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高清高等数学公式大全集
高等数学公式
导数公式:
(tgx)
sec2x
(arcsinx)
1
1
x2
(ctgx)
csc2x
(arccosx)
1
(secx)
secxtgx
1
x2
(cscx)
cscxctgx
(arctgx)
1
(ax)
axlna
1x2
1
(arcctgx)
1
(logax)
1
x2
xlna
tgxdx
lncosx
C
dx
sec2xdx
tgxC
ctgxdx
lnsinx
C
cos2x
dx
2
secxdx
lnsecx
tgx
C
sin2x
csc
xdx
ctgx
C
cscxdx
lncscx
ctgx
C
secxtgxdx
secx
C
dx
1
x
cscx
ctgxdx
cscx
C
a2
x2
aarctg
a
C
axdx
ax
C
dx
1
x
a
C
lna
x2
a2
2a
ln
a
x
shxdx
chx
C
dx
1
a
x
C
a2
x2
2a
ln
x
chxdx
shx
C
a
dx
arcsinx
C
dx
ln(x
x2
a2)
C
a2
x2
a
x2
a2
2
sinnxdx
2
cosnxdx
n
1
In
In
2
0
0
n
x
2
a
2
dx
x
x
2
a
2
a2
ln(x
x
2
a
2
)
C
2
2
x2
a2dx
x
x2
a2
a2lnx
x2
a2
C
2
2
a2
x2dx
x
a2
x2
a2
arcsinx
C
2
2
a
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
2u
1
u2
x
,dx
2du
sinx
2
,cosx
u
2,
utg
1u
2
1u
1
2
一些初等函数:
双曲正弦
:
shx
ex
ex
2
双曲余弦
:
chx
ex
ex
2
双曲正切
:
thx
shx
ex
e
chx
ex
e
arshx
ln(x
x
2
)
1
archx
ln(x
x2
1)
arthx
1ln1
x
2
1
x
两个重要极限:
limsinx
1
x0
x
lim(1
1
)x
e
x
x
x
三角函数公式:
·引诱公式:
函数
角A
sincos
tg
ctg
-α
-sinαcosα-tgα-ctgα
90°-α
cosαsinαctgα
tgα
90°+α
cosα-sinα-ctgα-tgα
180
°-α
sinα-cosα-tgα-ctgα
180
°+α
-sinα-cosα
tgαctgα
270
°-α
-cosα-sinαctgα
tgα
270
°+α
-cosαsinα-ctgα-tgα
360
°-α
-sinαcosα-tgα-ctgα
360°+αsinαcosαtgαctgα
sin(
)
sin
cos
cos
sin
sin
sin
2sin
cos
cos(
)
cos
cos
sin
sin
2
2
tg(
)
tg
tg
sin
sin
2cos
sin
1tg
tg
2
2
cos
cos
2cos
cos
ctg
ctg
1
ctg(
)
2
2
ctg
ctg
cos
cos
2sin
sin
2
2
·和差角公式:
·和差化积公式:
·倍角公式:
sin2
2sin
cos
cos2
2cos2
1
1
2sin2
cos2
sin2
sin3
3sin
4sin3
ctg2
ctg2
1
cos3
4cos3
3cos
2ctg
3tg
tg3
tg3
2tg
13tg2
tg2
1
tg2
·半角公式:
sin
1
cos
cos
1
cos
2
2
2
2
tg
1
cos
1
cos
sin
ctg
1
cos
1
cos
sin
1
cos
sin
1
cos
1
cos
sin
1
cos
2
2
·正弦定理:
a
b
c
2R
sinA
sinB
sinC
·余弦定理:
c2
a2
b2
2abcosC
·反三角函数性质:
arcsinx
arccosx
arctgx
arcctgx
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹(
Leibniz)公式:
n
(uv)(n)
Cnku(nk)v(k)
k0
u(n)v
nu(n1)v
n(n1)u(n2)v
n(n1)
(nk1)u(nk)v(k)
uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)
柯西中值定理:
f(b)f(a)f()(ba)
f(a)f()
F(a)F()
当F(x)x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率:
弧微分公式:
ds
1
y2dx,此中ytg
均匀曲率:
K
s
.
:
从M点到M点,切线斜率的倾角变
化量;
s:
MM弧长。
M点的曲率:
K
lim
d
y
.
s
ds
2
3
s0
(1
y
)
直线:
K
0;
半径为a的圆:
K
1.
a
定积分的近似计算:
b
b
a(y0
矩形法:
f(x)
y1
yn1)
a
n
b
b
a[1(y
梯形法:
f(x)
0
yn)
y1
yn
1]
a
n
2
b
b
a
抛物线法:
f(x)
yn)
2(y2
y4
yn2)
4(y1y3
yn1)]
[(y0
a
3n
定积分应用有关公式:
功:
W
Fs
水压力:
F
pA
m1m2
引力:
F
k
r2
k为引力系数
1
b
函数的均匀值:
y
f(x)dx
b
aa
1
b
均方根:
f2(t)dt
baa
空间分析几何和向量代数:
空间2点的距离:
d
M1M2
(x2
x1)2
(y2
y1)2
(z2
z1)2
向量在轴上的投影:
PrjuAB
AB
cos,
是AB与u轴的夹角。
Prju(a1
a2)Prja1
Prja2
aba
bcos
axbx
ayby
azbz,是一个数目,
两向量之间的夹角:
cos
axbx
ayby
azbz
ax2
ay2
az2
bx2
by2
bz2
i
j
k
cab
ax
ay
az,c
a
bsin
.例:
线速度:
v
w
r.
bx
by
bz
ax
ay
az
向量的混淆积:
[abc]
(a
b)
c
bx
by
bz
a
b
ccos,为锐角时,
cx
cy
cz
代表平行六面体的体积
。
平面的方程:
1、点法式:
A(x
x0)
B(y
y0)
C(zz0)0,此中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)
2、一般方程:
Ax
By
Cz
D
0
3、截距世方程:
x
y
z
1
a
b
c
平面外随意一点到该平
空间直线的方程:
xx0
m
二次曲面:
面的距离:
dAx0By0
A2
B2
yy0
zz0
t,此中s
n
p
Cz0D
C2
x
x0
mt
{m,n,p};参数方程:
y
y0
nt
z
z0
pt
22
1、椭球面:
xya2b2
22
2、抛物面:
xy
2p2q
3、双曲面:
22
单叶双曲面:
xya2b2
22
双叶双曲面:
xya2b2
z2
c21
z(,p,q同号)
z2
c21
z2
c2(1马鞍面)
多元函数微分法及应用
全微分:
dz
zdx
zdy
du
udx
udy
udz
x
y
x
y
z
全微分的近似计算:
zdzfx(x,y)
x
fy(x,y)
y
多元复合函数的求导法
:
z
f[u(t),v(t)]
dz
z
u
z
v
dt
u
t
v
t
z
f[u(x,y),v(x,y)]
z
z
u
z
v
x
u
x
v
x
当
u
,
v(x,y)
时,
u(x,y)v
du
udx
udy
dv
vdx
vdy
x
y
x
y
隐函数的求导公式:
隐函数
F(x,y)
,
dy
Fx,
d
2y
Fx
+
Fx
dy
0
dx
Fy
dx2
(
)
(
)
xFy
yFy
dx
隐函数
,z
Fx,
z
Fy
F(x,y,z)0
x
Fz
y
Fz
F(x,y,u,v)
0
(F,G)
F
F
Fu
Fv
隐函数方程组:
J
u
v
G(x,y,u,v)
0
(u,v)
G
G
Gu
Gv
u
v
u
1
(F,G)
v
1
(F,G)
x
J
(x,v)
x
J
(u,x)
u
1
(F,G)
v
1
(F,G)
y
J
(y,v)
y
J
(u,y)
微分法在几何上的应用:
x
(t)
z0)处的切线方程:
xx0
yy0
zz0
空间曲线y
(t)在点M(x0,y0
z
(t)
(t0)
(t0)
(t0)
在点M处的法平面方程:
(t0)(xx0)
(t0)(y
y0)
(t0)(z
z0)
F(x,y,z)0
Fy
FzFz
Fx
Fx
若空间曲线方程为:
则切向量T{
Gy
G(x,y,z)0
GzGz
GxGx
曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0),则:
1、过此点的法向量:
n
{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
2、过此点的切平面方程
:
Fx(x0,y0,z0)(x
x0)
Fy(x0,y0,z0)(y
y0)
3、过此点的法线方程:
xx0
yy0
z
z0
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)
Fz(x0,y0,z0)
0
Fy
}
Gy
Fz(x0,y0,z0)(zz0)0
方导游数与梯度:
函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方导游数为:
f
f
cos
fsin
l
x
y
此中为轴到方向
的转角。
x
l
函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)
f
f
j
x
i
y
它与方导游数的关系是:
f
,此中
e
cos
i
sinj
,为
方向上的
gradf(x,y)e
l
l
单位向量。
是gradf(x,y)在l上的投影。
l
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)
fy(x0,y0)
0,令:
fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C
AC
B
2
0时,
A0,(x0,y0)为极大值
A0,(x0,y0)为极小值
则:
AC
B2
0时,
无极值
AC
B2
0时,
不确立
重积分及其应用:
f(x,y)dxdy
f(rcos
rsin
)rdrd
D
D
2
2
曲面zf(x,y)的面积A
1
z
z
dxdy
D
x
y
Mx
x
(x,y)d
My
y(x,y)d
平面薄片的重心:
D
y
D
x
M
(x,y)d
M
(x,y)d
D
D
平面薄片的转动惯量:
关于x轴Ixy2
(x,y)d
关于y轴Iy
x2
(x,y)d
D
D
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M
(0,0,a),(a
0)的引力:
F
{Fx,Fy,Fz},此中:
(x,y)xd
Fy
f
(x,y)yd
Fz
fa
(x,y)xd
Fxf
3
,
3
,
3
D(x2
y2
a2)2
D(x2
y2
a2)2
D(x2
y2
a2)2
柱面坐标和球面坐标:
x
rcos
柱面坐标:
y
rsin,
f(x,y,z)dxdydz
F(r,
z)rdrd
dz,
z
z
此中:
F(r,,z)f(rcos,rsin
rsincos
球面坐标:
yrsinsin,
zrcos
z)
dvrdrsinddrr2sindrdd
2r(,)
f(x,y,z)dxdydz
F(r,
)r2sin
drd
d
d
d
F(r,
)r2sin
dr
0
0
0
1
xdv,
y
1
y
dv,
z
1
zdv,
此中M
x
dv
重心:
x
M
M
M
转动惯量:
Ix
(y2
z2)
dv,
Iy
(x2
z2)
dv,
Iz
(x2
y2)
dv
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧
长的曲线积分):
设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:
x
(t),
(
t
),则:
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