完整版小学奥数几何五大模型相似模型.docx
- 文档编号:4756398
- 上传时间:2022-12-08
- 格式:DOCX
- 页数:32
- 大小:652.40KB
完整版小学奥数几何五大模型相似模型.docx
《完整版小学奥数几何五大模型相似模型.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版小学奥数几何五大模型相似模型.docx(32页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
完整版小学奥数几何五大模型相似模型
任意四边形、梯形与相似模型
模型四相似三角形模型
①ADAEDEAFABACBCAG
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样
改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理:
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
BE4,那么FC的长
【例1】如图,已知在平行四边形ABCD中,AB16,AD10,度是多少?
【例2】如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为15厘米,AC被分为60等份。
如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB),那么小玻璃管口径
DE是多大?
【解析】有一个金字塔模型,所以DE:
ABDC:
AC,DE:
1540:
60,所以DE10厘米。
【例3】如图,DE平行BC,若AD:
DB2:
3,那么S^ade:
S^ecb
【解析】
根
据金
字
塔
模
型
AD:
S^ADE:
S^ABC
22
:
52
4:
25,
设
S^ADE4
份
则
S^ABC
25
&ADE:
ecb
4:
15。
AB
AE:
AC
DE:
BC
2:
(2
3)2:
5,
份
S4BEC
255
315
份,所以
【例4】如图,△ABC中,DE,FG,BC互相平行,ADDFFB,贝UADE:
&边形DEGF:
S四边形FGCB。
【解析】设ade1份,根据面积比等于相似比的平方,
所以ADE:
S^AFGAD:
AF1:
4,ADE:
S^ABCAD:
AB1:
9,因此
S^AFG4份,S^ABC9份,
进而有S四边形DEGF3份,S四边形FGCB5份,所以S^ADE:
S四边形DEGF:
S四边形FGCB1:
3:
5
【巩固】如图,DE平行BC,且AD2,AB5,AE4,求AC的长。
【解析】由金字塔模型得AD:
ABAE:
ACDE:
BC2:
5,所以AC42510
MPPB,
【巩固】如图,△ABC中,DE,FG,MN,PQ,BC互相平行,ADDFFM
【解析】设Saade1份,Saade:
SaafgAD:
AF1:
4,因此S^afg4份,进而有
S四边形DEGF3份,同理有S四边形FGNM5份,5边形MNQP7份,Q边形PQCB9份.
【总结】继续拓展,我们得到一个规律:
平行线等分线段后,所分出来的图形的面积成等差数列。
【例5】已知△ABC中,DE平行BC,若AD:
DB2:
3,且S弟形dbce比Saade大8.5cm2,求SaABC°
【解析】根据金字塔模型AD:
ABDE:
BC2:
(23)2:
5,
22
Saade:
Saabc2:
54:
25,设
Saade4份,则SAABC25份,
S梯形DBCE25421份,S梯形DBCE比SAADE大17份,恰好是8.5Cm,所以
SAABC12・5cm
【例6】如图:
MN平行BC,Sampn:
Sabcp4:
9,AM4cm,求BM的长度
【解析】在沙漏模型中,因为Sampn:
Sabcp4:
9,所以MN:
BC2:
3,在金字塔模型中有:
AM:
ABMN:
BC2:
3,因为AM4cm,AB4236cm,所以
BM642cm
【巩固】如图,已知DE平行BC,BO:
EO3:
2,那么AD:
AB
【解析】由沙漏模型得BO:
EOBC:
DE3:
2,再由金字塔模型得
AD:
ABDE:
BC2:
3•
【例7】如图,ABC中,AE1AB,AD1AC,ED与BC平行,EOD的面积是1
44
平方厘米。
那么AED的面积是平方厘米。
11
【解析】因为ae1AB,AD-AC,ED与BC平行,
44
根据相似模型可知ED:
BC1:
4,EO:
OC1:
4,Scod4Seod4平方厘米,则SCDE415平方厘米,
15
又因为SAED:
SCDEAD:
DC1:
3,所以SAED5——(平方厘米)•
33
【例8】在图中的正方形中,A,B,C分别是所在边的中点,VCDO的面积是VABO面
积的几倍?
115
10166=32,所以S阴影存梯形ADEC15.
【例10】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图,四边形
ABCD和EFGH都是平行四边形,四边形ABCD的面积是16,BG:
GC3:
1,则
四边形EFGH的面积.
【解析】
因为FGHE为平行四边形,所以EC//AG,所以AGCE为平行四边形.Syabcd
4
BG:
GC3:
1,那么GC:
BC1:
4,所以Syagce
1
-164.
4
【例11】
又AEGC,所以AE:
BGGC:
BG
FG:
AFBG:
AE3:
1,所以5FGHE
1:
3,根据沙漏模型,
—Syagce
4
-43.
4
已知三角形ABC的面积为a,交CD于G,求阴影部分的面积.
AF:
FC
2:
1
E是BD的中点,且EF//BC,
【解析】已知AF:
FC2:
1,
且EF
//
EF:
BCAF:
AC2:
3
,所以EF
BC,
-BC,
3
用相似三角形性
又因为E是BD的中点,
所以
EG是三角形
EG:
EF-
2
2
3:
4,
3
GF:
EF1:
4
4:
9.
那么
EG
1
2
BC,
:
SVAFE
1:
8
所以
质可知
DBC的中位线,
可得SVCFG
且SVAEF:
&ABC
SVCFG:
SVABC
1:
18,那么SvcFG
a
18
【例12】
AE
已知正方形ABCD,过C的直线分别交
10cm,AF15cm,求正方形ABCD的边长.
AB、AD的延长线于点
F,且
【解析】方法一:
本题有两个金字塔模型,根据这两个模型有
BC:
AFCE:
EF,
DC:
AECF:
EF,设正方形的边长为xcm,所以有
BCDCCECF
AFAEEFEF即△兰i,解得x6,所以正方形的边长为6cm.
1510
方法二:
或根据一个金字塔列方程即—?
,解得x6
1015
【例13】如图,三角形ABC是一块锐角三角形余料,边
米,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在
AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
BC120毫米,高AD80毫
BC上,其余两个顶点分别在
HDG
【解析】观察图中有金字塔模型5个,用与已知边有关系的两个金字塔模型,所以有
PN
AP,PHBP,设正方形的边长为x毫米,PN
PH
APBP1,即
BC
ABADAB
BC
AD
ABAB
x
—1,解得x48,即正方形的边长为
48毫米.
120
80
【巩固】如图,
在厶ABC中,有长方形DEFG,G、
F在BC上,
D、
E分别在AB、AC
上,AH是厶ABC边BC的高,交DE于M,DG:
DE1:
2,BC12厘米,AH8厘米,求长方形的长和宽.
【解析】观察图中有金字塔模型5个,用与已知边有关系的两个金字塔模型,所以
【例14】图中ABCD是边长为12cm的正方形,从G到正方形顶点C、D连成一个三角
形,已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形GDC的面积是多少?
【解析】根据题中条件,可以直接判断出EF与DC平行,从而三角形GEF与三角形GDC相似,这样,就可以采用相似三角形性质来解决问题.
做GM垂直DC于M,交AB于N.
因为EF//DC,所以三角形GEF与三角形GDC相似,且相似比为
EF:
DC4:
121:
3,
所以GN:
GM1:
3,又因为MNGMGN12,所以GM18cm,
所以三角形GDC的面积为11218108cm2.
2
【例15】如图,将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3,割出图中的阴影部分,
求阴影部分的面积是多少?
【例16】(2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米),它们的面
积之和等于52平方厘米,则阴影部分的面积是.
n厘米(mn),贝Vm2n252,所以
52,不合题意,所以m只能为6或7•检
【解析】设大、小正方形的边长分别为m厘米、
222
m8.若m5,则mn5250
验可知只有m6、n4满足题意,所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4
厘米•根据相似三角形性质,BG:
GFAB:
FE6:
43:
2,而BGGF6,得
1
BG3.6(厘米),所以阴影部分的面积为:
一63.610.8(平方厘米)•
2
【例17】如图,O是矩形一条对角线的中点,图中已经标出两个三角形的面积为3和4,
那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少?
【解析】连接OB,面积为4的三角形占了矩形面积的-,所以Saoeb431,所以
4
OE:
EA1:
3,所以CE:
CA5:
8,由三角形相似可得阴影部分面积为
8(5)225•
88
F、G是BC边上的
【例18】已知长方形ABCD的面积为70厘米,E是AD的中点,
三等分点,求阴影△EHO的面积是多少厘米?
【解析】因为E是AD的中点,F、G是BC边上的三等分点,由此可以说明如果把长方形
的长分成6份的话,那么EDAD3份、BFFGGC2份,大家能在图形中
找到沙漏△EOD和厶BOG:
有ED:
BG=3:
4,所以OD:
BO3:
4,相当于把BD
分成(34)7份,同理也可以在图中在次找到沙漏:
△EHD和厶BHF也是沙漏,
ED:
BF3:
2,由此可以推出:
HD:
BH3:
2,相当于把BD分成(32)5份,那么我们就可以把BD分成35份(5和7的最小公倍数)其中OD占15份,BH占14
35
份,HO占6份,连接EB则可知ABED的面积为704,在BD为底的三角
2
356
形中HO占6份,则面积为:
一一3(平方厘米).
235
【例19】ABCD是平行四边形,面积为72平方厘米,E、F分别为AB、BC的中点,
则图中阴影部分的面积为平方厘米.
【解析】方法一:
注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质.
1
-1226(平方厘米),同理SaFmc
4
648(平方厘米).
【例20】如图,三角形PDM的面积是8平方厘米,长方形ABCD的长是6厘米,宽是
4厘米,M是BC的中点,则三角形APD的面积是平方厘米.
【解析】本题在矩形内连接三点构成一个三角形,而且其中一点是矩形某一条边的中点,一
般需要通过这一点做垂线.
取AD的中点N,连接MN,设MN交PD于K.
则三角形PDM被分成两个三角形,而且这两个三角形有公共的底边MK,可知三
18
角形PDM的面积等于MKBC8(平方厘米),所以MK=(厘米),那么
23
84
NK4(厘米).
33
因为NK是三角形APD的中位线,所以AP2NK-(厘米),所以三角形APD
3
的面积为1868(平方厘米).
23
【例21】如图,长方形ABCD中,E为AD的中点,AF与BE、BD分别交于G、H,
OE垂直AD于E,交AF于O,已知AH5cm,HF
3cm,求
【解析】由于AB//DF,禾U用相似三角形性质可以得到
AB:
DF
AH:
HF
5:
3
【例22】
【解析】
【例23】
又因为E为AD中点,那么有
3
所以AB:
OE5:
—10:
3
2
10:
3,
AG:
GOAB:
OE
工11
而AOAF-
22
右图中正方形的面积为
阴影部分的面积.
OE:
FD1:
2,
cm
1,
,所以AG
10
13
40
cm
13
E、F分别为AB、
BD的中点,GC
1
FC.求
3
题中条件给出的都是比例关系,
解,而图中出现最多的就是三角形,那么首先想到的就是利用相似三角形的性质.
阴影部分为三角形,已知底边为正方形边长的一半,只要求出高,便可求出面积.可以作FH垂直BC于H,GI垂直BC于I.
根据相似三角形性质,CI
由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求
:
CHCG:
CF1:
3,又因为
CI:
CB1:
6,即BI:
BC
61:
65:
6,所以Svbge
CHHB,所以
1
2
15_5
2624
梯形ABCD的面积为于F,四边形CDFE的面积是
12,AB2CD,E为AC的中点,
BE的延长线与AD交
【例24】如图,三角形ABC的面积为60平方厘米,D、
那么阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】延长BF、CD相交于G•
11
由于E为AC的中点,根据相似三角形性质,CGAB2CD,GD-GC-AB,
22
再根据相似三角形性质,
AF:
FD
AB:
DG
2:
1,
GF:
GB1:
3,而
SABD:
SBCD
AB:
CD
2:
1,
所以SBCD
SaBCD
1124,
SGBC
2S
BCD
8.
3
3
又Sgdf1
11
SEBCS
GBC,
所以
Sddfe
1
1
1
SGBC
1S8
GBC
SGBC2
36
2
2
6
33
E、F分别为各边的中点,
【解析】阴影部分是一个不规则的四边形,不方便直接求面积,可以将其转化为两个三角形
的面积之差.而从图中来看,既可以转化为BEF与EMN的面积之差,又可以转化为BCM与CFN的面积之差.
(法1)如图,连接DE.
由于D、E、F分别为各边的中点,那么BDEF为平行四边形,且面积为三角形ABC面积的一半,即30平方厘米;那么BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半,为15平方厘米.
根据几何五大模型中的相似模型,由于DE为三角形ABC的中位线,长度为BC的
1
一半,则EM:
BMDE:
BC1:
2,所以EM-EB;
3
1EN:
FNDE:
FC1:
1,所以ENEF.
2
昇,所以阴影部分面积为
那么EMN的面积占BEF面积的丄
2
1
151-12.5(平方厘米).
6
(法2)如图,连接AM.
根据燕尾定理,sabm:
SbcmAE:
EC1:
1,
11
所以SBCO一sABC
33
11
而sBDC—SABC所以
22
SACM
SFCN
:
SBCMAD:
DB1:
1,
1
Sbdc7.5平方厘米,
4
【总结】
那么阴影部分面积为207.512.5(平方厘米).求三角形的面积,一般有三种方法:
⑴利用面积公式:
底高2;
⑵利用整体减去部分;
⑶利用比例和模型.
【解析】
延长EO交AB于F点,分别计算△AOD,△AOB,ADOC,△BOC的面积,再求和.
DE:
BFDO:
OB3:
1
…&AOD•SaAOB3:
1;SaDOCSaBOC3•1
SaAODSaBOC
1
又•••SaABD4510
2
3
--SaaodSaabd7.5,S\aob2.5,Saboc7.5,Sadoc3Saboc37.522.5
4
••s梯形abcd7.52・57.522・540
【例26】
边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起,那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米?
【解析】
【例27】
【解析】
【例28】
给图形标注字母,按顺时针方向标注,
分别交AC,AD于0,H两点,
AO:
OCAB:
EC12:
20
•••AO:
AC3:
8,
12
12
2
9s
Saadc
40
AH:
AD
3:
5,
3:
5,
-S\ADC
…S\AHO
72
—72
40
16.2
大正方形为ABCD,小正方形为MNDE,EB
AH:
BCAO:
OC3:
5
Saaho•Saadc9-40
ABCD中,EF
16,FG9,求AG的长.
如右图,长方形
因为DA//BE,根据相似三角形性质知
又因为DF
AG
所以Ae
GE
//AB
FG
GA,
DG
,GB
2
即AG
FG
GA,
GEFG25
DG
GB
AG
GE,
2
22515,所以AG
)如图,已知正方形
(第21届迎春杯试题
点,E是DC边上的点,且DE:
EC1:
3,
ABCD的边长为4,
AF与BE相交于点G
F是BC边的中,求SaABG
【解析】方法一:
连接AE,延长AF,DC两条线交于点M,构造出两个沙漏,所以有
AB:
CMBF:
FC1:
1,因此CM4,根据题意有CE3,再根据另一个沙漏
FD:
BCFH:
HC1:
2,
EB:
CDBG:
GD1:
2所以CH:
CFGH:
EF2:
3,
并得G、H是BD的三等分点,所以BGGH,所以
1
1
1
1
—SABD
—SyaBCD
.
2
2
2
4
1
2
1
2
SBMG—
Sbfd
3
5
3
5
-丄
430
BG:
EFBM:
MF2:
3
2
所以BMBF,Sbfd
5
1
又因为BG-BD,所以
3
解法二:
延长CE交DA于I,如右图,
可得,AI:
BCAE:
EB1:
1,
从而可以确定M的点的位置,
2
BM-BF
5
可得SBMG
BM:
MFBC:
IF2:
3,
1
BG-BD(鸟头定理),
3
212111
QQ——SBDF———SYABCD—
5353430
1
由题意可得到:
EG:
GCEB:
CD1:
2,所以可得:
Sebg丄Sbce
3
将AB、DF延长交于M点,可得:
BM:
DC
MF:
1
FDBF:
FC
1:
1,
而EH
:
HC
EM
:
CD
1
(
AB
AB)
:
CD
3:
2
2,得CHCE,
2
5
而CF
^bc,所
斤以s
CHF
1
-Sbce
1s
BCE
2
2
5
5
SBCE
1
^AB
BC
1
120
30
2
2
4
1
1
7
7
s四边形
BGHF
SEBC
-s
EBC
-s
EBC
s
EBC
3014•
3
5
15
15
本题也可以用蝴蝶定理来做,连接EF,确定H的位置(也就是FH:
HD),同样也
能解出.
【例31】如图,已知S^abc14,点D,E,F分别在AB,BC,CA上,且AD2,BD5,AFFC,s四边形dbefs^abe则s^abe是多少?
【解析】△ABC的面积已知,若知道△ABE的面积占△ABC的几分之几就可以计算出
△ABE的面积•连接CD.
-S四边形DBEFS^ABE
--S\DEFS^ADE
•••AC与DE平行,
--S\ADES^CDE
--S\ABES^CDB
•「AD2,BD5
&ACD:
:
SCDB
2:
5
ABB
Sacdb
5SaABC
51410
7
7
【例32】如图,长方形ABCD中,E、
FB2AF,求PM:
MN:
NQ.
F分别为CD、AB边上的点,DEEC,
【解析】如图,过E作AD的平行线交PQ于G.
由于E是DC的中点,所以G是PQ的中点.
由于DEEC,FB2AF,所以AF:
DE2:
3,BF:
CE4:
3.
根据相似性,PM:
MG
AM:
MEAF
:
DE
2:
3,
GN:
NQ
EN:
NB
EC
:
BF
3:
4,
2
3
3
36
4
4
于是PM
PG,
MN
PG
GQ
PG
NQ
GQ
PG,
5
5
7
35
7
7
所以PM
:
MN:
NQ
2:
36:
4
7:
18:
10
5
357
【解析】设三角形以AB为底的高为h,
由于FG:
AB2:
3,所以ED:
FG1:
2;
所以三角形OGF以GF为底的高是--h;
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整版 小学 几何 模型 相似