南宁市普通高中届高三摸底测试理科数学含答案解析.docx
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南宁市普通高中届高三摸底测试理科数学含答案解析
绝密★启用前
2021届南宁市普通高屮毕业班摸底测试
理科数学
(考试时间:
120分钟满分:
150分)
注意事项:
1.本试卷分第t卷(选择题)和第n卷(非选择題)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小題答案后,用铅笔把签题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|-l A.4个B.3个C.2个D.1个 2•复数吿的虚部是 3.已知a"均为单位向量,它们的夹角为120°,c=M—若a丄c,则下列结论正确的是 A.2入+〃=OB.2A—“=0 C.入一“=0D.卄“=0 4.设直线忑=4与抛物线C: y=2Ar(p>0)交于D,E两点,若OD丄OE(O为坐标原点)•则C的焦点坐标为 A.(+,0)B(*,0)C.(l,0)D.(2,0) 5.—组数IE的平均数为加,方差为",将这组数据的毎个数都乘以«(«>0)得到一组新数据•则下列说法正确的是 A.这组新数据的平均数为m B.这组新数据的平均数为a+加 C.这组新数据的方差为an D.这组新数据的标准差为a店 6.在AABC中,角A,B,C的对边为a"心若a=4』=5,c=6,则辱孕= Sillk-z A-1 D.1 7. 如图•网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为 A.4+4屈 B.2+672 C.3+3^2 D.8 8.已知(0,Q,cos(a+$)=*,则sina的值为 A"土3r4用_3 凡10-10 D•牛 9•射线测厚技术原理公式为Z=70e-^SKi|-厲」分別为射线穿过被测物前后的强度,e是自然对数的底数,为被测物厚度屮为被测物的密度屮是被测物对射线的吸收系数.丁业上通常用锵241(2tlAm)低能y射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8(单位: cm),钢的密度为7.6(单位: g/cm3),则这种射线的吸收系数为 (注: 半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,In2=0.6931,结果粘确到0.001) A.0.110B.O.112C.0.114D.O.116 10.已知过定点A(0,6)(6>0)的直线2与圆O: F+y=l相切时,与,轴夹角为45°,则宜线/的方程为 A.jt—y+屈=0B.工+夕一1=0 C.x-\~y—j2=Q或、y+"2=0D.広十』—1=0或x~y十1=0 11.已知双曲线C的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,设双曲线C的左焦点为F,右顶点为B,点P为C上一点,且PF丄工轴,若|PF|=2|BF|,则双曲线C的离心率为 A.3B.2C号D•号 12.已知函数/•(/)=¥+*〃一工,若o=/(203)』=/ (2),c=f(log25)』i]a,b,c的大小关系为 A.c 第II卷 本卷包括必考题和选琴题两部分.第13〜21题为必考题•每个试题考生都必须作答•第22.23题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题: 本大题共4小题•每小题5分,共20分. 徉匸+耳一3=0, 13.设工*满足约束条件2工一3y+3$0,则尤=2工+y的最小值是・ [y+3$0 14.若Q十2)'=: r'+a疋十加^+^^+“力十“则ad-b+c+d+e的值为・ 15.已知球在底面半径为1、高为2©的圆锥内,则该圆锥内半径报大的球的体积为. 16.已知函数y(x)=sinx~\~2x—•若/(l—3a)+2a+3)冬0・则实数a的取 o»Z* 值范禺是・ 三、解答题: 本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 设数列{“}满足心=1,d”+i=2a“一(2打一3). (I)计算如心,猜想仏”}的通项公式并利用数学归纳法加以证明; (U)记九=2”•5,求数列仏}的前w项和S, 18. 频率 (本小题满分12分) 某地区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽取了“名学生进行调査•将调査得到的学生日均课余读书时间分成[0,10)・[10.20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]六组,绘制成如图所示的频率分布克方图•将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”,日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”.已知抽取的样本屮口均课余读书时间低于10分钟的有10人・ (I)求”和”的值; (II)根据已知条件和下而表中两个数据完成下而的2X2列联表,并判断是否有95%以上 的把握认为“读书之星”与性别有关? 非读书之星 读书之星 总计 男 女 10 55 总计 (III)将木次训查所得到冇关事件发生的频率视为梵发生的概率J: 见从该地区大址学生中•随机抽取20名学生参加读书与文学素养的研讨会,记被抽取的J卖书之星"人数为随机变最X•求X的数学期望E(X>. 附sK'=(a+")(c+d)(a+CG+d)'其中 P(KS。 ) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19・(本小题满分12分) 如图,在直三棱柱ABC-A山G中,点E、F在侧棱上,且"E=2EE,GF=2FC,点D、G在側棱AB、AC上,且BD=2DA,CG=2GA. (I)证明: 点G在平面EFD内; (11)若ZBAC=9O°,AB=AC=1,AA1=2,求二面角A-AB,一C.的余弦值. 20.(本小题满分12分) 已知椭圆C: 若+话=1(«>/;>0)的左、右焦点分别为F,、R,椭圆的离心率为曹,若M是椭圆上的一个点,且|MFj+|MFz|=4旋. (I)求椭圆C的标准方程; (II)已知点P(2,y。 )是椭圆(: 上位于第一象限内一点,直线I平行于OP(O为原点)交椭圆C于A、B两点,点D是线段AB上(异于端点)的一点,延丘PD至点Q,使得3PD=反,求四边形PAQB面积的最大值. 21.(本小题满分12分) 已知函数/(刃=4(工一2记+(工一1)2,(°工0,“€1{). (I)当a=T时,求函数/Cr)的单调区间; (II)若心>0,证明: 函数3,=/匕)有两个不同的零点. 请考生在第22.23两题中任选一题作答.注意: 只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22.(本小题满分10分〉选修4-4: 坐标系与参数方程: 匕=—1+2cosa 在玄角坐标系.rQy中,曲线G的参数方程为H厂’C.(a为参数),曲线G与坐标ly=—J3+2sma 轴交于(异于坐标原点O)两点m,n. (I)求线段MN的长度; (II)以坐标原点O为极点m轴的正半轴为极轴建立极坐标系,己知点M,N关于直线/对称,求宜线/的极坐标方程. 23.(本小题满分10分〉选修4一5: 不等式选讲: 已知函数/(x)=12工一11+12x+a|,g(x)=乂+3・ (I)当a=-2时,求不等式fCxXgM的解集; (II)设“〉一1,且当疋|—y*y)时,/(工XpQ),求々的取值范国・ 2021届南宁市普通高中毕业班摸底测试 理科数学参考答案 一、选择題 2.D【解析】岂=厝船葺=宁=卡+今i,故选D. 3.A【解析】因为a丄c,所以a•c=a•伽一/方)=0,可得卄专=0,即2卄“=0.故选2 4・(: 【解析】曲对称性可知: JU)的坐标为(4川)戎(4.一4)・代入抛物线y=2p.r,解得p=2.所以犯物线方程 为: y=4^<它的假点坐标为(1<0)>故选C 6.D【解析】・・•瞬=警罟亠沦“諾•鶴磐=专•护 1•故选D. 7.A【解析】由已知中的三视图可得: 此校锥ABCD的克现图如下图所示: △ABD和△CED都是直角边为2和2©的点角三角形.A/WC和△ADC均是边长为2的等腰直角三角形•所以其表面积为S=2X*X2X2血+2X* X2? =4+4挖•故选A. &B【解析】因为aW(0,兀),cos(a+青)=g•■得血6+卡)=*,所以 sina=sin((卡+a)--)=sin(卡+a)cos~~—cos(卡+a)sin卡=令X 73__3 25 xl 由已知可得IPF|=—JBF|=a+c< 9.C【解析】由题总可得・*=1><「35,・・・一hi2=-7・6XO・8/“ 即6.08^=0.6931■則“心0・114.•••这种射线的吸收系数为0.114.故选C 10.C【解析】设立线/的方程为y=kr+b.切点为匕曲题设可知•ZPAO=ZR>1=45°,所以6=^2•因为克 线/与圆才+"=1相切•所以-^===1,得Xr=±l・ 故直线/的方程为,=士#+施,故选C. 11.A【解析】如下图: 设双曲线C的半实轴.半皮轴、半焦距分别为 •冷=2(卄八即加+2级—,化简得e2-2e-3=0.得亡=3■故选代 12.B【解析】由/(小 山;=2+/-1=“一1〉($+1),所以函数/Q)在(l・+oo〉上单调递璟因为1<2^<2・】0也5>1阴? 4=2・所以2°・彳<2 (2)(lo©5〉•即a 二、填空题 2.r+3y—3=0 13.-15【解析】根協约束条件扌2,r-3y+3>0画出可行域(图中阴够部分)•作y+3^0 直线人2工+y=0,平移直线人将直线平移到点A处二最小•点人的坐标为(—6.—3).将点八的坐标代到目标函数z=可得茫=—15.即细门= —15・ 14.242【解析】令工=1代入可得p+&+c+d+«=(l+22—15=3'—l=242・ 15•晋兀【解析】易知半径晟大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴裁而如图所示,点M为EC边上的中点•由題设BC=2.AM=2^29.求得AB=AC=39设内切圆的圆心为O. 故SA.A/r=yX2X2/2=2/2,设内切同半径为厂则: Sg・=S△“+Ssc+Sy,・=*X7U3X厂十*XBCX厂+*XACXr=yX(3+34-2)Xr=2>/2•解得汀=给其体积: V=y^=y16・[1,4]【解析】由/(—Q=sin(—H〉+2〈一Q—(±)=—sin 函4t/C.r)为奇函数./(,r)=cos.r+2+4>0在(一8.0)U(0,十8)上恒成立•所以心〉在(O.+oo)上为增函数. 曲f(1—3u)+f(d: —2°+3)冬0得/(a'—2a+3f(1—3d)■ 即/( 三、解答题 17•【解析】(I〉山题意可得©=2山十1=2+1=3心=2血一1=6—1=5・ 由数列{久}的前三项可猜想数列bd是以1为首项・2为公差的等差数列. 即心=2〃一1,(2分) 证明如下• 当”=1时tai=2X1—1=1成立$ 假设n=k时•色=2«—1成立. 那么n=k+1吋山卄1=2彳一(26—3)=2(2力一1)一(2«—3〉=2/: 十1=2伙+1)—1也成立. 则对任窓的/i€N-,都有an=2n-l成立;(6分〉 (II)因为几=(2”一1)2“・ AS.=1X2+3X22+5X23HF(2w~l)X2%0 2S4f=lX22+3X2s+5X24+-+(2M-l)X2-+S② ①一②得: 一S用=2+2X22+2X2'+2X2'+…十2X2”一(2〃一1)X2+ =2+$#三2匸2一(2〃一1〉X2小=一6—(2〃一3)X2卄I •••5,=(2兀一3〉><2卄】+6. (12分〉 18.【瀚】(I)(0.005+p+0・018+0.020+0.022+0.025)X10=1,解得: p=0.01, 所洪打=君=100. (3分〉 (II)因为n=100>所以“读书之星”有100X0.25=25. 从而2X2列联表如下图所示, 非读书之星 读书之星 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将2X2列联表中的数据代入公式计毎得 因为3.030<3.841•所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关. (8分〉 (皿)務硕率视为概率■即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星'的概率为*• 由题总可知X〜B(20,*),所以E(X)=20Xy=5<人). (12分〉 19.【解析”I)证明: 连接DG.FG.因为点E、F在側棱BBtg上•且B,E=2EB,ClF=2FC. 又BB//CG且BBi=CG・所以EB//FC且EB=FC・ 所以四边形BCFE为平行四边形■所以EF//BC. 又因为点D.G在侧枝ABSC上.且BD=2DA.CG=2GA,所叹GD//BG且GD=^BC. 所以EF//GD且GD=yEF,故四边形DEFG为梯形• 即D、E、F、G四点共面,所以点G在平面EFD内.(6分) (U)由题设知人Bx4G.A】A两两垂立•以AiCi为工轴为,轴.AiBi为z轴•建立空间jt角坐标系Ai—巧N. 由AB=AC=l.AAl=2■得Ai(0.0.0)■A(0.2.0),B(0,0.1)・G <100入 设乂面ABiG的法向童为因为AG= =<1,0,-1). n•AQ=x—2^=0 >•取y=l・则*=z=2・所以n=<2tL2).n•BiCt=x—z=0 所以 又m=(1闪,0〉是平面AA;B)的一个法向量,所以cox 9 (12分) 印二面角A,-ABi-Ci的余孩值为手 20.【解析】(I)由椭圆的定义及|MF.|+|MF21=4吃•得2°=4©•即a=2^2・ 设椭圆半焦距为“为£=哼.所以尸哼么=届a2Z lr=(r-r=2. 所以确圆C的标准方程为专+备=】•(5分) (II)由(I)得P(2,l〉.所以阳=*■设A5』)旧(・护2化)•立线I的方程,=*才+”厲0)・ 1 联立〈°消去y整理可得2疋+4々+4卢一8=0. =+工=] I8十21 由△=16/—4•2•(4”一8)>0.又则0<^<4»且x\+文2=—2/“】工2=2产一4.(7分) 所以弦长|/\B|=Q1+*x/(*+才2)'—in卫=用/l—尸♦ P到JL线AB的距离为d•则d=上I,=岁>(9分) 吁L 设Q到克线的距离为d\d73PD=DQ^3|PD|=|1JQ|,所以/=3d. 所以Saqib=*/丨ABI=y•3dIAB\=3S^pab• 所以®g=SHM+Sg,“=4SaM=2dMB|=2•马』-75/4=7=4/- 当且仅当l2=2时取等号•所以四边形PAQH面积的说大值为&(12分) 21•【解析】(I〉由/(0=—(工一2疋+"—1》2. f d)/7(x)=0得x=\或x=ln2, 当2-e(-oajn2)./(j-) ^e 才€(l・+oo〉J’dVO•圉數/(G)单调递减.(6分) (II)«/'(丁〉=“(才—1)^+2(才—1)=(.r—1)(々b+2)♦ 当a>0时・(卅+2>0,由f(工》V0得x0得工>1,所以在(l.+oo〉上为增函数• 而/(l)=-ae<0,/<2)=l>0, 所以/")在(l.+oo〉上有唯一零点9且该窣点在(1.2)上・ 取b<0,且ZCln士, 则/(小=°"一2)』+"—1)2>寺"一2)+"—1》2=心一今)>0・ 所以/")在(一00,1〉上有唯一家点°且该念点在(S1)上. 所以a>0时./(工)恰好有网个家点. (12分〉 { 才=—l+2cosa(jt+1=2cosa 厂(a为参数)彳寻厂消去a得曲线Ci为圆 jr=-/3+2sina\y+>/3=2sina Q+l尸+(y+箱)2=4•圆心为Oi(-1,-^3).半径为2. 由ZMON=y.可知・WV为圆C】的立径•所以|MN|=4. (5分) (II〉由点M.N关于直线/对称且MN为圆G的直径可知.直线/过点O(-1,-/3 又Amv 所以直.线/的直.角坐标方程为j+s/3=y 将r=pcos0.y=“in&• 代入得克线/的极坐标方程为pcosL再网n0_2=0・ 23.【解析】(I)当。 =一2时•不等式心VQ化为|2・r-l|+|2.r-2|-r-3<0・f—1 —ar,xO^-9 (1()分) 设函数y=|2j—11+1加一21-.r-3,则y=< 3才—6“>1・ 则当j 当*W1W1时,—工一2<0得斗; 当工>1时.3工一6V0得lVrV2;综上可得OOV2. 所以原不筝式的解集是U|0<^<2}・ y.y)时・f(x)=l+a.不等式f(*g(Q化为l+aWr+3. (ID当* 所以/$“一2,y•-y)都成立. 对疋 (5分) (10分) 故一号2°—2.即°=寺・故a的取值范田是(一】,寺]
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