种命题的真假判断 ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性. ②两个命题互为逆命题或否命题,它们的真假性没有关系. 2.充分条件、必要条件与充要条件 (1)“若p则q”命题为真时,记作p⇒q,称p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件,q也是p的充要条件. 一个等价关系 互为逆否命题的两个命题的真假相同,对于难于判断的命题转化为其等价命题来判断. 两种方法 充分条件、必要条件的判断方法: (1)定义法: 直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)集合法: 记A={x|x∈p},B={x|x∈q}.若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若A=B,则p是q的充要条件. 考点自测 1.(2012·)命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是( ). A.若α≠ ,则tanα≠1B.若α= ,则tanα≠1 C.若tanα≠1,则α≠ D.若tanα≠1,则α= 2.(2012·天津)设x∈R,则“x> ”是“2x2+x-1>0”的( ). A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.(课本习题改编)命题“如果b2-4ac>0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中是真命题的个数为( ). A.0B.1C.2D.3 4.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( ). A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3 C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3 5.下列命题中所有真命题的序号是________. ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件. 考向一 四种命题及其关系 【例1】►(2012·济南模拟)下列有关命题的说法正确的是( ). A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0” B.“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为真命题 C.命题“∃x∈R,使得2x2-1<0”的否定是“∀x∈R,均有2x2-1<0” D.命题“若cosx=cosy,则x=y”的逆否命题为真命题 【训练1】以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”; ③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价. 考向二 充分条件与必要条件的判断 【例2】►(2013·江西省九校联考)已知a,b∈R,那么“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”() A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 【训练2】(2012·东北三校联合模拟)“λ<1”是“数列an=n2-2λn(n∈N*)为递增数列” A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 考向三 充要条件的探求 【例3】►(2011·)设n∈N*,二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n() 【训练3】(2012·)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( ). A.x=- B.x=1C.x=5D.x=0 三年高考【真题探究】►(2012·)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( ). A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
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