精算师考试金融数学1.docx
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精算师考试金融数学1
精算师考试__金融数学1
第一篇:
利息理论
第一章:
利息的基本概念
a'(t)⎧
⎪δ=a(t)⎪t
δtdr⎪∫0
1、有关利息力:
⎨a(t)=e
⎪n
⎪∫0A(n)δtdt=A(n)−A(0)⎪⎩
(p)
i(m)md2、(1+=1+i=v−1=(1−d)−1=(1−)−p=eδ
mp
i⎧
单利率下的利息力:
δ=t⎪⎪1+it3、⎨
⎪但贴现下的利息力:
δ=d
t
⎪⎩1−id
⎧严格单利法(英国法)
⎪
4、投资期的确定⎨常规单利法(欧洲大陆法)
⎪银行家规则(欧洲货币法)⎩
−
5、等时间法:
t=
第二章年金
∑
n
sktksk
k=1
n
∑
k=1
....⎧a+i)an=an−1+1⎪n=an1、⎨....
⎪sn=s+i)sn=s−1⎩nn+1
m⎧va=a−anm+nm⎪2、⎨......
m⎪van=am+n−am⎩
3、零头付款问题:
(1)上浮式
(2)常规(3)扣减式4:
变利率年金
(1)各付款期间段的利率不同
(2)各付款所依据的利率不同
5、付款频率与计息频率不同的年金
(1)付款频率低于计息频率的年金⎧a⎧⎪⎪现值:
s
⎪⎪k
1
期末付年金:
.......永续年金现值⎨⎪snisk
⎪终值⎪
⎪sk⎪⎪⎩
⎨
a⎧⎪现值⎪⎪a1⎪⎪期初付年金:
........永续年金现值⎨
⎪iak
⎪终值:
s⎪⎪ak⎪⎩⎩
(2)付款频率高于计息频率的年金
n⎧⎧1−v(m)
现值:
=(m)⎪⎪1⎪i⎪期末付年金:
.......⎨(m)n
i⎪(1+i)−1(m)⎪=⎪(m)n⎪i⎪⎩
⎨n..(m)⎧1−v⎪a=(m)⎪⎪1⎪d
........⎪期初付年金:
⎨(m)(m)n..d⎪⎪终值:
s=(1+i)−1
n(m)⎪⎪i⎩⎩
(3)连续年金(注意:
与永续年金的区别)
⎧−
an=⎪⎪⎨−⎪s=n⎪⎩
∫∫
n0
1−vt
vdt=
δ(1+i)n−t
n
n0
(1+i)n−1
dt=
δ
6、基本年金变化
(1)各年付款额为等差数列
3
⎧a−nvn
(现值)⎪V0=pa+Q
i⎪
..
⎪
a−na−nvn⎪
=⎪(Ia)=a+ii
⎪
a−nvnn−a⎪
=⎨(Da)n=nan−
ii⎪
⋅⋅
⎪n
⎪期末付虹式年金:
V0=(Ia)n+v(Da)n-1=an⋅an
⋅⋅⎪n
⎪期末付平顶虹式年金:
V0=(Ia)+v(Da)=a⋅a⎪⎪⎩
(2)各年付款额为等比数列
1+kn⎧i
n⎪V0=不存在⎨i=k:
V0=
i−k1+i⎪
⎪⎩i>k:
V0存在
7、更一般变化的年金:
(1)在(Ia)n的基础上,付款频率小于计息频率的形式
ann
−vn
ak
V0=
isk
(2)在(Ia)n的基础上,付款频率大于计息频率的形式
⎧n
a−nv⎪每个计息期内的m次付款额保持不变(Ia)(m)=nn⎪i(m)⎪
⎨
..
⎪n
a−nvn⎪每个计息期内的m次付款额保持不变(I(m)a)(m)=n⎪⎩i(m)
(3)连续变化年金:
1:
有n个计息期,利率为i,在t时刻付款率为t,其现值为○
(Ia)n=
−−
a−nvn
δ
2:
有n个计息期,利率为i,在t时刻付款率为f(t),其现值为○
V(0)=
∫
n0
f(t)vtdt
第三章收益率
1、收益率(内部收益率)由V(0)=
∑
n
vtRt=0可求出
t=0
2、收益率的唯一性:
(1)若在0~n期间内存在一时刻t,t之后的期间里现金流向是
一致的,t之前的期内的现金流向也一致,并且这两个流向方向相反,则收益率唯一。
(2)若在0~n-1内各发生现金流的时刻,投资(包括支出及回收,
总称投资)的积累额大于0,则该现金流唯一。
3、再投资收益率:
(1)情形一:
在时刻0投资1单位,t时刻的积累值:
1+isn
(2)情形二:
在标准金中,t时刻的积累值:
n+i(Is)n−1=n+i⋅
sn−nj
4、基金收益率:
A:
期初基金的资本量B:
期末基金的本息和I:
投资期内基金所得收入Ct:
t时刻的现金流(0≤t≤1)C:
在此期间的现金流之和C=∑Ct,
t
(1)i≈
(2)i≈
I
A+Ct(1−t)
t
2I
(现金流在0-1期间内均匀分布)
A+B−I
I
(3)i≈(其中k=∑t⋅(Ct/C))
kA+(1−k)B−(1−k)It
注意:
上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率
5、时间加权收益率
i=(1+i1)(1+i2)⋯(i+im)−1
6、投资组合法:
计算出一个基于整个基金所得的平均收益率,然后根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益
投资年法:
按最初投资时间和投资所持续的时间,以及与各时间相联系的利率,积累值为:
yyy
⎧⎪C(1+i1)(1+i2)⋯(1+ik)......k≤m⎨(m为投资年法的年数,yyyy+m+1y+k
).....(1+i).....k>m⎪⎩C(1+i1)(1+i2)⋯(1+im)(1+i
即若投资时间未满m年,利用投资年法计算收益;若超过部分按投资
组合法计算收益率。
在y年投资第t年收益率记为ity)7、股息贴现模型
(1)每期末支付股息Dt,假定该股票的收益率为r,则它的理论价格为:
p=
∑
∞
n=1
Dn
(1+r)n
D1r−g
(2)每期末支付股息以公比(1+g)呈等比增长,假定该股票的收益率为r,-1
第四章债务偿还
1、分期偿还表(标准年金,贷款额an,年利率i,每期末还款额为
1)
第k期偿还款中的利息部分记为Ik;本金部分为pk
Ik=1−v
n−k+1
pk=v
n−k+1
2、连续偿还的分期偿还表
−
⎧p
⎪Bt=at时刻的余额⎨−−
rt⎪Bt=a(1+i)−S⎩−
⎧I=δBt⎪
t时刻偿还的本金利息⎨−
−
⎪⎩pt=1−I=1−δB
t
3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表
(1)若偿还期计息k次(偿还频率小于计息频率)
(2)若每计息期偿还嗲款m次(偿还频率大于计息频率
4、偿债基金表
第五章
1、债券价格
债券及其定价理论
p:
债券的价格N:
债券的面值C:
债券的赎回值
r:
票利率Nr:
票息额g:
修正票息率g=Nr/C(N=C时,g=r)i:
收益率n:
票息到期支付次数K=Cvn
G:
基础金额G=Nr/it1:
所得税率
(1)所得税后的债券价格:
⎧基本公式:
p=Nr(1−t1)an+Cvn⎪
溢价、折价公式:
p−c=[Nr(1−t1)−Ci]an⎪⎪
⎨基础金额公式:
p=G(1-t1)+[C-G(1-t1)]vn⎪
⎪Makeham公式:
p=K+g(1−t1)(C−K)⎪i⎩
(2)所得税、资本增益税后(当购买价格低于赎回值)的债券价格:
(1−t2)K+(1−t1)(g/i)(C−K)
p=p−t2(c−p)v←⎯→p=
1−t2K/C
'
'
n'
(3)如果债券的购买时间不是付息日,则债券的全价(tp)
NrNrNr+C
tp=+⋯w1+wn−1+w
(1+i)(1+i)(1+i)
2、溢价与折价
本金调整:
溢价摊销或折价积累期次票息利息收入本金调整0g12
⋮
账面值
1+p=1+(g−i)n1+(g−i)an−11+(g−i)an−2⋮
1+(g−i)an−t⋮
1+(g−i)a1gg
⋮
i[1+(g−i)an]i[1+(g−i)an−1]⋮
i[1+(g−i)an−t+1]⋮
i[1+(g−i)a2]
(g−i)vn(g−i)vn−1⋮
(g−i)vn−t+1⋮
(g−i)v2(g−i)v1(g−i)n=p
t
⋮
g
⋮
n-1g
ng合计ng
i[1+(g−i)a1]
1
ng-p
3、票息支付周期内债券的估价
fB债券的平价:
t+k
扣除应计票息后的买价称为市价:
Bt+k
m
公式:
B
f
t+kmfB=B=B+Nrk或t+kt+k-Nrk
m
t+k
⎧
⎪Btf+k=Bt(1+i)k⎪
(1+i)k−1⎪
(1)理论法:
⎨Nrk=Nr
i⎪
k
⎪m(1+i)−1kB=B(1+i)−Nr⎪t+kt⎩i
⎧Btf+k=Bt(1+ki)⎪
(2)实务法:
⎨Nrk=kNr
⎪m
⎩Bt+k=Bt(1+ki)−kNr
⎧Btf+k=Bt(1+i)k⎪
(3)混合法:
⎨Nrk=kNr
⎪mkB=B(1+i)−kNr⎩t+kt
4、收益率的确定由p=C+C(g−i)an
g−
k=
P−C
可导出C
kk
g−
n+1i≈i≈或(=1/2)12n1+k1+k
2n2
⎧i
4、可赎回债券计算收益率时:
⎨
⎩i>g(折价发行):
赎回日尽可能晚
5、系列债券:
系列债券的价格∑pt=
t=1
m
∑
t=1
m
m
gm
Kt+(∑Ct−∑Kt)
it=1t=1
g=Nr/C
其中:
∑Kt:
所有现金流现值之和
t=1
m
Ct:
所有现金流之和∑t=1
m
第二篇利率期限结构
第六章:
利率期限结构理论
(1+yi+j)i+j
1、远期利率:
(1+fi,j)=
(1+yi)
2、Macaulay久期与修正久期:
N
⎧
⎪久期Dmac=∑ti×wti
i=1⎨
⎪修正久期D=D/(1+y)⎩modmac
其中wti=
F:
第i次现金流的现值在现金流总和中所占的比例ti
p(1+y)
wti=1∑i
=1
N
11
3、Macaulay凸度与修正凸度:
∂Dmod⎧
凸度C=mac⎪∂y⎪⎨
1⎪修正凸度C
mod=⎪p⎩
∑
N
i=1
ti(1+ti)Cti
(1+y)ti+2
p−p⎧
有效久期:
D=E⎪2p0∆⎪4、⎨
⎪有效凸度:
C=p++p-−2p0
E2⎪p(∆)0⎩
其中p0、p+、p-表示债券期初价格、收益率在初始收益率基础上增加和减少∆时对应的价格
第七章随机利率模型
rsds)1、t时刻银行账户的价值βt=e∫0
(
tt
rsds)∫0
2、随机折现因子D(t,T)=e
(−
3、连续复利收益率
B(t,T):
T时刻到期的零息债券1单位面值在t时刻的价格R(t,T):
连续复利收益率
R(t,T)(T−t)⎧e(Bt,T)=1⎪⎨-R(t,T)(T−t)B(t,T)=e⎪⎩
4、远期单利Fl(t,T,S)与远期复利Fe(t,T,S),t时刻期限为[T,S]1B(t,T)⎧F(t,T,S)=(−1)l⎪S−TB(t,S)⎪⎨
⎪Fe(t,T,S)=1lnB(t,T)⎪S−TB(t,S)⎩
5、远期瞬时利率f(t,T)=−
∂lnB(t,T)
∂T
T
⎧-∫f(t,u)du
Bt,T)=et
⎪零息债券价格:
(⎨1T⎪连续复利收益率:
(Rt,T)=f(t,u)du∫tT−t⎩
12
6、Ho-Lee模型的应用
短期利率满足:
rt+1=rt+a(t)∆t+随机变量ε在u出现时取+1,在d出现时取-1
7、随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程
⎧drt=u(t,rt)dt+σ(t,rt)dWt⎪
⎛∂B∂B⎞⎨1∂2B2∂BdB=+u(t,r)+σ(t,r)dt+σ(t,rt)dWt⎜tt⎟2⎪2∂r∂t⎝∂t∂t⎠⎩
其中u(t,rt):
漂移项σ(t,rt):
波动项Wt:
标准布朗运动B=B(t,T)=B(t,T,,rt)
8、利率风险市场价格(λt)
用两种不同到期日的零息债券构造无风险资产组合Π然后选择适当的头寸Φ使得Π的风险为零Π=B(t,T1,rt)+ΦB(t,T2,rt)
⎫
m(t,T)−rt⎪
∂B(t,T1,rt)∂B(t,T2,rt)⎬⇒λt=
v(t,T)+Φ=0⎪
∂r∂r⎭
1⎛∂B∂B1∂2B2⎞
其中m(t,T)=⎜+u(t,rt)+σ(t,rt)⎟
B⎝∂t∂t2∂r2⎠1∂B
σ(t,rt)B∂t
9、Vasicek模型及其下的债券定价
v(t,T)=
模型:
drt=α(u-rt)dt+σdWt⋯⋯α、u、σ为正的常数模型的解为:
rt=r0e−αt+u(1−e−αt)+σ∫0e−α(t−u)dWu零息债券的价格:
B(t,T)=ea(τ)−b(τ)rt
1−e−αt
其中:
τ=T−t,b(τ)=
α
λσσ2λσσ2σ2−2ατ
a(τ)=b(τ)(u−−)−(u−−τ+(1−e)3
αα2α2α24α
9、CIR模型及其下的债券定价
模型:
drt=α(u-rt)dt+σt⋯⋯α、u、σ为正的常数该模型下风险的市场价格为:
λ(t,rt)=
t
第三篇金融衍生工具定价理论
第八章金融衍生工具介绍
⎧F=S0ert⎪
1、远期的定价⎨F=S0e(r−q)t...........q:
连续复利率
⎪F=(S−I)ert.......I:
离散红利
0⎩2、t时刻持有远期合约的价值:
(0≤t≤T)
⎧ft=(Ft−F0)e−r(T−t)
⎪−r(T−t)
⎧-(S0−I)ert⎨⎪中间收入I:
ft=Fte
⎪如果有中间收入⎨−r(T−t)(r−q)t
提供红利q:
f=Fe-Se⎪⎩tt0⎩
3、远期利率平价公式
i、i*:
本币和外币的利率(假定借款利率=贷款利率)St:
外币的以本币标价的即期汇率(St本币/外币)
外币远期的价格为F(t,T)F(t,T)1+iT⇒=(一般不超过一年故采用单利)
St1+i*TF(t,T)1+iT>(持有本币所得利息低于外币,持有外币有利)
St1+i*T
4、远期利率协议
(1)结算时金额:
∆=N
|S-F|×T
1+S×T
其中:
S:
目标利率;F:
远期价格,T:
远期期限
(2)远期价格F=ft,t+T
满足:
(1+rtt)(1+ft,t+TT)=[1+rt+T(t+T)]5、期货合约的盈亏:
∆=nN0|Zt+1−Zt|
期货合约保证金账户盈亏代数和为:
N0|St−Z0|无论盈亏都只需交N0Z0
6、利率期货
(1)短期利率期货:
(欧洲美元期货、定价、套期保值、周期3个月)
1若果价格变动一个基点(小数点后第二位变动一个数,如○
94.79→94.80或94.78),则一份合约的买方或卖方将支付25远。
对于本金100万而言,一个季度每个基点的价值为:
100×0.01%×
1
=25()4
1+rT1
r2T2−rT112远期利率f满(1+rT○)(1+0.25f)=(1+rT)⇒f=4×1122
3套期保值原理(N:
被保资产金额D:
保质期限S存款利率变动○
的基点n:
合约的份数)
n=
ND××S90
(2)长期利率期货1国债期货:
○
点数价值:
价格波动一个最小值时,一份合约买卖双方盈亏金额2转换因子:
指如果名义债券平价发行,那么一单位面值的该债○
券的价格。
如:
若名义债券的票息率为半年4%,某实际债券的票息率为半年3%,剩余期限为2年,则付息日的转换因子为:
CF=[
333100+3
+++]/100
(1+4%)(1+4%)2(1+4%)3(1+4%)4
(3)交割债券的选择(最廉价交割债券)
卖方在债券的现货市场上可以以P+A价格买到债券(P:
债券净价,A:
应计利息);在期货交割时卖方将收到买方现金CF×Z+A(Z:
债券期货的价格),同时支付债券。
显然A不影响卖方的成本,卖方的净交割成本为:
P−CF×Z
(4)国债的定价类似于:
F=(S0−I)ert.
例题:
假设某国债期货党的CTD债券的票息率为12%;CF=1.4.假定在270天后交割,债券每半年计息一次;当前时刻距上次付息以过了60天,利息力为r=0.1;债券报价为120;可按如下方法计算期货的价格Z:
解:
(1)债券的全价=净价+应计利息之和(每100元面值的利息)
120+
60
×6=121.978182
−132
0.1365
(2)计算期货的现金价格:
(121.978-6×e125.095−6×
)×e
2700.1365
=125.095
(3)计算以CTD债券为基础资产的期货价格:
148
=120.242183
(4)利用转换因子CF计算国债期货的价格:
Z=
120.242
=85.8871.4
(5)国债期货套期保值原理
基点价值bpv:
收益率变动一个基点所引起的债券价格的变化。
如:
面值为10万美元、期限为3年,票利率为10.75%,若当前市场利率为10%,则该债券的bpv为:
3
[***********]0000
bpv=(∑+)−(+∑t3t3
(1+10%)(1+10.01%)t=1(1+10%)t=1(1+10.01%)
3
7、看涨看跌期权平价公式
ct+Ke−r(T−t)=pt+St
其中ct:
t时刻的看涨期权的价格
看涨期权的执行价格K
pt:
t时刻的看跌期权的价格St:
t时刻的基础资产价格
8、期权价值的影响因素
(1)基础资产价格St:
对看涨期权St越大,价格越高
对看跌期权St越大,价格越低
(2)执行价格K对看涨期权K越大,价格越高
对看跌期权K越大,价格越低
(3)到期期限T:
对美式而言,T越长,价格越高
对欧式而言,不一定
(4)无风险率r:
r越高,价格越高
(5)基础资产价格波动率σs:
σs越大,期权价格越高。
9、期权价格的界
−r(T−t)
⎧≤ct≤St⎪涨权:
St−Ke
(1)欧式期权:
⎨−r(T−t)
-St≤pt≤Ke−r(T−t)⎪⎩权:
Ke
−r(T−t)
⎧≤ct≤St⎪涨权:
St−Ke
(2)美式期权:
⎨
⎪⎩权:
K-
St≤pt≤K
10、
11
、
第九章金融衍生工具定价理论
1、单期二叉树期权定价模型
设目前为0期,期权合约的基础资产(如股票)价格的现行市场价格为S,在下一期股票价格变动只存在两种可能的结果:
或者股票价格上升至Su,或者股票价格下降至Sd,而上升或下降的概率呈二次分布状。
在这里下标号u和d表示变量数值上升或下降为原数值的倍数,即u>1,d
[例8-1]设股票的现价(S)为$100,3月看涨期权的执行价格(K)为
$110。
在U=1.3和d=0.9情况下,期权价值?
解
:
资产目前成本与未来价值
$130×δ-$20=$90×δ(风险中性假定)δ=0.5
股票上涨:
VT=$130×0.5-$20=$45股票下跌:
VT=$90x0.5=$45
根据有效市场的假设,在不冒风险的情况下,人们在金融市场上只能赚得无风险利率。
换言之,资产组合在当前的价值,是其在到期日的价值($45)按无风险利率进行贴现后的现值。
假定无风险利率为10%,而且按连续复利进行贴现,那么:
V0=$45xe-10%x0.25=$43.8943.89=100x0.5-cC=50-43.89=$6.11
18
19
2、N期模型的通用公式
c=e
−rT
n!
jn−jjn−j
[(1−q)max(sud−k,0)]∑j!
(n−j)!
j=o
n!
jn−jjn−j[(1−
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