自动控制原理孟华第3章习题解答.docx
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自动控制原理孟华第3章习题解答
自动控制原理(孟华)第3章习题解答
自动控制原理(孟华)的习题答案。
3.1.已知系统的单位阶跃响应为
c(t)10.2e60t1.2e10t
试求:
(1)系统的闭环传递函数Φ(s)=?
(2)阻尼比ζ=?
无自然振荡频率ωn=?
解:
(1)由c(t)得系统的单位脉冲响应为g(t)12e60t12e10t
(t0)
(s)L[g(t)]12
__
122s10s60s70s600
2
n
(2)与标准(s)2对比得:
2
s2nn
n60024.5,
702600
1.429
3.2.设图3.36(a)所示系统的单位阶跃响应如图3.36(b)所示。
试确定系统参数K1,K2和a。
(a)(b)
图3.36习题3.2图
解:
系统的传递函数为
K1
2nK1K2s(sa)
W(s)K22K22
K1sasK1s2nn
1
s(sa)
又由图可知:
超调量Mp
431
33
峰值时间tp0.1s
自动控制原理(孟华)的习题答案。
代入得
2
nK1121
e
3
0.12nKK2
解得:
ln3
2;0.33,n
102
2
33.3,K1n1108.89,
a2n20.3333.321.98,K2K3。
3.3.给定典型二阶系统的设计性能指标:
超调量p5%,调节时间ts3s,峰值时间tp1s,试确定系统极点配置的区域,以获得预期的响应特性。
解:
设该二阶系统的开环传递函数为
2
n
Gs
ss2n2
0.05pe
3
3则满足上述设计性能指标:
tsn
t1p2
n
得:
0.69,n1n
2
由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示:
自动控制原理(孟华)的习题答案。
3.4.设一系统如图3.37所示。
(a)求闭环传递函数C(s)/R(s),并在S平面上画出零极点分布图;(b)当r(t)为单位阶跃函数时,求c(t)并做出c(t)与t的关系曲线。
图3.37习题3.4图
解:
(a)系统框图化简之后有
C(s)2s
2R(s)s0.5s2.25
2s
(s
35j)(sj)22
z12,s1,2
零极点分布图如下:
35j2
自动控制原理(孟华)的习题答案。
(b)若rt为单位阶跃函数,Lrt
1
,则s235)4
1s2
354
1C(s)
s
2s
(sj)(sj)
22
s(s2
35
88s1818s2
35s__s222
35(s2)s2s()s()
4422
c(t)
882costsint__-__
大致曲线图略。
3.5.已知二阶系统的闭环传递函数为
2nC(s)
2
R(s)s22nsn
分别在下述参数下确定闭环极点的位置,求系统的单位阶跃响应和调整时间。
(1)=2,n=5s1;
(2)1.2,n=5s1;
(3)说明当≥1.5时,可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。
解:
(1)(=2)1,闭环极点s1,2nn1105
2
W(s)
C(s)25
2
R(s)s20s25
C(s)W(s)R(s)
251
2
s20s25s
T1
1
n(21)
tT1
11
T2
5
(2)5
(2)
eee5(23)te5(23)t
c(t)11
T211T12164364t
T2
自动控制原理(孟华)的习题答案。
s11.34,s218.66|s2/s1|13.95
e5(23)t
c(t)111.07735e1.34t
643
ts2.29s
(2)(=1.2)1,闭环极点s1,2nn1650.44
2
W(s)
C(s)25
2
R(s)s20s25
T1
tT1
11
T2
5(1.20.44)5(1.20.44)
t
T2
eee5(1.20.44)te5(1.20.44)t
c(t)11
T211T1211.20.441.20.44
11
1.20.441.20.44
s1650.442.68,s29.32
ts
1
(6.451.7)(6.451.21.7)1.2sn5
2
1
(3)答:
1.5时,s1,2nn17.55.25。
s11.91,
s213.09,|s2/s1|6.855,两个闭环极点的绝对值相差5倍以上,离原点较远的极点
对应的暂态分量初值小、衰减快(是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的5倍以上),因
此可以忽略掉。
2n
3.6.设控制系统闭环传递函数为G(s)2,试在S平面上绘出满足下列各2
s2nsn
要求的系统特征方程式根可能位于的区域:
(1)1≥0.707,n≥2
(2)0.5≥0,4≥n≥2
自动控制原理(孟华)的习题答案。
(3)0.707≥0.5,n≤2
3.7.一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压,保持励磁电流不变,
图3.38习题3.7图
1200r/min的稳态转速,而达到该值50%的时间为1.2s,试求电机传递函数。
提示:
注意
(s)K
=,其中(t)d,单位是rad/s
dtV(s)sa(s)K
=可得V(s)sa
解:
由式
(s)
__V(s)sasasa
11
s(s1)a
10K11
()assa
10Kat
(t)(1e)0(1eT)
a
t
(1.2)0(1e1.2a)0.50(1e1.2a)0.5
a
ln2
0.581.2
10K
01200rmin20r/sak
a00.5820
1.161010
电机传递函数为:
G(s)
(s)K1.16V(s)s(sa)s(s0.58)
自动控制原理(孟华)的习题答案。
3.8.系统的特征方程式如下,要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性,并确定在右半s平面其根的个数及纯虚根。
(1)s3s3s2s20
(2)0.02s30.3s2s200
(3)s52s42s344s211s100(4)0.1s41.25s32.6s226s250答案:
(1)劳斯表如下:
4
3
2
s4s3s2s1s0
__
272
劳斯表第一列元素的符号变化两次,系统有两个正实部根,系统不稳定
(2)劳斯表如下:
s3s2s1s0
0.0210.320
320
劳斯表第一列元素的符号变化两次,系统有两个正实部根,系统不稳定(3)劳斯表如下:
s5s4s3s
2
12__
2610
11
4410
s1s0
劳斯表第一列元素的符号变化两次,系统有两个正实部根,系统不稳定(4)劳斯表如下:
自动控制原理(孟华)的习题答案。
s4s3s2s1s0
0.12.6251.__.52
25
劳斯表第一列元素符号没有变化,所以系统有两个正根,系统稳定
3.9.有一控制系统如图3.39所示,其中控制对象的传递函数是
1
G(s)
s(0.1s1)(0.2s1)采用比例控制器,比例增益为Kp,试利用劳斯判据确定Kp值的范围。
图3.39习题3.9图
解:
G(s)
Kp
s(0.1s1)(0.2s1)
3
2
特征方程为:
D(s)0.002s0.3ssKp0劳斯表如下:
s3s2ss
10
0.0020.3
0.30.002Kp
0.3Kp
1Kp
0.30.002Kp0
要使系统稳定只需,解得0Kp150。
0.3
Kp0
3.10.某控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)
K(s1)
s(Ts1)(2s1)
试确定能使闭环系统稳定的参数K、T的取值范围。
解:
由系统开环传函可知
自动控制原理(孟华)的习题答案。
D(s)s(Ts1)(2s1)K(s1)2Ts(2T)s(K1)sK0
劳斯表如下:
3
2
s3s2s1s0
2T2T
2K(1K)T2
2TK
K1K
由劳斯准则可知,欲使系统稳定,则第一列元素符号不能改变。
若第一列元素均大于0,即
T0
2T0
2K(1K)T20K0
解得
K0,2(K1)(K1)T
当K1时0T
2(K1)
,当0K1时,T0。
K1
3.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为K*(s1)
(1)G(s)
s(s1)(s5)K*
(2)G(s)
s(s1)(s5)
试确定使闭环系统稳定的开环增益K的取值范围(注意K≠K*ぃ解:
(1)D(s)0.2s0.8s(K1)sK0
3
2
s3
劳斯表如下:
0.20.83K44K
K1K0
s2s
1
s0
自动控制原理(孟华)的习题答案。
解得:
使闭环系统稳定的开环增益K的取值范围K
(2)D(s)0.2s30.8s2sK0
4。
3
由于特征方程出现小于零的系数,可知无论开环增益K取何值闭环系统都不稳定。
3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为
K
G(s)
s(1s/3)(1s/6)若要求闭环特征方程的根的实部均小于-1,问K值应取在什么范围?
如果要求实部均小于2,情况又如何?
解:
由反馈系统的开环传函
G(s)
K18K
ss
s
(1)
(1)s(s3)(s6)
36
D(s)s39s218s18K0
(1)令sz1,得:
劳斯表如下:
D(z)(z1)39(z1)218(z1)18Kz6z3z18K100
3
2
z3z2z1z0
13
618K10
2818K
618K10
欲使系统稳定,则第一列元素符号不能改变,大于零:
2818K0514
得K
9918K100
(2)令sz2,得:
D(z)(z2)39(z2)218(z2)18Kz3z6z18K80
3
2
如果要求实部均小于2,由特征方程可见,a260,系统稳定的必要条件不成立,无论K取何值,系统都不稳定。
3.13.单位反馈系统的开环传递函数为G(s)
4s(s22s2)
自动控制原理(孟华)的习题答案。
(1)求系统的单位阶跃响应;
(2)输入信号为r(t)=1(t),求系统的误差函数e(t);(缺答案)(3)能否求系统的稳态误差,为什么?
解:
(1)开环传递函数G(s)
4
s(s22s2)
闭环传递函数W(s)单位阶跃响应
44
22
s(s2s2)4(s2)(s2)
C(s)
K2sK3K141K0
ss2(s22)(s2)ss22
1
K01,K1
32
K2K3
3
112s__s22
C(s)222
ss23s2s3s23s23s2
122
c(t)1e2tcos2tsin2t
333
(3)不考虑扰动作用
r(t)1(t)
G(s)
2
2
s(0.5ss1)
KplimG(s)
s0
essr
11
01Kp1
3.14.某控制系统的结构图如图3.40所示。
(1)当a=0时,试确定系统的阻尼比ζ,无阻尼自然振荡频率ωnn和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。
自动控制原理(孟华)的习题答案。
(2)当系统具有最佳阻尼比(ζ=0.707)时,确定系统中的a值和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。
(3)若要保证系统具有最佳阻尼比(ζ=0.707),且稳态误差等于0.25时,确定系统中的a值及前向通道的放大系数应为多少?
解:
(1)当a=0时,G(s)
图3.40习题3.14图
8821
,W(s)2,n,
s2s8s(s2)2nKvlimsG(s)4,单位斜坡信号作用时系统的稳态误差essr
s0
1
0.25。
Kv
(2)当ζ=0.707时,G(s)
88
,W(s)2,n,
s(s28a)s(28a)s8
2n2
28
,KvlimsG(s)2,428a,得a0.25,G(s)
s0s(s4)2
1
0.5。
Kv
单位斜坡信号作用时系统的稳态误差essr
(3)此时G(s)
KK
,W(s)2
s(s2Ka)s(2Ka)sK
KvlimsG(s)
s0
K
4
2Ka
2n2
联立上两式解得
2
K2Ka2
3。
16
K32,a
3.15.已知单位反馈系统闭环传递函数为
b1sb0C(s)
4R(s)s1.25s35.1s22.6s10
(1)求单位斜坡输入时,使稳态误差为零,参数b0,b1应满足的条件;
(2)在
(1)求得的参数b0,b1下,求单位抛物线输入时,系统的稳态误差。
解:
(1)等效单位负反馈开环传递函数
自动控制原理(孟华)的习题答案。
G(s)
b1sb0
432
s1.25s5.1s(2.6b1)s10b0
根据单位斜坡输入时,稳态误差为0得:
b0102.6s10
即开环传递函数为G(s)22
b2.6s(s1.25s5.1)1
(2)单位抛物线输入时
s2(2.6s10)10
KalimsG(s)lim22
s0s0s(s1.25s5.1)5.1
2
e
ssr
C5.1
Ka10
3.16.系统结构图如图3.41所示。
(1)当r(t)=t,n(t)=t时,试求系统总稳态误差
(2)当r(t)=1(t),n(t)=0时,试求p,tp。
图3.41习题3.16图
解:
(1)
参考作用下的误差传递函数为
N(s)0,Er(s)
1
R(s)
1G(s)
141
s(2s1)
R(s)
稳态误差为
essr
或
2s2s1
limsEr(s)lims220.25s0s02ss4s
KvlimsG(s)lims
s0
s0
4
4
s(2s1)
essr
10.25Kv
扰动作用下的误差传递函数为
自动控制原理(孟华)的习题答案。
R(s)0,En(s)
1
N(s)
1G(s)
11
s(2s1)
N(s)
稳态误差为
essn
2s2s1
limsEn(s)lims
(2)20.25s0s02ss4s
系统总误差为
essessressn0
(2)当r(t)=1(t),n(t)=0时,G(s)
4,
s(2s1)
n2G(s)42
W(s)222
2
1G(S)2ss4s0.5s2s2nsn
n2
解得:
1
42
1
2
pe
tp
100%e
31
n2
2
1
32
4
31
3.17.设单位反馈控制系统的开环传递函数为
100
おG(s)お
s(0.1s1)
试求当输入信号r(t)=12tt2时,系统的稳态误差。
解:
系统为I型系统
KvlimsG(s)lims
s0
s0
100
100,Kp,Ka0
s(0.1s1)
自动控制原理(孟华)的习题答案。
ess
ABC
00.02
1KpKvKa
3.18.在许多化学过程中,反应槽内的温度要保持恒定,图3.42(a)、(b)分别为开环和闭环温度控制系统结构图,两种系统正常的K值为1。
(a)(b)
图3.42习题3.18图
(1)若r(t)1(t),n(t)0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2%各需多长时间?
(2)当有阶跃扰动n(t)0.1时,求扰动对两种系统的温度的影响。
解:
(1)
1
Rs
10s1
达到稳态温度值的62.3%需时T10
1
Rs闭环:
Cs
0.1s1
达到稳态温度值的62.3%需时T0.1
开环:
Cs
(2)
1
Ns
10s1
1
Ns闭环:
Cs
10s100
开环:
Cs
各项指标不变。
又解:
can(t)=0.1,加干扰后对系统始终有影响;
cbn(t)=0.1e-10t,加干扰后,当t趋于无穷时,对系统没有影响。
结论:
反馈结构可以消除干扰的影响。
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