次函数中动点问题平行四边形.docx
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次函数中动点问题平行四边形
2018年04月28日187****6232的初中数学组卷
一.解答题(共5小题)
1.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣1,0),点B(3,0)和点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标;
(2)点C是否在以BE为直径的圆上请说明理由;
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点,点R是抛物线上一动点,是否存在点Q、R,使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形若存在,直接写出点Q、R的坐标,若不存在,请说明理由.
2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣3,0),B(﹣2,3),C(0,3),其顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点M(1,m),当MB+MD的值最小时,求m的值;
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值;
(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N,E为直线AC上任意一点,过点E作EF∥ND交抛物线于点F,以N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由.
3.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),直线l与抛物线交于A,C两点,其中点C的横坐标为2.
(1)求A,B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点(P与A,C不重合),过P点作y轴的平行线交抛物线于点E,求△ACE面积的最大值;
(3)若直线PE为抛物线的对称轴,抛物线与y轴交于点D,直线AC与y轴交于点Q,点M为直线PE上一动点,则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ的周长最小若存在,求出这个最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)点H是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在,请直接写出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
4.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).
(1)求抛物线的解析式及点B坐标;
(2)若点M是线段BC上一动点,过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值;
(3)试探究当ME取最大值时,在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M,F,B,P为顶点的四边形是平行四边形若存在,请求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.
5.如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,点A在x轴正半轴,点C在y轴正半轴,OA=4,OC=3,抛物线经过O,A两点且顶点在BC边上,与直线AC交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)若点M在抛物线上,点N在x轴上,是否存在以A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
2018年04月28日187****6232的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共5小题)
1.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣1,0),点B(3,0)和点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式和顶点E的坐标;
(2)点C是否在以BE为直径的圆上请说明理由;
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点,点R是抛物线上一动点,是否存在点Q、R,使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形若存在,直接写出点Q、R的坐标,若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中,列方程组求a、b、c的值即可;
(2)根据勾股定理的逆定理可得:
∠BCE=90°,可得结论;
(3)分两种情况:
①以BC为边时,
如图1,R在对称轴的右侧时,BC∥RQ,四边形CQRB是平行四边形,根据平移规律先得R的横坐标为4,
代入抛物线的解析式可得R(4,﹣5),由平移规律可得Q(1,﹣2);
如图2,R在对称轴的左侧,RC∥BQ,四边形CRQB是平行四边形,同理可得点Q、R的坐标.
②以BC为对角线时,如图3,同理根据平移规律可得结论.
【解答】解:
(1)由题意,得:
,
解得:
,
故这个抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,
y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点E(1,4);
(2)点C在以BE为直径的圆上,理由是:
∵C(0,3),B(3,0),E(1,4),
∴BC2=32+32=18,CE2=12+12=2,BE2=(3﹣1)2+42=20,
∴BC2+CE2=BE2,
∴∠BCE=90°,
∴点C在以BE为直径的圆上;
(3)存在,分两种情况:
①以BC为边时,
如图1,R在对称轴的右侧时,BC∥RQ,四边形CQRB是平行四边形,
由C到B的平移规律可知:
Q的横坐标为1,则R的横坐标为4,
当x=4时,y=﹣x2+2x+3=﹣42+2×4+3=﹣16+8+3=﹣5,
∴R(4,﹣5),
∴Q(1,﹣2);
如图2,R在对称轴的左侧,RC∥BQ,四边形CRQB是平行四边形,
由C到B的平移规律可知:
Q的横坐标为1,则R的横坐标为﹣2,
当x=﹣2时,y=﹣x2+2x+3=﹣4+2×(﹣2)+3=﹣5,
∴R(﹣2,﹣5),
∴Q(1,﹣8);
②以BC为对角线时,如图3,
由C和Q的平移规律可得:
R的横坐标为2,
当x=2时,y=﹣4+4+3=3,
∴R(2,3),
根据R到B的平移规律可得:
Q(1,0);
综上所述,R(4,﹣5),Q(1,﹣2)或R(﹣2,﹣5),Q(1,﹣8)或R(2,3),Q(1,0).
【点评】本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求解析式,圆周角定理,勾股定理的应用,平行四边形的判定等,分类讨论的思想是(3)的关键.
2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣3,0),B(﹣2,3),C(0,3),其顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点M(1,m),当MB+MD的值最小时,求m的值;
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值;
(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N,E为直线AC上任意一点,过点E作EF∥ND交抛物线于点F,以N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由.
【分析】
(1)根据待定系数法,可得答案;
(2)利用轴对称求最短路径的知识,找到B点关于直线x=1的对称点B′,连接B'D,B'D与直线x=1的交点即是点M的位置,继而求出m的值.
(3)根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标,可得PE的长,根据三角形的面积,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;
(4)设出点E的,分情况讨论,①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,根据平行四边形的性质,可得关于x的方程,继而求出点E的坐标.
【解答】解:
(1)将A,B,C点的坐标代入解析式,得
,
解得,
抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3
(2)配方,得y=﹣(x+1)2+4,顶点D的坐标为(﹣1,4)
作B点关于直线x=1的对称点B′,如图1,
则B′(4,3),由
(1)得D(﹣1,4),
可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣x+,
当M(1,m)在直线DB′上时,MN+MD的值最小,
则m=﹣×1+=.
(3)作PE⊥x轴交AC于E点,如图2,
AC的解析式为y=x+3,设P(m,﹣m2﹣2m+3),E(m,m+3),
PE=﹣m2﹣2m+3﹣(m+3)=﹣m2﹣3m
S△APC=PE•|xA|=(﹣m2﹣3m)×3=﹣(m+)2+,
当m=﹣时,△APC的面积的最大值是;
(4)由
(1)、
(2)得D(﹣1,4),N(﹣1,2)
点E在直线AC上,设E(x,x+3),
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,﹣x2﹣2x+3),
∵EF=DN
∴﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=4﹣2=2,
解得,x=﹣2或x=﹣1(舍去),
则点E的坐标为:
(﹣2,1).
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,﹣x2﹣2x+3),
∵EF=DN,
∴(x+3)﹣(﹣x2﹣2x+3)=2,
解得x=或x=,
即点E的坐标为:
(,)或(,)
综上可得满足条件的点E为E(﹣2,1)或:
(,)或(,).
【点评】本题考查了二次函数的综合题,解
(1)的关键是待定系数法,解
(2)利用轴对称求最短路径;解(3)的关键是利用三角形的面积得出二次函数;解(4)的关键是平行四边形的性质得出关于x的方程,要分类讨论,以防遗漏.
3.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),直线l与抛物线交于A,C两点,其中点C的横坐标为2.
(1)求A,B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点(P与A,C不重合),过P点作y轴的平行线交抛物线于点E,求△ACE面积的最大值;
(3)若直线PE为抛物线的对称轴,抛物线与y轴交于点D,直线AC与y轴交于点Q,点M为直线PE上一动点,则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ的周长最小若存在,求出这个最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)点H是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在,请直接写出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
【分析】
(1)令抛物线y=x2﹣2x﹣3=0,求出x的值,即可求A,B两点的坐标,根据两点式求出直线AC的函数表达式;
(2)设P点的横坐标为x(﹣1≤x≤2),求出P、E的坐标,用x表示出线段PE的长,求出PE的最大值,进而求出△ACE的面积最大值;
(3)根据D点关于PE的对称点为点C(2,﹣3),点Q(0,﹣1)点关于x轴的对称点为M(0,1),则四边形DMNQ的周长最小,求出直线CM的解析式为y=﹣2x+1,进而求出最小值和点M,N的坐标;
(4)结合图形,分两类进行讨论,①CF平行x轴,如图1,此时可以求出F点两个坐标;②CF不平行x轴,如题中的图2,此时可以求出F点的两个坐标.
【解答】解:
(1)令y=0,解得x1=﹣1或x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0);
将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3,
∴C(2,﹣3),
∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1,
(2)设P点的横坐标为x(﹣1≤x≤2),
则P、E的坐标分别为:
P(x,﹣x﹣1),E(x,x2﹣2x﹣3),
∵P点在E点的上方,PE=(﹣x﹣1)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+x+2,
∴当x=时,PE的最大值=,
△ACE的面积最大值=PE[2﹣(﹣1)]=PE=,
(3)D点关于PE的对称点为点C(2,﹣3),点Q(0,﹣1)点关于x轴的对称点为K(0,1),
连接CK交直线PE于M点,交x轴于N点,可求直线CK的解析式为y=﹣2x+1,此时四边形DMNQ的周长最小,
最小值=|CM|+QD=2+2,
求得M(1,﹣1),N(,0).
(4)存在如图1,若AF∥CH,此时的D和H点重合,CD=2,则AF=2,
于是可得F1(1,0),F2(﹣3,0),
如图2,根据点A和F的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同,
再根据|HA|=|CF|,
求出F4(4﹣,0),F3.
综上所述,满足条件的F点坐标为F1(1,0),F2(﹣3,0),F3,F4(4﹣,0).
【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点,解答本题的关键是熟练掌握对称的知识和分类讨论解决问题的思路,此题难度较大.
4.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).
(1)求抛物线的解析式及点B坐标;
(2)若点M是线段BC上一动点,过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值;
(3)试探究当ME取最大值时,在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M,F,B,P为顶点的四边形是平行四边形若存在,请求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.
【分析】
(1)先根据直线的解析式求出A、C两点的坐标,然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式.进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标.
(2)ME的长实际是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差,据此可得出一个关于ME的长和F点横坐标的函数关系式,可根据函数的性质来求出ME的最大值.
(3)根据
(2)的结果可确定出F,M的坐标,要使以M,F,B,P为顶点的四边形是平行四边形,必须满足的条件是MP∥=BF,那么只需将M点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标,然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中,即可判断出是否存在符合条件的P点.
【解答】解:
(1)当y=0时,﹣3x﹣3=0,x=﹣1
∴A(﹣1,0)
当x=0时,y=﹣3,
∴C(0,﹣3),
∴
∴,
抛物线的解析式是:
y=x2﹣2x﹣3.
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,
解得:
x1=﹣1,x2=3
∴B(3,0).
(2)由
(1)知B(3,0),C(0,﹣3)直线BC的解析式是:
y=x﹣3,
设M(x,x﹣3)(0≤x≤3),则E(x,x2﹣2x﹣3)
∴ME=(x﹣3)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x=﹣(x﹣)2+;
∴当x=时,ME的最大值为.
(3)答:
不存在.
由
(2)知ME取最大值时ME=,E(,﹣),M(,﹣)
∴MF=,BF=OB﹣OF=.
设在抛物线x轴下方存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形,
则BP∥MF,BF∥PM.
∴P1(0,﹣)或P2(3,﹣)
当P1(0,﹣)时,由
(1)知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣
∴P1不在抛物线上.
当P2(3,﹣)时,由
(1)知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣
∴P2不在抛物线上.
综上所述:
在x轴下方抛物线上不存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.
【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
(2)中弄清线段ME长度的函数意义是解题的关键.
5.如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,点A在x轴正半轴,点C在y轴正半轴,OA=4,OC=3,抛物线经过O,A两点且顶点在BC边上,与直线AC交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)若点M在抛物线上,点N在x轴上,是否存在以A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)设抛物线顶点为E,根据题意E(2,3),设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,将A(4,0)坐标代入q求出a即可解决问题;
(2)求出直线AC的解析式,利用方程组确定交点坐标即可;
(3)分两种情况考虑:
①当点M在x轴上方时,如答图1所示;②当点M在x轴下方时,如答图2所示;分别利用待定系数法即可解决问题;
【解答】解:
(1)设抛物线顶点为E,根据题意OA=4,OC=3,得:
E(2,3),
设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,
将A(4,0)坐标代入得:
0=4a+3,即a=﹣,
则抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)2+3=﹣x2+3x;
(2)设直线AC解析式为y=kx+b(k≠0),
将A(4,0)与C(0,3)代入得:
,
解得:
,
故直线AC解析式为y=﹣x+3,
与抛物线解析式联立得:
,
解得:
或,
则点D坐标为(1,);
(3)存在,分两种情况考虑:
①当点M在x轴上方时,如答图1所示:
四边形ADMN为平行四边形,DM∥AN,DM=AN,
由对称性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,
∴N1(2,0),N2(6,0);
②当点M在x轴下方时,如答图2所示:
过点D作DQ⊥x轴于点Q,过点M作MP⊥x轴于点P,可得△ADQ≌△NMP,
∴MP=DQ=,NP=AQ=3,
将yM=﹣代入抛物线解析式得:
﹣=﹣x2+3x,
解得:
xM=2﹣或xM=2+,
∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1,
∴N3(﹣﹣1,0),N4(﹣1,0).
综上所述,满足条件的点N有四个:
N1(2,0),N2(6,0),N3(﹣﹣1,0),N4(﹣1,0).
【点评】此题考查了二次函数综合题、待定系数法确定抛物线解析式,一次函数与二次函数的交点,平行四边形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
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- 函数 中动点 问题 平行四边形