地面搜索的最优路径规划.docx
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地面搜索的最优路径规划
地面搜索的最优路径规划
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摘要
此文是地面搜索路径规划问题。
将区域分割、人员分配两个子问题放在搜索任务总体优化的目标下考虑,着眼于耗时最少的研究,探讨区域分割方法和子区域间的衔接顺序,寻求出最优的行进搜索路径。
模型一中利用最小覆盖和最短路径原理,建立了可行性模型,依照此模型,得出了队员的搜索路线,并且求得了完成指定任务的最短时间为50.3623小时,在此模型基础上解得增加2人即可在48小时内完成任务。
模型二中综合考虑分组情况,实行分区域行进搜索,分析确定分组情况,在利用搜索最短路径建立行进路线,求解出完成任务的最短时间为20.0366小时。
并将此模型进行推广与应用,通过生命探测仪检测地震中的幸存者这个案例,上述模型得到了很好的检验。
关键词:
区域分割最小覆盖路径规划最短路径模型
目录
一、问题重述……………………………………………………………1
二、符号说明及模型假设………………………………………………2
2.1、符号说明……………………………………………………2
2.2模型假设……………………………………………………2
三、问题分析……………………………………………………………3
四、模型建立及求解……………………………………………………3
4.1模型的建立与求解……………………………………………4
4.1.1往复式………………………………………………………4
4.1.2螺旋式………………………………………………………4
4.1.3往复式与螺旋式比较………………………………………5
4.1.4文中的搜索方式……………………………………………6
4.2模型建立与求解………………………………………………9
五、模型分析与检验……………………………………………………11
5.1模型分析………………………………………………………11
5.2模型检验………………………………………………………11
六、模型的优点评价……………………………………………………14
七、模型的改进与推广…………………………………………………14
7.1模型的改进……………………………………………………14
7.2模型的推广……………………………………………………14
模型的缺点………………………………………………………………15
参考文献…………………………………………………………………16
附录………………………………………………………………………17
地面搜索的最优路径规划
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一、问题重述
地面搜索利用卫星以及地面雷达共同组成缜密的搜索网络,在很多领域都有广泛的应用,如防空预警体系、交通通讯系统等等。
在5.12汶川大地震使震区地面交通和通讯系统严重瘫痪的紧急情况下,救灾指挥部急需派出多支小分队,到各个指定区域执行搜索任务,以确定需要救助的人员的准确位置。
在其它场合也常有类似的搜索任务。
制定搜索队伍的行进路线是地面搜索所必需的,以便对预定区域进行快速全面的搜索。
现对一个大小为11200m×7200m的平地矩形目标区域进行全境搜索。
假设:
出发点在区域中心;搜索完成后集结在左侧短边中点;每个人搜索时的可探测半径为20米;搜索时平均行进速度为0.6米/秒,不搜索而只行进时平均速度为1.2米/秒。
每个人带有GPS定位仪、通讯半径为1000米的步话机。
搜索队伍若干人为一组,有一个组长,组长还拥有卫星电话。
每个人搜索到目标,需要用步话机及时向组长报告,组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。
问题1:
假定一支20人一组的队伍,拥有一台卫星电话。
设计一种耗时最短的搜索方式,并计算搜索完全部区域的时间,能否在48小时内完成搜索任务,若不能,需要增加几人可以完成。
问题2:
为加快速度,搜索队伍有50人,拥有3台卫星电话,分成3组。
每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。
设计一种耗时最短的搜索方式并计算搜索完全部区域的时间。
二、符号说明及模型假设
2.1、符号说明
………………………………………………搜救人员搜索半径
…………………………………………………步话机通讯半径
…………………………………………………搜索区域的长度
…………………………………………………搜索区域的宽度
……………………………………………搜索时平均行进速度
……………………………………不搜索只行进时的平均速度
……………………………………………………最初队员人数
……………………………………………………增加队员人数
T…………………………………………搜索完成总共花费的时间
………………………………………………………搜索总时间
………………………………………不搜索只行进所用总时间
…………………………………………………………平移次数
……………………………………多个队员一次并排搜索宽度
………………………………………分组后每组的人数
……………………………………………………………队员行程
………………………………………………………………转角
2.2模型假设
1、在搜索过程中,GPS定位仪、步话机及卫星电话均正常,且互不干扰。
2、搜索人员不受外界因素的影响,始终保持正常工作状态。
3、搜索人员在两种状态下,速度总是恒定的。
4、在搜索过程中,不出现特殊情况而耽误时间。
5、分区域搜索时,每组只搜索属于自己区域的范围。
6、在平行移动过程中,队员均为直线行进。
三、问题分析
问题1:
考虑一支20人一组的搜索队伍,设计一种耗时最短的搜索方式,且搜索完整个区域的时间是否在48小时以内,如果超过48小时,至少需要增加多少人能完成任务。
将20个搜索人员看作一个整体,视为一个研究对象,他们为了提高整体效率,缩短完成任务时间,采用并排行进的方式以最短可行路径搜索完整个区域。
此时,问题就转化为类似在加权网络图中寻找从定点出发到终点的时间最短的优化模型。
因为要求耗时最少,所以从出发点开始搜索过程中路过的重复地方一定要最少。
问题2:
为了加快速度,搜索队伍现有50人并将其分为3组进行搜索。
且每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。
要使整个过程耗时最短,则应使每组人员搜索的相应区域的时间尽可能相等。
四、模型建立及求解
在无遗漏搜索区域的前提下,衡量子区域内行走方式优劣的标准是时间和路程。
影响时间的主要因素是转弯次数,转弯越多,费时越多。
影响路程的主要因素是行走方式,由于搜索区域的边长一般不是搜索人员直径的整数倍,所以搜索同一区域,不同的行走方式路程不相等。
文中以减少转弯次数和行走路程为优化目标,对普遍采用的往复式和螺旋式加以比较、选择和改进。
4.1模型的建立与求解
4.1.1往复式
考虑到搜索范围的长与宽,沿长边方向行走的往复式和沿宽边方向相比,其总路程s,沿长边方向搜索只行进不搜索的路程
和转弯次数k较优(图1)[1],为:
(1)
=
(2)
(3)
(4)
图1
将题中的数据代入以上公式,计算得:
T=52.2147小时。
4.1.2螺旋式
从中点按顺时针方向从长边开始向外螺旋式和从宽边开始相比,其总路程s,沿长边开始向外螺旋搜索只行进不搜索的路程
和转90度弯次数k较优(图2),为:
(5)
(6)
(7)
(8)
至于向外螺旋方式,其路径或转弯次数均等于向内螺旋方式,但由于导航的困难和搜索完区域的终止点在边缘的不确定性,还要走到指定终点,我们舍弃这种方式。
(图2)
4.1.3往复式与螺旋式比较
(1)转弯次数与路程的比较。
从长边开始螺旋式与沿长方向往复式转弯次数相同。
沿长方向往复式与从长边开始螺旋式路程相差较大。
(2)终止位置的比较。
若采用往复式,则因边缘效应等原因使得终止位置不确定。
若采用螺旋式,则搜索人员的终止总为开阔的子区域重心附近。
(3)终止位置若不确定,则子区域间衔接路径无从规划;终止位置若靠近边角,则搜索人员在子区域间完成任务时过渡行走不利于求解;只有当搜索人员位于开阔的子区域重心,才有利于搜索人员后续的子区域间衔接行走,即有利于全局优化。
(4)这两种算法存在三个缺陷:
①在整个区域中采用一种方式往复运动;②限制了区域在局部和全局上的进一步优化;③确定的算法困难并且过于复杂。
4.1.4 文中的搜索方式
考虑到搜索人员行进路线最短,耗费时间最少等要求,可将搜索区域化分为多个子区域[5],一一进行搜索,可减少重复搜索范围。
进一步考虑到搜索范围的长与宽,其总路程s和转弯90度(在文中提出的模型中,将角度转化成了平移)次数k较优,将整个区域基于下式划分成若干个子区域:
(9)
根据出发点为区域中心,终点为左侧短边中点。
1)问题1中,一支20人一组的搜索队伍[6],拥有一台卫星电话,根据每个搜索人员的搜索半径r和通讯半径为
米的限制寻求最优搜索路径,让所有队员并排搜索,其搜索宽度为:
(10)
再依据搜索范围的长、宽分别与一次并排搜索面积的比值:
奇偶性可得理论上最优的划分的路径(图3)。
(11)
上式中
表示在水平方向以行进
为长度搜索的次数,利用上式可以求得问题1中搜索行进完成指定任务的最短时间。
将A、B、C三个分区中的横向搜索可近似看成一个只在右半部分的横向搜索,该区域中只有
次横向搜索。
将D区可转化为类似于整个区域的左半部分的
次纵向搜索。
图3
因为此问题是一个优化模型考虑总时间最短,就要求我们不搜索只行进的时间要最短。
又因为要求从区域中心出发,到区域左边较短边中心集结,就要考虑出发的背离方向可能会出现搜索重复延迟时间。
因为我们是以宽度
整体向前推进的方式搜索,所以我们先将整个搜索区域分成以
的方格,可分成
的网格。
又考虑到能尽少重复或平移转向,又能满足要求,又将这些网格从中线分成A、B、C、D四个区。
因为区域短边长度为
米,而分成了
[即
]的矩形区域,所以开始搜索不应该是在中心我们考虑搜索时平均行进速度和不搜索的平均行进速度的区别,我们在开始搜索时前先向上方平移行进
米,再开始搜索。
在区域A中以水平方向搜索,直到搜索完A区域;然后仍以水平搜索方式进入B区,采取和A区相同的搜索方式进行搜索;当B区搜索完成后,本可以直接转到整个区域的下半部分进行竖直搜索,考虑到要多重复一次,因此搜索完整个B区域再竖直向下行进
米进入C区采取水平向右搜索一次即可完成搜索转入D区,这样就在完成任务的同时恰好回到集结点;进入D区后,要在完成搜索任务的同时回到集结点,我们则需要采取纵向搜索方式进行搜索,按照如图箭头所示的行进路线进行搜索即可达到我们预定目标。
此时,按照我们的方式在完成搜索时所有队员还成一字排开形式,因此在完成搜索后需要所有队员向下行走
米,完成集结,从而完成整个搜索任务。
通过编程(附录)得到最短搜索时间为50.3623小时,超过了48小时,即不能按时完成任务,需要适量增加人员。
假设增加的人员数为
,重新建立新的搜索方案,搜索方案的路径图与图3相似,以得到此时的最优规划模型[2]。
当人员增加后,其总人数变为
,此时并排搜索一次的宽度为
。
基于第一问的优化路径,当采用类似的横向搜索方式时,用满足A、B、C三个区域横向搜索的单行宽度来减少平移次数节约重复时间,即需要压缩D区中纵向搜索的单列长度。
当采用纵向搜索方式时,从搜索区域右边开始满足每次搜索的宽度,以压缩搜索次数来达到最短耗时的动态规划目的[3][5]。
(12)
根据类似于附录一的程序,通过编程实现了模型的求解,
值为1.9248,基于实际情况考虑向上取整为2。
因此需要增加2个人方可在规定的时间内完成规定的搜索任务。
4.2模型建立与求解
为了方便描述现将三个组分别命名为A、B、C。
要使总搜索时间最少,应该在分组分区域搜索时让三组在同一时刻开始并且在同一时刻完成任务,达到搜索时间最短。
为了简化计算,假设其中两组的人员数相等,用区域竖直中线将整个区域划分为左、右两个部分,再在这两个区域中用一条竖直线将分为两个小区(文中中假定在区域的左边来划分,并且令其与中线的距离为
)大致以这条线左边的为一个搜索区域分给组C;右边的部分再用一条水平线分为两个相等区域分别分给两个组A、B(因A、B两个区完全相同,所以后面只分析A)。
按照第一问的思维可确定出A的搜索方式也为水平搜索,以此方式搜索要使此区域的搜索时间最短,且最终回到左侧短边中点集结则应减少搜索时的重复路径,因此在横向搜索行进时在对称区域搜索的次数应为偶数。
有了区域划分方式和搜索方式后就需要确定人员的分配方式。
在人员分组时,由上述分析假设A组的人数为
,且可以得知
为偶数,要三组完成搜索任务的时间相等,则第三组人数为
,由图
分析可知:
第三组人员要尽可能的少,由此可得三组人员的分配情况为:
。
根据我们的人员分配情况可视:
。
在我们确定各组人数之后,我们就可以根据人数来确定每个组的搜索面积,通过时间相等的关系可列出一个关系式计算出这个不确定的宽度,从而确定三个组各自的搜索区域(与图中代表组别的字母相对应)的面积。
有了三组人员进行搜索区域的划分后,根据确定出的区域划分可知道以
为宽度的活动区域在总区域的左边。
有了搜索面积和搜索方式这两个条件后,我们就可以确定新的搜索起始点,即将搜索起始点平移
,再从新的点开始搜索。
搜索进行如图箭头所示。
(图4)。
(13)
上式中
表示在A组水平方向行进搜索的次数,将各变量的初值代入(13)式可以得到
的长度,即
=1120m,再将
代入此等式的任意一边,可求得问题2完成任务的总时间,再把时间进行单位换算,可以得到结果为20.0366小时。
图4
五、模型分析与检验
5.1模型分析
在问题1中联系题设条件,经过一系列的对比分析与数据处理,对往复式与螺旋式的比较,都显示出它们使用范围的局限性。
综合考虑这两种方式,得到了本题的理想模型,绘出了搜索的行进路线图。
在人员不足的情况下,能够利用此模型求出需要的最少配置人员数。
对问题2而言,在问题1的基础上考虑对队员的分组以及分区域搜索行进,基于各组同时同地出发,且用相同时间完成任务,得到了第二种可行模型。
经过数学表达式和程序验证,表明该模型是合理可行的。
5.2模型检验
根据前面模型所建立的优化搜索路径,能够很好地确定地震中需要救助的人员的准确位置,完成指定区域的搜索任务。
这就成功的解决了盲目的搜索以致浪费时间和人力的弊端,缩减了单位区域的搜索时间,大大提高了在紧急情况下有效救助的效率。
然而,我们并不能忽略搜索过程中随机性因素的存在,如:
定位仪暂时无法接通等,虽然这种情况发生的几率微乎其微。
为了进一步解决搜索行进最优路进的实际问题,在前面所建模型的基础上,我们设想了如下情景的搜索系统。
设想在某一近似矩形且面积为280000×180000平方米的平面区域突然发生地震,且该区域是一个人口集中的居民区,地震对此造成一定的影响,急需外界的救援。
此时,有一些人员参加救助,已知:
每个人搜索时的可探测半径为500米;搜索时平均行进速度为0.6米/秒,不搜索而只行进时平均速度为1.2米/秒。
每个人带有GPS定位仪、生命探测仪和通讯半径为1000米的步话机。
搜索队伍若干人为一组,有一个组长,组长还拥有卫星电话。
每个人搜索到目标,需要用步话机及时向组长报告,组长用卫星电话向指挥部报告搜索的最新结果。
GPS导航系统的基本原理是测量出已知位置的卫星到用户接收机之间的距离,然后综合多颗卫星的数据就可知道接收机的具体位置。
再加上生命探测仪是当前世界上最先进的搜救及检测仪器,它主要通过感应人体所发出的超低频电波产生的电场(由心脏产生)找出“活人”位置。
人体发出的超低频电场可穿透钢筋混凝墙、钢板、木板、甚至水,因此,只要有生命迹象,不论其是否清醒、昏迷、身陷瓦砾堆或躲在集装箱中,均可用生命探测仪在最短时间内将其找到。
生命探测仪空旷探测范围可达500米,可透过80厘米厚的普通钢板,探测到生命。
[7]
在上述设想下,根据实际搜索人员数与搜索区域的大小,把搜索人员分组、搜索区域划分为几个子区域。
将每一组的搜索人员看作一个整体,视为一个研究对象,为了提高整体效率,缩短完成任务时间,每组都采用并排行进的方式以最短可行路径搜索完整个区域,且每组可独立将搜索情况报告给指挥部门。
要使整个过程耗时最短,则应使每组人员搜索的相应区域的时间尽可能相等。
此时,问题就转化为类似在加权网络图中寻找从定点出发到终点的时间最短的优化模型。
因为要求耗时最少,所以从出发点开始搜索过程中路过的重复地方一定要最少。
结合实际搜索人数设定一个分组界线:
50人以下不考虑分组,50及其以上采用分组进行搜索。
不分组时,假定现有搜索人员20人。
当选用往复式搜索方式,类似图1,结合公式
(1)—(4),将实际的数据代入以上公式,计算得:
T=51.7241小时;当采用模型一的搜索方式,类似图3,结合公式(9)—(11),将实际的数据代入以上公式,计算得:
T=50.1573小时。
比较以上三个数据,模型一的搜索方式为最优搜索方式。
分组时,假定现有搜索人员50人。
结合模型二的分析分组情况为:
15人、15人、20人。
类似图4,结合公式(13),将实际数据代入公式,计算得:
T=20.0158小时。
通过生命探测仪检测地震中的幸存者这个案例,使上述模型得到了很好的检验。
六、模型的优点评价
1、建立的模型由简单到复杂,由粗略到精确,层层推进,步步优化。
2、建立的模型结合实际情况,对所提出的问题进行求解,使模型更贴近实际,通用性、推广性较强。
3、利用模型间的比较,此数学模型具有成熟的理论基础,具有科学性。
4、采用多种方式求解模型结果,具有准确性。
七、模型的改进与推广
7.1模型的改进
在模型的建立中,考虑队员人数太多而将其作为一个整体进行搜索,可能会延长展开时间。
当一开始就从出发点向水平和竖直方向均匀排列开、搜索行进,可能会得到又一种规划模型。
还可以采用网格
拓扑结构把问题转化为队员的行进路径规划[4],有待我们进一步研究。
7.2模型的推广
我们建立的模型的思想和方法对其他类似的问题也很适用,除了在地面搜索方面的实用性较强外,还可以推广到防空预警体系、机器人协作覆盖规划研究、全球定位系统等。
模型的缺点
1、基本模型比较简单,但是通过方案改进,得到了一种较好的规划路径。
2、在数据的处理过程中,为了简化计算,采用了取整数据、舍弃数据等计算方式,因此带来了一定的误差。
3、现实中随机性因素较多,使得该模型不能准确地反映出来。
参考文献
[1]马永庆张承慧程兆林变频驱动油往复式注水泵站最小轴功率优化控制23套8期,2003
[2]姜启源谢金星叶俊数学模型高等教育出版社,2005
[3]胡运权运筹学教程(第三版)清华大学出版社,2007
[4]赵静但琦数学建模与数学实验(第3版)高等教育出版社,2008
[5]王俭赵鹤鸣基于区域优化分割的机器人全覆盖路径规划
http:
//218.194.191.21/zycx/zycx.asp?
tid=92006
[6]郝宗波洪炳镕多简单机器人协作覆盖规划研究
http:
//218.194.191.21/zycx/zycx.asp?
tid=92007
[7]wangeleven国外专业救援队有用吗
2008
附录
#include
voidmain()
{longintn,s,k1=-1,k2=0,k3=0,k4=0;
floatt11,t12,t,t21,t22,t31,t32,t41,t42;
for(n=1;n<5;n++)
{
if(n%2==1)
printf("向右搜索\n");
else
printf("向左搜索\n");
k1++;/*当从右变成左的时候k1就加一次,表示以1.2m/s的速度走了800米*/
}
t11=s/(0.6*3600);
t12=k*800/(1.2*3600);
for(n=1;n<5;n++)
{
if(n%2==1)
printf("向左搜索\n");
else
printf("向右搜索\n");
k2++;/*当从右变成左的时候k2就加一次,表示以1.2m/s的速度走了800米*/
}
t21=s/(0.6*3600);
t22=k*800/(1.2*3600);
for(n=1;n<8;n++)
{
if(n%2==1)
printf("向下搜索\n");
else
printf("向上搜索\n");
k3++;/*当从右变成左的时候k3就加一次,表示以1.2m/s的速度走了800米*/
}
t31=s/(0.6*3600);
t32=k*800/(1.2*3600);
for(n=1;n<8;n++)
{
if(n%2==1)
printf("向下搜索\n");
else
printf("向上搜索\n");
k4++;/*当从右变成左的时候k4就加一次,表示以1.2m/s的速度走了800米*/
}
t41=s/(0.6*3600);
t42=k*800/(1.2*3600);
t=t11+t12+t21+t22+t31+t32+t41+t42;
k=k1+k2+k3+k4;
printf("%d/n",t);
printf("%d/n",k);
}
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